平衡素数のソースを表示

'''平衡素数'''（{{lang-en-short|balanced prime}}）は[[素数]]であって、1つ前の素数と1つ後の素数の[[算術平均]]に等しいものである。代数的に言えば、小さい順に並べたときの ''n'' 番目の素数を <math>p_n</math> とすると、<math>p_n</math> が平衡素数であるとは次が成り立つことである。

:<math>p_n = {{p_{n - 1} + p_{n + 1}} \over 2}</math>

平衡素数を小さい順にいくつか列挙すると、

[[5]], [[53]], [[157]], [[173]], [[211]], [[257]], [[263]], [[373]], 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103 {{OEIS|id=A006562}}.

例えば、53は16番目の素数である。15番目と17番目の素数である[[47]]と[[59]]を[[加法|足す]]と[[106]]になり、その半分は53なので、53は平衡素数である。

仮に[[1]]を素数であると考えれば、それに応じて[[2]]が最初の平衡素数と考えられる。なぜならば

: <math>2 = {1 + 3 \over 2}</math>

だからである。平衡素数は[[無限]]に多く存在すると予想されている。

等差数列における3つの連続した素数は、'''CPAP-3''' と呼ばれることがある。平衡素数は定義によって CPAP-3 の2番目の素数である。2014年現在、CPAP-3として知られている最も大きなものは 10546 桁のものであり、David Broadhurst によって発見された<ref>[http://primerecords.dk/cpap.htm#k3 The Largest Known CPAP's]. Retrieved on 2014-06-13.</ref>。

:<math>p_n = 1213266377 \times 2^{35000} + 2429,\quad  p_{n-1} = p_n-2430,\quad  p_{n+1} = p_n+2430.</math>

''n'' の値は知られていない。

== 関連した概念 ==
素数が、その1つ前の素数と1つ後の素数の算術平均よりも大きい場合、{{仮リンク|強素数|en|strong prime}}（strong prime）と呼ばれる。逆に小さい場合は、弱素数（weak prime）と呼ばれる。

== 位数 n の平衡素数 ==

'''位数 ''n'' の平衡素数'''（balanced prime of order ''n''）とは、素数であって、それに近い上下 ''n'' 個ずつの素数の算術平均に等しいようなものである。代数的には、''k'' 番目の素数 <math>p_k</math> が平衡素数であるとは、次が成り立つことである。

:<math>p_k = { \sum_{i=1}^n ({p_{k - i} + p_{k + i})} \over 2n}.</math>

前述の素数は位数 1 の平衡素数である。他の位数は 2 {{OEIS|A082077}}、3 {{OEIS|A082078}}、4 {{OEIS|A082079}} で見られる。

== 脚注 ==
{{reflist}}

{{素数の分類}}
{{デフォルトソート:へいこうそすう}}
[[Category:素数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:素数の類]]

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