平方三角数のソースを表示

[[File:square_triangular_number_36.svg|234px|thumb|平方三角数 36 は三角数および四角数で表すことができる数である。]]

'''平方三角数'''（へいほうさんかくすう、{{Lang-en-short|square triangular number}}）は[[平方数]]のうち[[三角数]]でもある[[自然数]]である。例えば [[36]] は6番目の平方数 6<sup>2</sup> であり、また8番目の三角数 {{sfrac|8(8+1)|2}} でもあるので平方三角数である。平方三角数は無数にあり、最小のものは [[1]] である。

平方三角数を小さい順に列記すると
:[[1]], [[36]], [[1225]], 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, …（{{OEIS|A1110}}）
となる。

''k'' 番目の平方三角数 N<sub>''k''</sub> は
:<math> N_k = {1 \over 32} \left( \left( 1 + \sqrt{2} \right)^{2k} - \left( 1 - \sqrt{2} \right)^{2k} \right)^2 </math>
で与えられる。この公式は、1778年に[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]が発見している<ref>{{Harvnb|Dickson|2005a|p=16}}</ref><ref>{{Harvnb|Dickson|2005b|pp=10, 16, 27}}</ref><ref name=Euler>{{Harvnb|Euler|1813|pp=12–13}}</ref>。

== 公式の導出 ==
ある自然数 ''N'' が ''n'' 番目の三角数かつ ''m'' 番目の四角数であるとすると、
:<math>\frac{1}{2}n(n+1)=m^2</math>
である。両辺を8倍して平方完成することにより (2''n'' + 1)<sup>2</sup> = 8''m''<sup>2</sup> + 1 となる。''x'' = 2''n'' + 1, ''y'' = 2''m'' とおけば、[[ペル方程式]] ''x''<sup>2</sup> - 2''y''<sup>2</sup> = 1 を得る。その一般解 (''x''<sub>''k''</sub>, ''y''<sub>''k''</sub>) は
:<math>x_k \pm y_k\sqrt{2}=(1 \pm \sqrt{2})^{2k}</math>
で与えられ、よって
:<math>x_k=\frac{(1+\sqrt{2})^{2k}+(1-\sqrt{2})^{2k}}{2}</math>
:<math>y_k=\frac{(1+\sqrt{2})^{2k}-(1-\sqrt{2})^{2k}}{2\sqrt{2}}</math>
である。したがって、''k'' 番目の平方三角数 ''N''<sub>''k''</sub> = (''y''<sub>''k''</sub>/2)<sup>2</sup> は冒頭の式で与えられる。

== その他の性質 ==
''N''<sub>''k''</sub> は漸化式
:<math>N_0=0,\quad N_1=1,\quad N_{k+2}=34N_{k+1}-N_k+2</math>
を満たす。その[[母関数]]は
:<math>\frac{x(x+1)}{(1-x)(1-34x+x^2)}=x+36x^2+1225x^3+\cdots</math>
で与えられる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{Citation
|last=Dickson
|first=L. E.
|author-link=レオナード・E・ディクソン
|year=2005
|origyear=1919
|title=History of the Theory of Numbers
|publisher=Dover Publications
|location=New York
|volume=Volume l: Divisibility and Primality
|id={{MR|0245499}}
|isbn=978-0-486-44232-7
|url=https://archive.org/details/historyoftheoryo01dick
|ref={{Harvid|Dickson|2005a}}
}}
*{{Citation
|last=Dickson
|first=L. E.
|author-link=レオナード・E・ディクソン
|year=2005
|origyear=1920
|title=History of the Theory of Numbers
|publisher=Dover Publications
|location=New York
|volume=Volume. II: Diophantine Analysis
|id={{MR|0245500}}
|isbn=978-0-486-44233-4
|url=https://archive.org/details/historyoftheoryo02dickuoft
|ref={{Harvid|Dickson|2005b}}
}}
*{{Citation |last=Euler |first=Leonhard |authorlink=レオンハルト・オイラー |year=1813 |title=Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (An easy rule for Diophantine problems which are to be resolved quickly by integral numbers)  |journal=Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg |volume= 4 |pages=3–17 |url=http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E739.html |language=Latin |accessdate=2009-05-11 |quote=記録によれば、この論文は1778年5月4日付けでサンクトペテルブルク・アカデミーに受理された。}}

== 関連項目 ==
{{Div col}}
*[[三角数]]
*[[平方数]]
*[[ペル方程式]]
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
*{{高校数学の美しい物語|title=三角数とは，三角数定理，平方数との関係|urlname=sankakusu}}
*{{MathWorld|urlname=SquareTriangularNumber|title=Square Triangular Number}}

{{DEFAULTSORT:へいほうさんかくすう}}
[[Category:図形数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:整数の類]]