弧 (射影幾何学)のソースを表示

有限[[射影幾何学]]における'''弧'''（こ、{{lang-en-short|''arc''}}) とは {{mvar|d}} 次元の有限射影空間上の、どのような {{math|''d'' + 1}} 個の点も決して同一[[超平面]]（{{nowrap|[[余次元]] {{math|1}}}}、つまり {{math|''d'' − 1}} 次元の部分空間）上にない点の集合である。

{{math|''d'' + 1}} をさらに小さくすることはできない。{{mvar|d}} 次元空間において、どのような {{mvar|d}} 個の点をとってきても、そのうちの {{math|''d'' − 1}} 個の点が同一の {{math|''d'' − 2}} 次元の部分空間に属さない限り、それらの {{mvar|d}} 個の点を通る {{math|''d'' − 1}} 次元超平面が一意に定まる。

== 有限射影平面における弧 ==

特に、有限[[射影平面]]における弧とは有限射影平面上の、どの3点も同一直線状にない点の集合である。そのような {{mvar|k}} 個の点の集合を特に {{mvar|k}}-弧という{{harv|Dembowski|1955|loc=Section 3.2}}。

{{mvar|k}}-弧に対して、そのうちのちょうど2点を通る直線を割線 (secant)、ちょうど1点を通る直線を接線 (tangent)、どの点も通らない直線を外線 (exterior line)という。

位数 {{mvar|n}} の有限射影平面において弧の点の個数は {{math|''n'' + 2}} 以下である。というのは、弧の任意の1点 {{mvar|P}} をとると、{{mvar|P}} を通る {{math|''n'' + 1}} 本の直線のそれぞれについて、弧に属する点は {{mvar|P}} の他にあっても1点しか存在しないからである。
位数 {{mvar|n}} の有限射影平面における {{mvar|k}}-弧の割線、接線、外線の数はそれぞれ <math display="inline">{k \choose 2}, k(n+2-k), {n \choose 2}+{n+2-k \choose 2} </math> 本である。

{{math|(''n'' + 2)}}-弧が存在するとき {{mvar|n}} は偶数でなければならない。というのは {{math|(''n'' + 2)}}-弧 {{mvar|C}} の任意の1点 {{mvar|P}} をとると、上と同様にして、{{mvar|P}} を通る {{math|''n'' + 1}} 本の直線のそれぞれについて、{{mvar|C}} と交わる点が {{mvar|P}} 以外にちょうど1つずつ存在する。したがって {{mvar|C}} の1点を通る直線は {{mvar|C}} とちょうど2点で交わる。次に {{mvar|C}} に属さない点 {{mvar|Q}} を1つとる。{{mvar|Q}} を通る直線で {{mvar|C}} と交わるもの {{math|''l''{{sub|1}}, ''l''{{sub|2}}, …, ''l{{sub|m}}''}} を考える。上記の理由から、各 {{mvar|l{{sub|i}}}} と {{mvar|C}} の交点はちょうど2つである。{{mvar|C}} 上の各点について、その点と {{mvar|Q}} を通る直線はただ1つ存在する。よって、{{math|1=''n'' + 2 = 2''m''}} が成り立つので、{{math|1=''n'' = 2''m'' − 2}} は偶数でなければならない。

位数 {{mvar|n}} の有限射影平面において {{math|(''n'' + 1)}}-弧を[[オーバル]]、 (''n'' + 2)-弧をハイパーオーバルという。オーバルの各点はちょうど1つの接線をもつ。{{mvar|n}} が偶数のとき、これらの接線は1点で交わり、その1点を加えればハイパーオーバルを構成できる。

位数 {{mvar|n}}（{{mvar|n}} は素数の冪とする）の有限体上の射影平面上の2次曲線はオーバルとなる。さらに、奇数位数の有限体上の射影平面上のオーバルはそのようなものに限る（{{仮リンク|セグレの定理|en|Segre's theorem}}、{{harv|Segre|1955}}）。

== 参考文献 ==
* {{citation
| last = Dembowski
| first = Peter
| title = Finite geometries (reprint of the 1968 edition)
| year = 1997
| publisher = Springer Verlag
| url = https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-62012-6#toc
| isbn = 978-3-642-62012-6
| doi = 10.1007/978-3-642-62012-6
| mr = 1434062
| ref = harv
}}
* {{citation
|  last = {{仮リンク|ベニャミーノ・セグレ|label=Segre|en|Beniamino_Segre}}
<!--| author-link=ベニャミーノ・セグレ-->
|  first = Beniamino
|  title = Ovals in a finite projective space
|  journal = Canad. J. Math.
|  volume = 7
|  year = 1955
|  pages = 414&ndash;416
|  issn = 1496-4279
|  doi = 10.4153/CJM-1955-045-x
|  mr = 0071034
|  ref = harv
}}

{{DEFAULTSORT:こ}}
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