弱次元のソースを表示

[[抽象代数学]]において、環 {{mvar|R}} 上の {{math|0}} でない右[[環上の加群|加群]] {{mvar|M}} の'''弱次元'''（{{lang-en-short|weak dimension}}）は、Tor群 {{math|1=Tor{{subsup||''n''|''R''}}(''M'', ''N'')}} が {{math|0}} でない左 {{mvar|R}} 加群 {{mvar|N}} が存在するような最大の数 {{mvar|n}}（そのような {{mvar|n}} が存在しなければ無限大）である。左 {{mvar|R}} 加群の弱次元も同様に定義される。弱次元は {{harvs|txt|last1=Cartan|last2=Eilenberg|year=1956|p=122}} によって導入された。弱次元は[[平坦加群]]による加群の[[分解 (ホモロジー代数)|分解]]の最短の長さであるので'''平坦次元''' (flat dimension) と呼ばれることもある。加群の弱次元は[[射影次元]]を超えない。

環の'''弱大局次元''' (weak global dimension) は {{math|Tor{{subsup||''n''|''R''}}(''M'', ''N'')}} が {{math|0}} でないような右 {{mvar|R}} 加群 {{mvar|M}} と左 {{mvar|R}} 加群 {{mvar|N}} が存在するような最大の数 {{mvar|n}} である。そのような {{mvar|n}} が存在しなければ、弱大局次元は無限大と定義される。それは環 {{mvar|R}} の左右の[[大局次元]]を超えない。

== 例 ==
=== 弱次元 ===
* [[整数]]環 {{math|'''Z'''}} 上の[[有理数]]の加群 {{math|'''Q'''}} の弱次元は {{math|0}} だが射影次元は {{math|1}} である。
* {{math|'''Z'''}} 上の加群 {{math|'''Q'''/'''Z'''}} の弱次元は {{math|1}} だが[[移入次元]]は {{math|0}} である。
* {{math|'''Z'''}} 上の加群 {{math|'''Z'''}} の弱次元は {{math|0}} だが移入次元は {{math|1}} である。
=== 弱大局次元 ===
* [[フォン・ノイマン正則環]]の弱大局次元は {{math|0}} であり、かつ、弱大局次元が {{math|0}} の環はフォン・ノイマン正則環に限る。
* [[プリューファー整域]]の弱大局次元は高々 {{math|1}} である。
* 無限個の体の直積の弱大局次元は {{math|0}} だが大局次元は {{math|0}} でない。
* 環が右[[ネーター環|ネーター]]ならば右大局次元は弱大局次元と同じであり、左大局次元を超えない。特に環が右かつ左ネーターならば左右の大局次元と弱大局次元はすべて同じである。
* {{仮リンク|三角行列環|en|triangular matrix ring}} <math>\begin{bmatrix}\mathbf{Z}&\mathbf{Q}\\0&\mathbf{Q}\end{bmatrix}</math> の右大局次元は {{math|1}} で弱大局次元は {{math|1}} だが、左大局次元は {{math|2}} である。それは右ネーターだが左ネーターでない。

== 参考文献 ==
*{{Citation | last1=Cartan | first1=Henri | author1-link= Henri Cartan | last2=Eilenberg | first2=Samuel | author2-link=Samuel Eilenberg | title=Homological algebra | url=https://books.google.co.jp/books?id=0268b52ghcsC&redir_esc=y&hl=ja | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Princeton Mathematical Series | isbn=978-0-691-04991-5  |mr=0077480 | year=1956 | volume=19}}
*{{Citation | last1=Năstăsescu | first1=Constantin | last2=Van Oystaeyen | first2=Freddy | author2-link = Fred Van Oystaeyen | title=Dimensions of ring theory | publisher=D. Reidel Publishing Co. | series=Mathematics and its Applications | isbn=9789027724618 | doi=10.1007/978-94-009-3835-9 |mr=894033 | year=1987 | volume=36}}

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