常微分方程式のソースを表示

{{Differential equations}}
'''常微分方程式'''（じょうびぶんほうていしき、{{lang-en-short|ordinary differential equation, '''O.D.E.'''}}）とは、[[微分方程式]]の一種で、[[未知関数]]が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう。すなわち、変数 {{mvar|t}} の未知関数 {{math|''x''(''t'')}} に対して、（既知の）関数 {{mvar|F}} を用いて

:<math> F(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots,x^{(n)}(t))=0 \quad \left(x^{(k)}(t) := \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}t^k}x(t),\,\mathrm{for}~\,k=0,1,\dots,n\right)</math>

という形にできるような[[関数方程式]]を常微分方程式と呼ぶ。{{math|''x''{{sup|(''k'')}}(''t'')}} は未知関数 {{math|''x''(''t'')}} の {{mvar|k}} 階の[[導関数]]である。未知関数が単独でない場合には、関数の組を[[数ベクトル空間|ベクトル]]の記法を用いて表せば次のようになる。
:<math>\boldsymbol{F}(t,\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{x}^{(1)}(t),\dots,\boldsymbol{x}^{(n)}(t)) = \boldsymbol{0} \quad
\left(\boldsymbol{x}^{(k)}(t) := \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}t^k}\boldsymbol{x}(t),\,\mathrm{for}~\,k=0,1,\dots,n\right).</math>
ここで {{mvar|'''F''', '''x'''}} は
:<math>\begin{align}
&\boldsymbol{F}(t,\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{x}^{(1)}(t),\dots,\boldsymbol{x}^{(n)}(t))
=\left(F_1(t,\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{x}^{(1)}(t),\dots,\boldsymbol{x}^{(n)}(t)),\dots,F_r(t,\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{x}^{(1)}(t),\dots,\boldsymbol{x}^{(n)}(t))\right),\\
&\boldsymbol{x}(t)=\left(x_1(t),\dots,x_m(t)\right)
\end{align}</math>
を表す。この方程式系はしばしば[[#連立常微分方程式|連立常微分方程式]]と呼ばれる。

また、多くの {{mvar|n}} 階常微分方程式は次のような形に書くことができる。

:<math> x^{(n)}(t)=f(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots,x^{(n-1)}(t)) \quad \left(x^{(k)}(t) := \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}t^k}x(t),\,\mathrm{for}~\,k=0,1,\dots,n\right).</math>

常微分方程式の理論およびその研究を微分方程式論という。あるいはまた関数方程式論の名で微分方程式論を指すこともある。

== 線型常微分方程式 ==
{{see also|線形微分方程式}}
常微分方程式が
:<math>\frac{d^n x}{dt^n} + a_{n-1}(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}} + \cdots + a_0(t)x = b(t)</math>
の形に表されるとき[[線型微分方程式|線型]]であるという。ただし、{{math|''a{{sub|k}}''(''t'')}} および {{math|''b''(''t'')}} は{{mvar|t}} を変数とする既知の関数である。{{math|''b''(''t'') {{=}} 0}} の方程式は特に'''斉次''' ({{en|homogeneous}}) な方程式と呼ばれ、そうでない方程式は'''非斉次''' ({{en|inhomogeneous}}) な方程式と呼ばれる。

== 非線型常微分方程式 ==
線型でない常微分方程式は非線型であると言われる。非線型方程式の解は一般に、線型方程式のそれに比べて複雑な様相を呈する。そのような例として、[[ローレンツ方程式]]や[[パンルヴェ方程式]]などがある。一方、[[求積法]]で解ける形の非線型方程式も数多く知られている<ref name="diffequ-2005">長島 隆廣　『常微分方程式80余例とその厳密解』　近代文芸社、2005年 ISBN 4-7733-7282-6. 国立国会図書館蔵書, 請求記号：MA117-H55（東京　本館書庫）。</ref><ref name="diffeq-198205"/><ref name="difeq-201812bbrmap">長島 隆廣『常微分方程式80余例と求積法による解法』2018年12月 researchmap で公開，全編PDF： https://researchmap.jp/T_Nagashima または， https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/detail/263160/16f8fddfba5ab789f6475ac2962bfd31?frame_id=539358</ref>。<!-- 参考文献を追加記入 2019/08/15/T.N. -->
以下に例を挙げておく <ref name="diffequ-2005"/><ref name="difeq-201812bbrmap"/><ref name="susemi-1986">長島 隆廣 『数学セミナー』，日本評論社，1986年5月号，第25巻，第5号，通巻294号，pp.94-95。</ref>。

=== 1階非線型常微分方程式<ref name="diffequ-2005"/><ref name="difeq-201812bbrmap"/>===

:<math>y=x\frac{\;dy\;}{dx}+x^{n}f\Bigl(\frac{\;dy\;}{dx}\Bigr).</math>
             <!-- ★ y=x(dy/dx)+x^n f(dy/dx), (80余例) p.12 (コメント) --> 

:<math>y=x\frac{\;dy\;}{dx}+y^{n}f\Bigl(\frac{\;dy\;}{dx}\Bigr).</math>
             <!-- ★ y=x(dy/dx)+y^n f(dy/dx)  (80余例) p.16 (コメント) --> 

ここに、{{mvar|n}} は実数であり、{{math|''f''(&middot;)}} は既知関数である。
:<math>\frac{{d}y}{{d}x}=\frac{\, y^{1-m}\,}{x^{1-n}}f\!\left(\frac{\,y^{m}}{x^{n}}\right).</math>　 {{mvar|m, n}} は実数，ただし，{{math|''m''  &ne;  0}}，{{mvar|f}} は既知関数。
           <!-- (dy/dx)＝[(y^{1-m})/(x^{1-n})]・f({y^{m}}/{x^{n}})，p.1. (コメント) --> 

:<math>\frac{{d}y}{{d}x}=\frac{\,{d}A(x)\,}{{d}x}F\!\left(\frac{y}{A(x)}\right).</math>　 {{math|''A''(''x'')}}，{{mvar|F}} は既知関数。
           <!-- (dy/dx)＝(dA(x)/dx)・f(y/A(x))，p.3.  (コメント) -->

:<math>\frac{{d}y}{{d}x}=B(x)F(y+A(x))-\frac{\,{d}A(x)\,}{{d}x}.</math>　 {{math|''A''(''x'' )}}，{{math|''B''(''x'' )}}，{{mvar|F}} は，いずれも既知関数。
           <!-- (dy/dx)＝B(x)F(y＋A(x))－(dA(x)/dx)，p.5.  (コメント) -->

=== 2階非線型常微分方程式<ref name="diffequ-2005"/><ref name="difeq-201812bbrmap"/><ref name="susemi-1986"/> ===

:<math>y=x\frac{\,dy\,}{dx}+P(x)\!\left(\frac{\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}\right)^{\!\! n}.</math>

:<math>y=x\frac{\,dy\,}{dx}+f\!\!\,\left(\frac{\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}\right).</math>

上記の {{math|''P''(''x'')}} と {{math|''f''(&middot;)}} は既知関数とする。

:<math>y=x\frac{\,dy\,}{dx}+f\!\,\Bigl(x^{n}\frac{\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}\Bigr).</math>　 {{mvar|n}} は実数，ただし，{{math|''n''  &ne; 2}}，{{mvar|f}} は既知関数。

:<math>x\frac{{d}^{\,2}y}{{d}x^2}+(1+f(y))\frac{{d}y}{{d}x}=0.</math>　  {{mvar|f}}({{mvar|y}}) は既知関数。
       <!-- x(d^2y/dx^2)＋(1＋f(y))(dy/dx)＝0， p.88 : (コメント) -->

:<math>x\frac{{d}^{\,2}y}{{d}x^2}+(\alpha + \gamma{}y^n)\frac{{d}y}{{d}x}=0.</math>　　&alpha;, &gamma;, {{mvar|n}} は実数．ただし，{{math|''n'' &ne; &minus;1}}。
           <!-- [2階非線型常微分方程式],  x(d^2y/dx^2)＋(α＋γy^n)(dy/dx)＝0,  p.90, p.343：(コメント) -->

:<math>\frac{{d}^{\,2}y}{{d}x^2}=f\!\left(\frac{\alpha + \beta{x} + \gamma{y}}{k + \ell{x} + m{y}}\right).</math>　　{{math|''f'' (&middot;)}} は既知関数。<math>\alpha, \beta, \gamma, k, \ell, m</math> は実数．ただし，<math>\gamma\ell - \beta{m}=0</math>。
 <!-- [2階非線型常微分方程式], (d^2y/dx^2)＝f((α＋βx＋γy)/(k＋lx＋my)),  p.98,(コメント) -->

== 連立常微分方程式 ==
連立常微分方程式（simultaneous ordinary differential equations）は、
1 つの[[独立変数]] {{mvar|t}} と複数の[[未知関数]] {{math|''x''{{sub|1}}(''t''),..., ''x{{sub|n}}''(''t'')}} およびその[[導関数]]により構成される複数の[[方程式]]の組である。例えば、比較的簡単な例として、{{mvar|t}} の 2 つの未知関数を {{math|''x''{{sub|1}}(''t''), ''x''{{sub|2}}(''t'')}} とする。それらの一階の導関数を {{math|''x{{'}}''{{sub|1}}(''t''), ''x{{'}}''{{sub|2}}(''t'')}} として、

:<math>F\left(t,x_1,x_2,x'_1(t), x'_2(t)\right)=0,</math>
:<math>G\left(t,x_1,x_2,x'_1(t), x'_2(t)\right)=0</math>

は一つの連立常微分方程式である。ただし、{{mvar|F, G}} は[[既知関数]]である。

一般の連立常微分方程式は、1 つの独立変数と {{mvar|m}} 個の未知関数およびその {{mvar|n}} 階の導関数を含み、複数個の'''常微分方程式'''の組になる。

: <math>F_{k}\left(t;x_1,\dots,x_m;x^{(1)}_1,\dots,x^{(1)}_m;\dots;x^{(n)}_1,\dots,x^{(n)}_m\right)=0, \qquad k=1,2,\dots,r.</math>

ここで {{math|''x{{sub|i}}''{{sup|(''j'')}}(''t'')}} は、未知関数 {{math|''x{{sub|i}}''(''t'')}} の {{mvar|j}} 階の導関数である ({{math|''i'' {{=}} 0, 1,..., ''m''; ''j'' {{=}} 0, 1,..., ''n''}})。
なお、連立常微分方程式を常微分方程式系（{{en|system of ordinary differential equations}}）と呼ぶこともある。
これら {{mvar|r}} 個の'''常微分方程式'''すべてを満足する関数の組 {{math|''x''{{sub|1}}(''t''),..., ''x{{sub|m}}''(''t'')}} をその[[解]]という。

具体的な例を一つ示す。独立変数 {{mvar|x}} の未知関数を {{mvar|y, z}} とし、{{mvar|a, b, c, d}} を定数とすると、

: <math>\frac{\,dy\,}{dx}=az+b,</math>
: <math>\frac{dz}{\,dx\,}=cy+d</math>

は、一階の連立常微分方程式の例である。一般的な連立常微分方程式は、[[求積法]]で解くのは困難であるが、一般性を含む連立常微分方程式の例として、求積法で解ける連立常微分方程式が多少知られている<ref name="diffequ-2005" /><ref name="diffeq-198205">長島 隆廣［常微分方程式134例とその解］丸善出版サービスセンター，1982年5月発行，国立国会図書館・請求記号 MA117-111，全国書誌番号 82049441</ref><ref name="difeq-201812bbrmap"/>。
一例を挙げておく<ref name="difeq-201812bbrmap"/><ref name="susemi-1988">長島 隆廣 『数学セミナー』，日本評論社，1988年3月号，第27巻，第3号，通巻316号，p.98。</ref>。
:<math>\begin{cases}
\; \, \displaystyle  F \! \left(y,  \; \; \frac{\,dz\,}{dx}\right)=0,\\[3ex]
\; \, \displaystyle  G \! \left(z, \; \; \frac{\,dw\,}{dx}\right)=0,\\[3ex]
\; \, \displaystyle  H \! \left(w, \; \; \frac{\,dy\,}{dx}\cdot\left(\frac{\,dw\,}{dx}\right)^{\!\! -1}\;\right)=0.
\end{cases}</math>
{{mvar|x}} は独立変数であり、{{mvar|y, z, w}} は {{mvar|x}} を変数とする未知関数である。また、{{mvar|F, G, H}} を既知関数とする<ref name="susemi-1988"/>。

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

==関連文献==
===和書===
* 藤原松三郎：「常微分方程式論」、[[岩波書店]] (1930年)．
** [https://linesegment.web.fc2.com/books/mathematics/joubibunhouteishikiron/ 藤原松三郎「常微分方程式論」岩波書店 (1930年) の現代仮名遣い版]
* 吉江琢児：「微分方程式論」、[[共立出版]] (1947年).
* フォーサイス(著)、粟野保、末岡清市、石津武彦(共訳)：「微分方程式」上巻、[[朝倉書店]] (1947年).
* 福原満州雄：「微分方程式 上」、朝倉書店 (初版：1951年3月10日)。復刊版はISBN 4-254-11691-8 (2004年12月1日)。
* 福原満州雄：「微分方程式 下」、朝倉書店（初版：1952年6月25日）。復刊版はISBN 4-254-11692-6 (2004年12月1日)。
* 占部実：「微分方程式」、共立出版 (基礎数学講座8) (1955年11月20日).
* 齋藤利弥：「常微分方程式論」、朝倉書店(近代数学講座5) (1967年8月25日).
* コーエン、高野一夫（訳）：「コーエンの微分方程式：リー群論の応用」、森北出版（1971年5月15日）。POD版はISBN 978-4-627-07079-0 (2011年6月）.
* 吉田耕作：「微分方程式の解法 第2版」、岩波書店（岩波全書189）（1978年2月23日）。初版は1954年4月28日。
* [[福原満洲雄]]：「常微分方程式 第2版」、[[岩波書店]]([[岩波全書]] 116) (1980年5月23日). POD版はISBN 978-4-00-029015-9（2000年4月).
* レフ・セミョーノヴィチ・ポントリャーギン、千葉克裕(訳)：「常微分方程式 新版」、[[共立出版]] (1981年2月).
* 高野恭一：「常微分方程式」、[[朝倉書店]]、ISBN 978-4-25411436-2 (初版1994年2月20日). 復刊版はISBN 978-4-254-11844-5 (2019年12月).
* 伊藤秀一：「常微分方程式と[[解析力学]]」、[[共立出版]]（共立講座 21世紀の数学 第11巻）、{{ISBN2|978-4-320-01563-0}}, （1998年1月）.
* J.J.グレイ：「リーマンからポアンカレにいたる 線型微分方程式と群論」、シュプリンガ－フェアラーク東京、ISBN 4-431-70938-X（2002年12月10日）.
* 柴田正和：「常微分方程式の局所漸近解析」、[[森北出版]] （2010年8月）.
* 大谷光春：「常微分方程式論」、[[サイエンス社]] (2011年).
* 坂井秀隆：「常微分方程式」、[[東京大学出版会]]、ISBN 978-4-13-062960-7（2015年8月24日）.
* 岩見真吾、佐藤佳、[[竹内康博]] ：「[[ウイルス感染]]と常微分方程式」、[[共立出版]]（シリーズ: 現象を解明する数学 / [[三村昌泰]], 竹内康博, 森田善久 編集）（2017年4月).

===洋書===
* Hartman, Philip (2002) [1964], ''Ordinary differential equations, Classics in Applied Mathematics'', 38, Philadelphia: [[:en:Society for Industrial and Applied Mathematics]], ISBN 978-0-89871-510-1, MR 1929104
* Ince, Edward L. (1944) [1926], ''Ordinary Differential Equations'', [[:en:Dover Publications]], New York, ISBN 978-0-486-60349-0, MR 0010757
* Witold Hurewicz, ''Lectures on Ordinary Differential Equations'', [[:en:Dover Publications]], ISBN 0-486-49510-8
* Teschl, Gerald (2012). ''Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems''. Providence: [[アメリカ数学会|American Mathematical Society]]. ISBN 978-0-8218-8328-0.
* Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, ''Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations'' (2nd ed.), Chapman & Hall/[[:en:CRC Press|CRC Press]], Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
* Grimshaw, R. (2017). ''Nonlinear ordinary differential equations''. Routledge.
* [[ウラジーミル・アーノルド|Arnolʹd, V. I.]], ''Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations''. [[:en:Springer Science & Business Media]].
* [[ウラジーミル・アーノルド|Arnolʹd, V. I.]], ''Ordinary differential equations''. Springer.
* [[ヴォルフガンク・ウォルター|Wolfgang Walter]], ''Ordinary differential equations''. Springer.
* Logemann, H., & Ryan, E. P. (2014). ''Ordinary differential equations: Analysis, qualitative theory and control''. Springer.
* Hermann, M., & Saravi, M. (2014). ''A First Course in Ordinary Differential Equations. Analytical and Numerical Methods'', Springer India.
* Chicone, C. (2006). ''Ordinary differential equations with applications''. [[:en:Springer Science & Business Media|Springer Science & Business Media]].
* Jeremy J. Gray: ''Linear Differential Equations and Group Theory from Riemann to Poincaré'' (2nd Ed.), Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4773-5 (2008).
* Fritz Schwarz: ''Algorithmic Lie Theory for Solving Ordinary Differential Equations'', Chapman & Hall, ISBN 1-58488-889-X (2008).

== 関連項目 ==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
*[[媒介変数]]
*[[変数分離]]
*[[求積法]]
*[[複雑系]]
===方程式===
*[[パンルヴェ方程式]]
*[[リッカチ方程式]]
*[[フックス型微分方程式]]
*[[ガウスの微分方程式]]
*[[ベッセル関数]]
*[[ルジャンドルの微分方程式]]
*[[微分方程式]]
*[[線型微分方程式]]
*[[複素微分方程式]]
*[[偏微分方程式]]

===数値計算===
*[[NAG数値計算ライブラリ]]
*[[硬い方程式]]
*[[常微分方程式の数値解法]]
**[[ルンゲ・クッタ法]]
**[[線型多段法]]
**[[狙い撃ち法]]

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