広田微分のソースを表示

広田微分（ひろたびぶん Hirota derivative）は、日本の[[数学者]]・[[広田良吾]]が導入した[[微分]]演算。[[可積分系]]の方程式を双線形方程式に帰着させて解く[[広田の方法]]で用いられる。

==定義==
二つの関数の組''f'' 、''g'' に対して、
:<math>
D_x f \cdot g=
\left.
\biggl ( \frac{\partial}{\partial x}- \frac{\partial}{\partial x'} \biggr )
f(x)g(x') \right |_{x'=x}
=f_x g-fg_x
</math>
で定義される[[二項演算]]を'''広田微分'''と呼ぶ。また[[作用素 (関数解析学)|演算子]]''D''<sub>x</sub>を'''広田のD-演算子'''と呼ぶ。

より一般的には、多変数関数の二つの組''f'' (''x'', ''y'', ''z'', … ) 、''g'' (''x'', ''y'', ''z'',… ) に対して、
高階の広田微分が
:<math>
D_x{}^{l}D_y{}^{m}D_z{}^{n}\cdots f \cdot g=
\left.
\biggl ( \frac{\partial}{\partial x}- \frac{\partial}{\partial x'} \biggr )^l
\biggl ( \frac{\partial}{\partial y}- \frac{\partial}{\partial y'} \biggr )^m
\biggl ( \frac{\partial}{\partial z}- \frac{\partial}{\partial z'} \biggr )^n
\cdots
f(x, y, z, \cdots)g(x',y',z',\cdots) \right |_{x'=x, y'=y, z'=z,\cdots}
</math>
:::::<math>
=\left.
\frac{\partial^l}{\partial r^l}
\frac{\partial^m}{\partial s^m}
\frac{\partial^n}{\partial t^n}
\cdots
f(x+r, y+s, z+t, \cdots)g(x-r,y-s,z-t,\cdots)
 \right |_{r,s,t, \cdots=0}
</math>
で定義される。

実際の計算例は次のようになる。
*<math>
D_x f \cdot g=f_x g-fg_x
</math>
*<math>
D_x^{\,2} f \cdot g = f_{xx}g - 2f_xg_x+fg_{xx}
</math>
*<math>
D_x^{\,3} f \cdot g = f_{xxx}g - 3f_{xx}g_x + 3f_{x}g_{xx} - f g_{xxx}
</math>
*<math>
D_x^{\,4} f \cdot g = f_{xxxx}g- 4f_{xxx}g_x + 6f_{xx}g_{xx} - 4f_{x}g_{xxx} + f g_{xxxx}
</math>
*<math>
D_xD_y f \cdot g = f_{yx}g - f_yg_x- f_xg_y + fg_{yx}
</math>

広田微分を作用させた結果において、各項は二つの関数の導関数について、どちらも一次式の形になっており、これを'''双線形形式'''(bilinear form)と呼ぶ。また、広田微分を用いて、双線形形式に帰着させることを'''双線形化'''と呼ぶ。

==性質==
* 基本的性質
*:広田微分は次の性質を満たす。
**<math>
D_x^{\, m} f \cdot 1 = \partial_{x}^{\,m} f
</math>
**<math>
D_x^{\, m} f \cdot g =(-1)^m D_x^{\, m} g \cdot f
</math>
**<math>
D_x^{\, 2m+1} f \cdot f =0
</math>
**<math>
D_x^{\, m}D_t^{\, n} e^{k_1x-\omega_1t} \cdot e^{k_2x-\omega_2t} =
(k_1-k_2)^m(-\omega_1+\omega_2)^n
e^{(k_1x-\omega_1t)+(k_2x-\omega_2t)}
</math>
**''F'' (''D''<sub>t</sub>, ''D''<sub>x</sub>)を''D''<sub>t</sub>,  ''D''<sub>x</sub>の多項式とすると
*::<math>
F(D_t, D_x)e^{k_1x-\omega_1t}\cdot e^{k_2x-\omega_2t}=
\frac{F(-\omega_1+\omega_2, k1-k_2)}{F(-\omega_1-\omega_2, k1+k_2)}
F \biggl (\frac{\partial}{\partial t}, \, \frac{\partial}{\partial x} \biggr )
e^{(k1+k_2)x-(\omega_1+\omega_2)t}
</math>
* 広田微分は[[ヤコビの恒等式]]を満たす。
*:<math>
D_x(D_x f \cdot g)\cdot h + D_x(D_x g \cdot h)\cdot f +D_x(D_x h \cdot f)\cdot g=0
</math>

==変数変換と広田微分==
===対数型変換===
非線形偏微分方程式の双線形化においては、
:<math>
u=\log{f} \,
</math>
の'''対数型変換'''がしばしば用いられる。対数型変換における微分については、以下の公式が成り立つ。

*<math>
2\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\log{f}=\frac{D_x^{\,2} f \cdot f}{f^2}
</math>
*<math>
2\frac{\partial ^2}{\partial x \partial t}\log{f}=\frac{D_x D_t f \cdot f}{f^2}
</math>
*<math>
2\frac{\partial ^4}{\partial x^4}\log{f}=\frac{D_x^{\,4} f \cdot f}{f^2}
-3 \left ( \frac{D_x^{\,2} f \cdot f}{f^2} \right )^2
</math>

===有理型変換===
非線形偏微分方程式の双線形化においては、
:<math>
u=\frac{g}{f}
</math>
の'''有理型変換'''も良く用いられる。有理型変換における微分については、以下の公式が成り立つ。

*<math>
\frac{\partial}{\partial x}\left ( \frac{g}{f} \right )
 =\frac{D_x g \cdot f}{f^2}
</math>
*<math>
\frac{\partial^3}{\partial x^3}\left ( \frac{g}{f} \right )
 =\frac{D_x^{\,3} g \cdot f}{f^2}
-3 \frac{D_x g \cdot f}{f^2}\frac{D_x f \cdot f}{f^2}
</math>

==参考文献==
*広田良吾　『直接法によるソリトンの数理』　岩波書店、1992年

==関連項目==
*[[広田の方法]]

{{DEFAULTSORT:ひろたひふん}}
[[Category:微分法]]
[[Category:数学に関する記事]]