強圧的函数のソースを表示

[[数学]]において'''強圧的函数'''（きょうあつてきかんすう、{{Lang-en-short|coercive function}}）とは、それが定義されている空間の極限において「急速に成長する」函数である。文脈によって異なる定義が存在する。

== 強圧的ベクトル場 ==

ベクトル場 ''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''R'''<sup>''n''</sup> が'''強圧的'''（coercive）であるとは、

:<math>\frac{f(x) \cdot x}{\| x \|} \to + \infty \mbox{ as } \| x \| \to + \infty,</math>

が成り立つことをいう。ここで "<math>\cdot</math>" は通常の[[ドット積]]で、<math>\|x\|</math> はベクトル ''x'' の通常のユークリッド[[ノルム]]である。

[[コーシー＝シュワルツの不等式]]より、<math>x \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\} </math> に対して <math>\|f(x)\| \geq  (f(x) \cdot x) / \| x \|</math> が成り立つことから、強圧的ベクトル場は特にノルム強圧的でもある。しかし、ノルム強圧的な写像 ''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''R'''<sup>''n''</sup> は必ずしも強圧的ベクトル場ではない。例えば、90° の回転 ''f'' : '''R'''<sup>''2''</sup> &rarr; '''R'''<sup>''2''</sup>, ''f(x) = (-x<sub>2</sub>, x<sub>1</sub>)'' はノルム強圧的であるが、すべての <math>x \in \mathbb{R}^2</math> に対して <math>f(x) \cdot x = 0</math> であるため、強圧的ベクトル場ではない。

== 強圧的な作用素と形式 ==

<math>H</math> を実[[ヒルベルト空間]]とするとき、[[自己共役作用素]] <math>A:H\to H</math> が'''強圧的'''（coercive）であるとは、ある定数 <math>c>0</math> が存在して

: <math>\langle Ax, x\rangle \ge c\|x\|^2</math>

が <math>H</math> 内のすべての <math>x</math> に対して成り立つことをいう。

[[双線型形式]] <math>a:H\times H\to \mathbb R</math> が'''強圧的'''であるとは、ある定数 <math>c>0</math> が存在して

:<math>a(x, x)\ge c\|x\|^2</math>

が <math>H</math> 内のすべての <math>x</math> に対して成り立つことをいう。

[[リースの表現定理]]より、任意の対称（<math>H</math> 内のすべての <math>x, y</math> に対して <math>a(x, y)=a(y, x)</math>）、連続（<math>H</math> 内のすべての <math>x, y</math> とある定数 <math>k>0</math> に対して <math>|a(x, y)|\le k\|x\|\,\|y\|</math>）かつ強圧的な双線型形式 <math>a</math> は、ある自己共役作用素 <math>A:H\to H</math> に対して次の表現を持つことが従う：

: <math>a(x, y)=\langle Ax, y\rangle.</math>

この作用素 <math>A</math> は強圧的作用素であることが分かる。また逆に、強圧的な自己共役作用素 <math>A</math> が与えられたとき、上式で定義される双線型形式 <math>a</math> は強圧的である。

任意の自己共役作用素 <math>A:H\to H</math> が強圧的作用素であるための必要十分条件は、それが（ドット積をより一般の内積に置き換える必要があるが、ベクトル場の強圧性の意味において）強圧的な写像であることである。ベクトル場、作用素および双線型形式に対する強圧性の定義は、密接に関連しており、互いに矛盾しないものである。

== ノルム強圧的写像 ==

二つのノルムベクトル空間 <math>(X, \| \cdot \|)</math> と <math>(X', \| \cdot \|')</math> の間の写像 <math>f : X \to X' </math> が'''ノルム強圧的'''（norm-coercive）であるとは

:<math> \|f(x)\|' \to + \infty \mbox{ as } \|x\| \to +\infty </math>

が成立することをいう。より一般に、二つの[[位相空間]] <math>X</math> と <math>X'</math> の間の函数 <math>f : X \to X' </math> が'''強圧的'''であるとは、<math>X'</math> のすべての[[コンパクト空間|コンパクト部分集合]] <math>K'</math> に対して、<math>X</math> のあるコンパクト部分集合 <math>K</math> が存在して、次が成り立つことをいう。

:<math>f (X \setminus K) \subseteq X' \setminus K'.</math>

強圧的写像に対応する[[全単射]][[固有写像]]の[[写像の合成|合成]]は、強圧的である。

==（拡大実数値）強圧的函数 ==

（拡大実数値）函数

<math>f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{- \infty, + \infty\}</math>

が'''強圧的'''であるとは、次が成り立つことをいう。

:<math> f(x) \to + \infty \mbox{ as } \| x \| \to + \infty.</math>

実数値強圧的函数 <math>f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </math> は特にノルム強圧的である。しかし、ノルム強圧的函数 <math>f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </math> は必ずしも強圧的ではない。例えば、<math> \mathbb{R} </math> 上の恒等函数はノルム強圧的であるが、強圧的ではない。

[[放射非有界函数]]の記事も参照されたい。

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2016年3月}}
* {{cite book| author=Renardy, Michael and Rogers, Robert C. | title=An introduction to partial differential equations | edition=Second | publisher=Springer-Verlag | location=New York, NY | year=2004 | pages=xiv+434 | isbn=0-387-00444-0 }}
* {{cite book
 | last       = Bashirov
 | first      = Agamirza E
 | title      = Partially observable linear systems under dependent noises
 | publisher  = Basel; Boston: Birkhäuser Verlag
 | year       = 2003
 | pages      = 
 | isbn       = 0-8176-6999-X
}}
*{{cite book
 | author2-link=:en:Neil Trudinger
 | first1=D.
 | last1=Gilbarg
 | first2=N.
 | last2=Trudinger
 | title      = Elliptic partial differential equations of second order, 2nd ed
 | publisher  = Berlin; New York: Springer
 | year       = 2001
 | pages      = 
 | isbn       = 3-540-41160-7
}}

{{PlanetMath attribution|id=37154|title=Coercive Function}}

{{DEFAULTSORT:きようあつてきかんすう}}
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