分解 (ホモロジー代数)

テンプレート:脚注の不足

数学のホモロジー代数において、分解（ぶんかい、テンプレート:Lang-en-short）（あるいは左分解 (left resolution); 双対の余分解 (coresolution) あるいは右分解 (right resolution)^[1]）は加群（あるいはより一般に、アーベル圏の対象）の完全列であり、加群あるいはこの圏の対象の構造を特徴づける不変量を定義するために用いられる。通常通り射が右向きのときは、列は（左）分解については左側に無限で、右分解については右側に無限であるとされる。しかしながら、有限分解 (finite resolution) は列の対象の有限個だけが零でない分解である。そのようなものは通常、（左分解について）左端の対象あるいは（右分解について）右端の対象が零対象である有限完全列によって表される^[2]。

一般に、列の対象はなんらかの性質 P（例えば自由である）を持つよう制限される。したがって P 分解が語られる。とくに、任意の加群は自由分解、射影分解、平坦分解をもつ。それらはそれぞれ自由加群、射影加群、平坦加群からなる左分解である。同様に任意の加群は単射分解をもつ。これは単射加群からなる右分解である。

加群の分解

定義

環テンプレート:Mvar 上の加群テンプレート:Mvar が与えられると、テンプレート:Mvar の左分解 (left resolution)（あるいは単に分解 (resolution)）とは、テンプレート:Mvar 加群の（無限でもよい）完全列

\dots \overset{d_{n + 1}}{⟶} E_{n} \overset{d_{n}}{⟶} \dots \overset{d_{3}}{⟶} E_{2} \overset{d_{2}}{⟶} E_{1} \overset{d_{1}}{⟶} E_{0} \overset{ϵ}{⟶} M ⟶ 0

である。準同型テンプレート:Mvar は境界写像 (boundary map) と呼ばれる。写像テンプレート:Mvar は添加写像 (augmentation map) と呼ばれる。簡明のため、上の分解は次のように書ける。

E_{∙} \overset{ϵ}{⟶} M ⟶ 0 .

双対概念は右分解 (right resolution)（あるいは余分解 (coresolution)、あるいは単に分解）の概念である。具体的には、環テンプレート:Mvar 上の加群テンプレート:Mvar が与えられると、右分解とはテンプレート:Mvar 加群の無限でもよい完全列

0 ⟶ M \overset{ϵ}{⟶} C^{0} \overset{d^{0}}{⟶} C^{1} \overset{d^{1}}{⟶} C^{2} \overset{d^{2}}{⟶} \dots \overset{d^{n - 1}}{⟶} C^{n} \overset{d^{n}}{⟶} \dots

である。ただし各テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar 加群である（そのような分解の双対性を示すため分解における対象や対象の間の射には上付きの添え字を使うのが一般的である）。簡単のため、上の分解は以下のように書ける。

0 ⟶ M \overset{ϵ}{⟶} C^{∙} .

（余）分解が有限 (finite) であるとは、現れる加群のうち有限個だけが零でないことをいう。有限分解の長さ (length) は加群が非零な添え字テンプレート:Mvar の最大値である。

自由、射影、単射、平坦分解

多くの状況では、与えられた加群テンプレート:Mvar を分解する加群テンプレート:Mvar に条件が課される。例えば、加群テンプレート:Mvar の自由分解はすべての加群テンプレート:Mvar が自由テンプレート:Mvar 加群であるような左分解である。同様に、射影分解あるいは平坦分解はすべてのテンプレート:Mvar が射影加群あるいは平坦加群であるような左分解である。単射分解はテンプレート:Mvar がすべて単射加群であるような右分解である。

すべてのテンプレート:Mvar 加群は自由左分解を持つ^[3]。テンプレート:仮リンク任意の加群は射影分解や平坦分解も持つ。証明のアイデアは、テンプレート:Math をテンプレート:Mvar の元によって生成される自由テンプレート:Mvar 加群と定義し、テンプレート:Math を自然な写像テンプレート:Math の核の元によって生成される自由テンプレート:Mvar 加群と定義し、……とすることである。双対的に、任意のテンプレート:Mvar 加群は移入分解を持つ。射影分解（そしてより一般に平坦分解）は Tor 関手を計算するのに使うことができる。

加群テンプレート:Mvar の射影分解はテンプレート:仮リンクの違いを除いて一意的である、すなわち、テンプレート:Mvar の2つの射影分解テンプレート:Math とテンプレート:Math が与えられると、それらの間の鎖ホモトピーが存在する。

分解はホモロジー次元を定義するために使われる。加群テンプレート:Mvar の有限射影分解の最小の長さはその射影次元と呼ばれ、テンプレート:Math と表記される。例えば、加群の射影次元が 0 であることとそれが射影加群であることは同値である。テンプレート:Mvar が有限射影分解を持たないときは射影次元は無限大である。例えば、可換局所環テンプレート:Mvar に対して、射影次元が有限であることとテンプレート:Mvar が正則であることは同値であり、そのとき射影次元とテンプレート:Mvar のクルル次元と一致する。同様に加群に対して移入次元テンプレート:Math や平坦次元テンプレート:Math も定義される。

移入次元や射影次元は右テンプレート:Mvar 加群の圏上テンプレート:Mvar の右大域次元と呼ばれるテンプレート:Mvar のホモロジー次元を定義するために用いられる。同様に、平坦次元は弱大域次元を定義するために用いられる。これらの次元の振る舞いは環の特徴を反映する。例えば、環の右大域次元が 0 であることと半単純環であることは同値であり、環の弱大域次元が 0 であることとフォン・ノイマン正則環であることは同値である。

次数付き加群と代数

テンプレート:Mvar を体上次数が正の元によって生成される次数付き代数上の次数付き加群とする。するとテンプレート:Mvar は、自由加群テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar たちとテンプレート:Mvar が次数付き線型写像であるように次数付けられる自由分解を持つ。これらの次数付き自由分解の中で、極小自由分解 (minimal free resolution) は各テンプレート:Mvar の基底元の個数が極小であるようなものである。各テンプレート:Mvar の基底元の個数とそれらの次数は次数付き加群のすべての極小自由分解に対して同じである。

テンプレート:Mvar が体上の多項式環における斉次イデアルであるとき、テンプレート:Mvar によって定義されるテンプレート:仮リンクのテンプレート:仮リンクは、テンプレート:Mvar の極小自由分解におけるテンプレート:Mvar の基底元の次数がすべてテンプレート:Math よりも小さいような最小の整数テンプレート:Mvar である。

例

自由分解の古典的な例は局所環における正則列あるいは体上有限生成の次数付き代数における斉次正則列のテンプレート:仮リンクによって与えられる。

テンプレート:Mvar をテンプレート:仮リンクとする、すなわちその普遍被覆テンプレート:Mvar が可縮であるとする。するとテンプレート:Mvar のすべての特異（あるいはテンプレート:仮リンク）鎖複体は環テンプレート:Math 上だけでなく群環テンプレート:Math 上加群テンプレート:Math の自由分解である。

アーベル圏における分解

アーベル圏テンプレート:Mvar の対象テンプレート:Mvar の分解の定義は上と同じであるが、テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の対象であり、すべての写像はテンプレート:Mvar の射である。

射影加群と単射加群の類似の概念は射影的対象と単射的対象であり、したがって、射影分解と単射分解が定義される。しかしながら、そのような分解は一般のアーベル圏テンプレート:Mvar において存在するとは限らない。テンプレート:Mvar のすべての対象が射影（resp。単射）分解をもつとき、テンプレート:Mvar は十分射影的（resp。十分入射的）であるという。それらが存在するときでさえ、そのような分解はしばしば扱うのが難しい。例えば、上で指摘したように、すべてのテンプレート:Mvar 加群は単射分解を持つが、この分解は関手的ではない、すなわち、準同型テンプレート:Math と単射分解

0 \to M \to I_{*}, 0 \to M^{'} \to I'_{*}

が与えられたとき、 $I_{*}$ と $I'_{*}$ の間の写像を得る関手的方法は一般には存在しない。

非輪状分解

多くの場合分解に現れる対象には実際には興味はなく、与えられた関手に対する分解の振る舞いに興味がある。したがって、多くの状況で、非輪状分解 (acyclic resolution) の概念が使われる： 2つのアーベル圏の間の左完全関手テンプレート:Math が与えられると、テンプレート:Mvar の対象テンプレート:Mvar の分解

0 \to M \to E_{0} \to E_{1} \to E_{2} \to \dots

がテンプレート:Mvar 非輪状とは、導来関手テンプレート:Math がすべてのテンプレート:Math とテンプレート:Math に対して消えることをいう。双対的に、左分解が右完全関手について非輪状とは、その導来関手が分解の対象上消えることをいう。

例えば、テンプレート:Mvar 加群テンプレート:Mvar が与えられると、テンソル積 $-- \otimes_{R} M$ が右完全関手テンプレート:Math である。すべての平坦分解はこの関手について非輪状である。平坦分解はすべてのテンプレート:Mvar によるテンソル積に対して非輪状である。同様に、すべての関手テンプレート:Math に対して非輪状な分解は射影分解であり、関手テンプレート:Math に対して非輪状なのは単射分解である。

任意の単射（resp。射影）分解は任意の左（resp。右）完全関手に対してテンプレート:Mvar 非輪状である。

非輪状分解の重要性は、（左完全関手の）導来関手テンプレート:Mvar（同様に右完全関手の導来関手テンプレート:Mvar）がテンプレート:Mvar 非輪状分解のホモロジーから得られることにある：対象テンプレート:Mvar の非輪状分解 $E_{*}$ が与えられると、

R_{i} F (M) = H_{i} F (E_{*})

が成り立つ、ただし右辺は複体 $F (E_{*})$ のテンプレート:Mvar 次ホモロジー対象である。

この状況は多くの状況に適用できる。例えば、可微分多様体テンプレート:Mvar 上のテンプレート:仮リンクテンプレート:Mvar に対して、滑らかな微分形式の層 $𝒞^{*} (M)$ によって分解できる： $0 \to R \subset 𝒞^{0} (M) \overset{d}{\to} 𝒞^{1} (M) \overset{d}{\to} \dots \to 𝒞^{\dim M} (M) \to 0 .$ 層 $𝒞^{*} (M)$ は細層であり、大域切断関手 $Γ : ℱ \mapsto ℱ (M)$ に関して非輪状であることが知られている。したがって、大域切断関手テンプレート:Math の導来関手である層係数コホモロジーは次のように計算される： $H^{i} (M, 𝐑) = H^{i} (𝒞^{*} (M)) .$

同様に、テンプレート:仮リンクは大域切断関手に関して非輪状である。

脚注

テンプレート:Reflist

参考文献

テンプレート:脚注の不足

外部リンク

↑ テンプレート:Harvnb は coresolution を用いているが，right resolution の方が，テンプレート:Harvnb にあるように，一般的である．
↑ テンプレート:Nlab, テンプレート:Nlab
↑ テンプレート:Harvnb

[1] テンプレート:Harvnb は coresolution を用いているが，right resolution の方が，テンプレート:Harvnb にあるように，一般的である．

[2] テンプレート:Nlab, テンプレート:Nlab

[3] テンプレート:Harvnb

[1]

[2]

[3]

分解 (ホモロジー代数)

目次

加群の分解

定義

自由、射影、単射、平坦分解

次数付き加群と代数

例

アーベル圏における分解

非輪状分解

関連項目

脚注

参考文献

外部リンク

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分解 (ホモロジー代数)

加群の分解

定義

自由、射影、単射、平坦分解

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例

アーベル圏における分解

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