弱次元

抽象代数学において、環テンプレート:Mvar 上のテンプレート:Math でない右加群テンプレート:Mvar の弱次元（テンプレート:Lang-en-short）は、Tor群テンプレート:Math がテンプレート:Math でない左テンプレート:Mvar 加群テンプレート:Mvar が存在するような最大の数テンプレート:Mvar（そのようなテンプレート:Mvar が存在しなければ無限大）である。左テンプレート:Mvar 加群の弱次元も同様に定義される。弱次元はテンプレート:Harvs によって導入された。弱次元は平坦加群による加群の分解の最短の長さであるので平坦次元 (flat dimension) と呼ばれることもある。加群の弱次元は射影次元を超えない。

環の弱大局次元 (weak global dimension) はテンプレート:Math がテンプレート:Math でないような右テンプレート:Mvar 加群テンプレート:Mvar と左テンプレート:Mvar 加群テンプレート:Mvar が存在するような最大の数テンプレート:Mvar である。そのようなテンプレート:Mvar が存在しなければ、弱大局次元は無限大と定義される。それは環テンプレート:Mvar の左右の大局次元を超えない。

例

フォン・ノイマン正則環の弱大局次元はテンプレート:Math であり、かつ、弱大局次元がテンプレート:Math の環はフォン・ノイマン正則環に限る。
プリューファー整域の弱大局次元は高々テンプレート:Math である。
無限個の体の直積の弱大局次元はテンプレート:Math だが大局次元はテンプレート:Math でない。
環が右ネーターならば右大局次元は弱大局次元と同じであり、左大局次元を超えない。特に環が右かつ左ネーターならば左右の大局次元と弱大局次元はすべて同じである。
テンプレート:仮リンク $[\begin{matrix} 𝐙 & 𝐐 \\ 0 & 𝐐 \end{matrix}]$ の右大局次元はテンプレート:Math で弱大局次元はテンプレート:Math だが、左大局次元はテンプレート:Math である。それは右ネーターだが左ネーターでない。