平衡素数

平衡素数（テンプレート:Lang-en-short）は素数であって、1つ前の素数と1つ後の素数の算術平均に等しいものである。代数的に言えば、小さい順に並べたときの n 番目の素数を $p_{n}$ とすると、 $p_{n}$ が平衡素数であるとは次が成り立つことである。

p_{n} = \frac{p_{n - 1} + p_{n + 1}}{2}

平衡素数を小さい順にいくつか列挙すると、

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103 テンプレート:OEIS.

例えば、53は16番目の素数である。15番目と17番目の素数である47と59を足すと106になり、その半分は53なので、53は平衡素数である。

仮に1を素数であると考えれば、それに応じて2が最初の平衡素数と考えられる。なぜならば

2 = \frac{1 + 3}{2}

だからである。平衡素数は無限に多く存在すると予想されている。

等差数列における3つの連続した素数は、CPAP-3 と呼ばれることがある。平衡素数は定義によって CPAP-3 の2番目の素数である。2014年現在、CPAP-3として知られている最も大きなものは 10546 桁のものであり、David Broadhurst によって発見された^[1]。

p_{n} = 1213266377 \times 2^{35000} + 2429, p_{n - 1} = p_{n} - 2430, p_{n + 1} = p_{n} + 2430 .

n の値は知られていない。

位数 n の平衡素数

位数 n の平衡素数（balanced prime of order n）とは、素数であって、それに近い上下 n 個ずつの素数の算術平均に等しいようなものである。代数的には、k 番目の素数 $p_{k}$ が平衡素数であるとは、次が成り立つことである。

p_{k} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (p_{k - i} + p_{k + i})}{2 n} .

前述の素数は位数 1 の平衡素数である。他の位数は 2 テンプレート:OEIS、3 テンプレート:OEIS、4 テンプレート:OEIS で見られる。