広田微分

広田微分（ひろたびぶん Hirota derivative）は、日本の数学者・広田良吾が導入した微分演算。可積分系の方程式を双線形方程式に帰着させて解く広田の方法で用いられる。

定義

二つの関数の組f 、g に対して、

D_{x} f \cdot g = {(\frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x^{'}}) f (x) g (x^{'}) |}_{x^{'} = x} = f_{x} g - f g_{x}

で定義される二項演算を広田微分と呼ぶ。また演算子D_xを広田のD-演算子と呼ぶ。

より一般的には、多変数関数の二つの組f (x, y, z, … ) 、g (x, y, z,… ) に対して、高階の広田微分が

D_{x}^{l} D_{y}^{m} D_{z}^{n} \dots f \cdot g = {(\frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x^{'}})^{l} (\frac{\partial}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial y^{'}})^{m} (\frac{\partial}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z^{'}})^{n} \dots f (x, y, z, \dots) g (x^{'}, y^{'}, z^{'}, \dots) |}_{x^{'} = x, y^{'} = y, z^{'} = z, \dots}

= {\frac{\partial^{l}}{\partial r^{l}} \frac{\partial^{m}}{\partial s^{m}} \frac{\partial^{n}}{\partial t^{n}} \dots f (x + r, y + s, z + t, \dots) g (x - r, y - s, z - t, \dots) |}_{r, s, t, \dots = 0}

で定義される。

実際の計算例は次のようになる。

$D_{x} f \cdot g = f_{x} g - f g_{x}$
$D_{x}^{2} f \cdot g = f_{x x} g - 2 f_{x} g_{x} + f g_{x x}$
$D_{x}^{3} f \cdot g = f_{x x x} g - 3 f_{x x} g_{x} + 3 f_{x} g_{x x} - f g_{x x x}$
$D_{x}^{4} f \cdot g = f_{x x x x} g - 4 f_{x x x} g_{x} + 6 f_{x x} g_{x x} - 4 f_{x} g_{x x x} + f g_{x x x x}$
$D_{x} D_{y} f \cdot g = f_{y x} g - f_{y} g_{x} - f_{x} g_{y} + f g_{y x}$

広田微分を作用させた結果において、各項は二つの関数の導関数について、どちらも一次式の形になっており、これを双線形形式(bilinear form)と呼ぶ。また、広田微分を用いて、双線形形式に帰着させることを双線形化と呼ぶ。

基本的性質
広田微分は次の性質を満たす。
- $D_{x}^{m} f \cdot 1 = \partial_{x}^{m} f$
- $D_{x}^{m} f \cdot g = (- 1)^{m} D_{x}^{m} g \cdot f$
- $D_{x}^{2 m + 1} f \cdot f = 0$
- $D_{x}^{m} D_{t}^{n} e^{k_{1} x - ω_{1} t} \cdot e^{k_{2} x - ω_{2} t} = (k_{1} - k_{2})^{m} (- ω_{1} + ω_{2})^{n} e^{(k_{1} x - ω_{1} t) + (k_{2} x - ω_{2} t)}$
- F (D_t, D_x)をD_t, D_xの多項式とすると
$F (D_{t}, D_{x}) e^{k_{1} x - ω_{1} t} \cdot e^{k_{2} x - ω_{2} t} = \frac{F (- ω_{1} + ω_{2}, k 1 - k_{2})}{F (- ω_{1} - ω_{2}, k 1 + k_{2})} F (\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}) e^{(k 1 + k_{2}) x - (ω_{1} + ω_{2}) t}$
広田微分はヤコビの恒等式を満たす。
$D_{x} (D_{x} f \cdot g) \cdot h + D_{x} (D_{x} g \cdot h) \cdot f + D_{x} (D_{x} h \cdot f) \cdot g = 0$

非線形偏微分方程式の双線形化においては、

u = \log f

の対数型変換がしばしば用いられる。対数型変換における微分については、以下の公式が成り立つ。

$2 \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \log f = \frac{D_{x}^{2} f \cdot f}{f^{2}}$
$2 \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial t} \log f = \frac{D_{x} D_{t} f \cdot f}{f^{2}}$
$2 \frac{\partial^{4}}{\partial x^{4}} \log f = \frac{D_{x}^{4} f \cdot f}{f^{2}} - 3 {(\frac{D_{x}^{2} f \cdot f}{f^{2}})}^{2}$

非線形偏微分方程式の双線形化においては、

u = \frac{g}{f}

の有理型変換も良く用いられる。有理型変換における微分については、以下の公式が成り立つ。

$\frac{\partial}{\partial x} (\frac{g}{f}) = \frac{D_{x} g \cdot f}{f^{2}}$
$\frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}} (\frac{g}{f}) = \frac{D_{x}^{3} g \cdot f}{f^{2}} - 3 \frac{D_{x} g \cdot f}{f^{2}} \frac{D_{x} f \cdot f}{f^{2}}$