差集合のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年2月17日 (水) 13:28 (UTC)}}
{{読み仮名_ruby不使用|'''差集合'''|さしゅうごう|{{lang-en-short|set difference|links=no}}}}とは、ある集合の中から別の集合に属する要素を取り去って得られる[[集合]]のことである<ref>{{Cite Kotobank |word=差集合 |encyclopedia=ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典 |accessdate=2022-02-15}}</ref>。特に、全体集合 {{mvar|U}} を固定して、{{mvar|U}} からその部分集合 {{mvar|A}} の要素を取り去って得られる集合を {{mvar|A}} の'''補集合'''という<ref>{{Cite Kotobank |word=補集合 |encyclopedia=ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典 |accessdate=2022-02-15}}</ref>。

==定義==
[[Image:Venn0010.svg|thumb|right|差集合 {{math|1=''B'' &minus; ''A''}} のベン図による視覚化（左が {{mvar|A}}、右が{{mvar|B}}。）:<br><math>B  \setminus A~~=~~A^c \cap B</math>]]
[[image:Venn0100.svg|right|thumb|差集合 {{math|1=''A'' &minus; ''B''}} のベン図による視覚化（左が {{mvar|A}}、右が{{mvar|B}}。）:<br><math>A \setminus B~~=~~A \cap B^\mathrm{c}</math>]]

集合 {{mvar|B}} から集合 {{mvar|A}} に属する元を間引いて得られる集合を
:<math>B \setminus A, \quad B \smallsetminus A</math> 
または {{math|1=''B'' &minus; ''A''}} と表現し、{{mvar|B}} から {{mvar|A}} を引いた'''差'''、'''差集合'''あるいは {{mvar|B}} における {{mvar|A}} の（'''相対'''）'''補集合'''と呼ぶ。記号を用いて書けば、
:<math>x \in B \setminus A \iff x \in B \land x \notin A,</math>
すなわち
:<math>\begin{align}
B \setminus A &= \{x \mid x \in B \land x \notin A\} \\
&= \{ x \in B \mid x \notin A \}
\end{align}</math>
が差集合の定義である。これは {{math|1=''A'' ∩ ''B''}} とは限らない場合にも定義される。後述の[[#補集合|（絶対）補集合]]の言葉で書けば、<math>B \setminus A</math> とは、{{mvar|B}} における {{math|1=''A'' &cap; ''B''}} の補集合である。なお、一般に集合の差は[[交換法則]]を満たさない：
:<math>A \setminus B \neq B \setminus A.</math>
これらが等しくなるのは、 {{math|1=''A'' = ''B''}} のとき、またそのときに限る。

===注意===
集合 {{mvar|A}}, {{mvar|B}} が[[加法]]「＋」を持つ[[代数系]]（特に[[加法群]]）の[[部分集合]]であるとき、 {{math|1=''B'' &minus; ''A''}} は集合 {{math|1=&#x7B;''b'' &minus; ''a'' &#x7C; ''a'' &isin; ''A'', ''b'' &isin; ''B''&#x7D;}} と紛らわしいので、この記法を使用する場合は注意が必要である。

また、[[LaTeX]]で入力するとき、差集合としては <code>B \backslash A</code> (<math>B \backslash A</math>) ではなく <code>B \setminus A</code> (<math>B \setminus A</math>) を用いるか<ref>{{cite book|last=Knuth|first=D.|author-link=ドナルド・クヌース|title=The TeXbook|year=1986|page=436|publisher=Addison–Wesley|isbn=0-201-13447-0}}</ref><ref name="oda">{{cite journal|和書|author=小田忠雄|author-link=小田忠雄|title=数学の常識・非常識：由緒正しいTeX入力法|journal=数学通信|volume=4|issue=1|year=1999|month=05|pages=95–112|url=http://www.math.tohoku.ac.jp/tmj/oda_tex.pdf|format=PDF}}</ref>、<code>B \smallsetminus A</code> (<math>B \smallsetminus A</math>) を用いる<ref>{{cite web|title=Users’ guide to the fonts (for version 2.2d)|page=20|url=https://ctan.org/pkg/amsfonts|website=[[CTAN]]|accessdate=2023-11-07}}</ref><ref name="oda" />。

===例===
* {{mvar|P}} = {{math|1=&#x7B;1, 3, 5, 7, 9&#x7D;}}　(10 以下の[[奇数]]の集合)
* {{mvar|Q}} = {{math|1=&#x7B;2, 3, 5, 7&#x7D;}}　(10 以下の[[素数]]の集合)

このとき 
:<math>P \smallsetminus Q = \{ 1,9 \}</math> 
であり、
:<math>Q \smallsetminus P = \{ 2 \}</math>
である。

==補集合==
[[Image:Venn1010.svg|thumb|right|補集合のベン図による視覚化（左がA、右がB。）:<br><math>A^c~~=~~\emptyset^c \setminus A</math>]]
全体集合や[[普遍集合]]<ref group="注釈">{{lang-en-short|universe|links=no}}</ref>などと呼ばれる（大きな）[[集合]] {{mvar|U}} を固定して、その[[部分集合]]についてのみ考えているとき（例えば、{{mvar|U}} が[[自然数]]全体、[[実数]]全体やある[[位相空間]]であるときなど） {{mvar|U}} の部分集合 {{mvar|A}} について、
:<math>U \smallsetminus A</math>
を {{mvar|A}} の（'''絶対'''）{{読み仮名_ruby不使用|'''補集合'''|ほしゅうごう}}<ref group="注釈">{{lang-en-short|complement|links=no}}</ref>といい、{{mvar|U}} が了解されている文脈では単に
*<math>A^{\mathrm{c}}</math>
*<math>\complement A</math>
*<math>\overline{A}</math>
のように表す。

*ある集合の補集合の補集合は、もとの集合自身である。
*自然数について考えているとき、奇数全体の集合の補集合は[[偶数]]全体の集合である。
*[[実数]]全体 {{math|1='''R'''}} について考えているとき、[[有理数]]全体 {{math|1='''Q'''}} の補集合 <math>\mathbf{R} \setminus \mathbf{Q}</math> は[[無理数]]全体である。

===注意===
{{mvar|P}} の補集合を {{math|1=''P''&thinsp;<sup>c</sup>}} で表す場合、おおくは {{overline|{{mvar|P}}}} が {{mvar|P}} の[[閉包 (位相空間論)|閉包]]（closure）を表す。逆に、{{overline|{{mvar|P}}}} が補集合を表しているような文脈では、{{math|1=''P''&thinsp;<sup>c</sup>}} で {{mvar|P}} の閉包を記すことがある。

===ド・モルガンの法則===
{{mvar|P}}, {{mvar|Q}} をある集合の部分集合とするとき、

:<math>\begin{align}
(P \cup Q)^{\mathrm{c}} &= P^{\mathrm{c}} \cap Q^{\mathrm{c}} \\
(P \cap Q)^{\mathrm{c}} &= P^{\mathrm{c}} \cup Q^{\mathrm{c}}
\end{align}</math>

<!--[[画像:Venn1110.svg|100px|ベン図によるPとQの積集合に対する補集合]][[画像:Venn1000.svg|100px|ベン図によるPとQの和集合に対する補集合]][[画像:Venn1010.svg|100px|ベン図によるPの補集合]][[画像:Venn1100.svg|100px|ベン図によるQの補集合]]-->

が成り立つことが分かる<ref>丹下基生『SGCライブラリ-163　例題形式で探求する集合・位相(連続写像の織りなすトポロジーの世界)』サイエンス社、2020年、p.6</ref>。これはもっと一般化できて、 {{math|1={''P''<sub>&lambda;</sub>}<sub>&lambda;&isin;&Lambda;</sub>}} をある基礎となる集合の部分集合の族とするときに、
:<math>\begin{align}
\left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda \right) ^{\mathrm{c}} &= \bigcap_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda^{\mathrm{c}} \\
\left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda \right) ^{\mathrm{c}} &= \bigcup_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda^{\mathrm{c}}
\end{align}</math>
が成り立つ。これらを[[ド・モルガンの法則]]という。

この法則は、対応する論理記号の性質（特に双対性）を反映したものである。詳しくは[[記号論理学]]の項目を参照。

==関連項目==
*[[集合の代数学]]

== 注釈 ==
{{Notelist}}
== 出典 ==
{{reflist}}

==参考文献==

{{集合論}}
{{DEFAULTSORT:さしゆうこう}}
[[Category:集合論]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:差異]]
[[Category:数学に関する記事]]