強圧的函数

数学において強圧的函数（きょうあつてきかんすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、それが定義されている空間の極限において「急速に成長する」函数である。文脈によって異なる定義が存在する。

強圧的ベクトル場

ベクトル場 f : Rⁿ → Rⁿ が強圧的（coercive）であるとは、

$\frac{f(x)\cdot x}{\Vert x\Vert }\to +\mathrm{\infty }\text{ as }\Vert x\Vert \to +\mathrm{\infty },$

が成り立つことをいう。ここで "$\cdot$" は通常のドット積で、$\Vert x\Vert$ はベクトル x の通常のユークリッドノルムである。

コーシー＝シュワルツの不等式より、$x\in {ℝ}^n\setminus \{0\}$ に対して $\Vert f(x)\Vert \ge (f(x)\cdot x)/\Vert x\Vert$ が成り立つことから、強圧的ベクトル場は特にノルム強圧的でもある。しかし、ノルム強圧的な写像 f : Rⁿ → Rⁿ は必ずしも強圧的ベクトル場ではない。例えば、90° の回転 f : R² → R², f(x) = (-x₂, x₁) はノルム強圧的であるが、すべての $x\in {ℝ}^2$ に対して $f(x)\cdot x=0$ であるため、強圧的ベクトル場ではない。

強圧的な作用素と形式

$H$ を実ヒルベルト空間とするとき、自己共役作用素 $A:H\to H$ が強圧的（coercive）であるとは、ある定数 $c>0$ が存在して

$⟨Ax,x⟩\ge c\Vert x{\Vert }^2$

が $H$ 内のすべての $x$ に対して成り立つことをいう。

双線型形式 $a:H\times H\to ℝ$ が強圧的であるとは、ある定数 $c>0$ が存在して

$a(x,x)\ge c\Vert x{\Vert }^2$

が $H$ 内のすべての $x$ に対して成り立つことをいう。

リースの表現定理より、任意の対称（$H$ 内のすべての $x,y$ に対して $a(x,y)=a(y,x)$）、連続（$H$ 内のすべての $x,y$ とある定数 $k>0$ に対して $|a(x,y)|\le k\Vert x\Vert \Vert y\Vert$）かつ強圧的な双線型形式 $a$ は、ある自己共役作用素 $A:H\to H$ に対して次の表現を持つことが従う：

$a(x,y)=⟨Ax,y⟩.$

この作用素 $A$ は強圧的作用素であることが分かる。また逆に、強圧的な自己共役作用素 $A$ が与えられたとき、上式で定義される双線型形式 $a$ は強圧的である。

任意の自己共役作用素 $A:H\to H$ が強圧的作用素であるための必要十分条件は、それが（ドット積をより一般の内積に置き換える必要があるが、ベクトル場の強圧性の意味において）強圧的な写像であることである。ベクトル場、作用素および双線型形式に対する強圧性の定義は、密接に関連しており、互いに矛盾しないものである。

ノルム強圧的写像

二つのノルムベクトル空間 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ と $(X^{\prime },\Vert \cdot {\Vert }^{\prime })$ の間の写像 $f:X\to X^{\prime }$ がノルム強圧的（norm-coercive）であるとは

$\Vert f(x){\Vert }^{\prime }\to +\mathrm{\infty }\text{ as }\Vert x\Vert \to +\mathrm{\infty }$

が成立することをいう。より一般に、二つの位相空間 $X$ と $X^{\prime }$ の間の函数 $f:X\to X^{\prime }$ が強圧的であるとは、$X^{\prime }$ のすべてのコンパクト部分集合 $K^{\prime }$ に対して、$X$ のあるコンパクト部分集合 $K$ が存在して、次が成り立つことをいう。

$f(X\setminus K)\subseteq X^{\prime }\setminus K^{\prime }.$

強圧的写像に対応する全単射固有写像の合成は、強圧的である。

（拡大実数値）強圧的函数

（拡大実数値）函数

$f:{ℝ}^n\to ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$

が強圧的であるとは、次が成り立つことをいう。

$f(x)\to +\mathrm{\infty }\text{ as }\Vert x\Vert \to +\mathrm{\infty }.$

実数値強圧的函数 $f:{ℝ}^n\to ℝ$ は特にノルム強圧的である。しかし、ノルム強圧的函数 $f:{ℝ}^n\to ℝ$ は必ずしも強圧的ではない。例えば、$ℝ$ 上の恒等函数はノルム強圧的であるが、強圧的ではない。

放射非有界函数の記事も参照されたい。

参考文献

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