平坦加群のソースを表示

[[数学]]において、'''平坦加群'''（へいたんかぐん、{{lang-en-short|flat module}}）とは、[[加群のテンソル積|テンソル積]]をとる[[関手]] {{math|''M'' &otimes; &ndash;}} が[[完全関手|完全]]となる[[環上の加群|加群]] {{mvar|M}} のことである。
[[ホモロジー代数学]]および[[代数幾何学]]における基本的な概念のひとつ。[[ジャン＝ピエール・セール]]によって導入された<ref>ただし、彼はなぜ平坦（flat）という語を用いたか覚えていないと言っている。{{cite web 
|url= http://mathoverflow.net/questions/6789/why-are-flat-morphisms-flat/
|title= Why are flat morphisms “flat?”
|accessdate= 2015-09-28
|ref= harv
}}</ref><!--
The term was introduced by Jean-Pierre Serre. You could ask him or, better, suggest he signs up at MO :P –  Mariano Suárez-Alvarez♦ Nov 25 '09 at 12:45

@Mariano: A couple of weeks ago I asked Serre about this. He didn't remember why the word flat was used, or if the word was due to him or possibly Cartan/Eilenberg. One point he emphasized is that it was Grothendieck who deserves all credit for the discovery of the importance of flatness in geometry (fibral criteria, families, etc.). For Serre it was a matter of isolating the "right" algebraic notion with which to discuss the various changes of rings (analytic vs. algebraic local rings, completions thereof, general localization) which came up in GAGA and FAC. –  BCnrd May 23 '10 at 6:11
-->。


== 定義 ==
{{mvar|A}} を[[環 (数学)|環]]、{{mvar|M}} を右 {{mvar|A}} [[環上の加群|加群]]とする。
{{mvar|A}} 加群からなる任意の[[完全系列|短完全系列]]
:<math>0 \to N_1 \to N_2 \to N_3 \to 0</math>
に対して、{{mvar|M}} との[[加群のテンソル積|テンソル積]]をとった系列
:<math>0 \to M \otimes_A N_1 \to M \otimes_A N_2 \to M \otimes_A N_3 \to 0</math>
が[[完全関手|完全]]になるとき、{{mvar|M}} は {{mvar|A}} 上'''平坦'''である、または {{mvar|M}} は平坦 {{mvar|A}} 加群であるという。
{{mvar|M}} が左 {{mvar|A}} 加群のときも同様に定義される。

なお一般の加群 {{mvar|M}} に対しては、関手 {{math|''M'' &otimes;<sub>''A''</sub> &ndash;}} は右完全ゆえ
:<math>M \otimes_A N_1 \to M \otimes_A N_2 \to M \otimes_A N_3 \to 0</math>
は完全系列となるが、左端の[[射 (圏論)|射]]が一般には[[単射]]にならない。

{{mvar|A}} [[環上の多元環|代数]] {{mvar|B}} が'''平坦'''であるとは、{{mvar|B}} が {{mvar|A}} 加群として平坦であることをいう。

== 性質 ==
* [[射影加群]]は平坦である。特に[[自由加群]]も平坦である。
*（推移性） {{mvar|B}} が平坦 {{mvar|A}} 代数で、{{mvar|M}} が平坦 {{mvar|B}} 加群ならば、{{mvar|M}} は {{mvar|A}} 加群としても平坦である。
*（係数拡大） {{mvar|A}} 加群 {{mvar|M}} が平坦ならば、任意の {{mvar|A}} 代数 {{mvar|B}} に対し、{{mvar|B}} 加群 {{math|''M'' &otimes;<sub>''A''</sub> ''B''}} も平坦である。
* {{math|''A''<sub>''S''</sub>}} を環 {{mvar|A}} の[[環の局所化#形式的な構成|積閉集合]] {{mvar|S}} による[[環の局所化|局所化]]とすると、{{math|''A''<sub>''S''</sub>}} は {{mvar|A}} 上平坦である。
*（局所性）上より、{{mvar|A}} の任意の[[素イデアル]] {{mvar|p}} に対し、{{math|''M<sub>p</sub>'' {{=}} ''M'' &otimes;<sub>''A''</sub> ''A<sub>p</sub>''}} は平坦な {{math|''A''<sub>''p''</sub>}} 加群となる。逆に、任意の {{mvar|p}} に対し {{math|''M<sub>p</sub>''}} が {{math|''A<sub>p</sub>''}} 上平坦ならば、{{mvar|M}} は {{mvar|A}} 上平坦である。
* {{mvar|I}} を {{mvar|A}} の自明でないイデアルとすると、{{mvar|''A''/''I''}} が {{math|''A<sub>S</sub>''}} の形に書ける場合を除き、{{mvar|A}} 加群 {{math|''A''/''I''}} は平坦でない。
* {{mvar|A}} 加群 {{mvar|M}} が平坦であることと、任意の {{mvar|A}} 加群 {{mvar|N}} に対し {{math|1=Tor{{SubSup||1|''A''}}(''M'',&nbsp;''N'')&nbsp;=&nbsp;0}} となることとは同値である。

== 忠実平坦性 ==
{{mvar|M}} は平坦な {{mvar|A}} 加群であるとすると、次に述べる条件は同値である。これらの条件を満たすとき {{mvar|M}} は'''忠実平坦'''な {{mvar|A}} 加群であるという。
* {{mvar|A}} の任意の[[極大イデアル]] {{mvar|m}} に対し、{{math|''M'' &ne; ''mM''}} が成り立つ。
* {{math|0 &rarr; ''M'' &otimes;<sub>''A''</sub> ''N''<sub>1</sub> &rarr; ''M'' &otimes;<sub>''A''</sub> ''N''<sub>2</sub> &rarr; ''M'' &otimes;<sub>''A''</sub> ''N''<sub>3</sub> &rarr; 0}} が[[完全系列|完全]]ならば、{{math|0 &rarr; ''N''<sub>1</sub> &rarr; ''N''<sub>2</sub> &rarr; ''N''<sub>3</sub> &rarr; 0}} も完全である。
* {{math|0}} でない任意の {{mvar|A}} 加群 {{mvar|N}} に対し、{{math|''M'' &otimes;<sub>''A''</sub> ''N'' &ne; 0}} が成り立つ。

{{mvar|A}} [[環上の多元環|代数]] {{mvar|B}} に関しても同様に忠実平坦性を定義する。この場合は次も同値である。
* {{mvar|A}} の任意の[[素イデアル]] {{mvar|p}} に対し、{{math|''A'' &cap; ''q'' {{=}} ''p''}} なる {{mvar|B}} の素イデアル {{mvar|q}} が存在する。

== 概型論 ==
[[概型|スキーム]]の射 {{math|&fnof; : ''X'' &rarr; ''Y''}} が平坦であるとは、{{mvar|X}} のすべての点 {{mvar|x}} に対し、[[局所環]]の射 {{math|''O''<sub>''Y'', &fnof;(''x'')</sub> &rarr; ''O''<sub>''X'', ''x''</sub>}} が平坦であることをいう。環における平坦性が局所的性質であることから、[[概型#アフィンスキーム|アフィンスキーム]]の間の射の平坦性は対応する環の射の平坦性と同値である。

平坦かつ[[全射]]である射は忠実平坦であるという。これもアフィンスキームにおいては環での定義と一致する。

== 平坦分解と平坦次元 ==
環 {{mvar|R}} 上の加群 {{mvar|M}} に対し、各 {{mvar|R}}-加群 {{mvar|F{{sub|i}}}} が平坦加群であるような次の完全列
:<math>\cdots \to F_{n+1} \to F_n \to \cdots \to F_1 \to F_0 \to M \to 0</math>
を {{mvar|M}} の'''[[平坦分解]]'''という。自由分解や射影分解は平坦分解である。すべての {{math|''i'' > ''n''}} に対し {{math|1=''F{{sub|i}}'' = 0}} であるような平坦分解を'''長さ''' {{mvar|n}} の平坦分解という。そのような {{mvar|n}} が存在する場合その最小値を {{mvar|M}} の'''平坦次元'''といい、存在しない場合は平坦次元は {{math|∞}} という。平坦次元は {{math|fd(''M'')}} と書かれる。平坦次元は射影次元を超えない。左 {{mvar|R}}-加群 {{mvar|M}} と整数 {{math|''n'' &ge; 0}} に対して以下は同値{{sfn|Weibel|1994|loc=Lemma 4.1.10}}。
* {{math|fd(''M'') &le; ''n''}}.
* 任意の右 {{mvar|R}}-加群 {{mvar|X}} に対して、<math>\operatorname{Tor}_{n+1}^R(X,M)=\{0\}.</math>
* 任意の {{math|''i'' &ge; ''n'' + 1}} と任意の右 {{mvar|R}}-加群 {{mvar|X}} に対して、<math>\operatorname{Tor}_i^R(X,M)=\{0\}.</math>

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite book
|last1      = Weibel
|first1     = Charles A. 
|year       = 1994
|title      = An introduction to homological algebra
|url        = {{google books|flm-dBXfZ_gC|An introduction to homological algebra|plainurl=yes}}
|publisher  = Cambridge University Press
|isbn       = 0-521-43500-5
|zbl        = 0797.18001
|ref        = harv
}}

== 関連項目 ==
* [[可換環論]]、[[環上の加群]]
* [[素イデアル]]、[[極大イデアル]]
* [[テンソル積]]
* [[射影加群]]、[[入射加群]]
* [[Tor関手]]
* [[フォン・ノイマン正則環]]

{{Abstract-algebra-stub}}

{{DEFAULTSORT:へいたんかくん}}
[[Category:可換環論]]
[[Category:加群論]]
[[Category:ホモロジー代数]]
[[Category:数学に関する記事]]