形式的冪級数のソースを表示

[[数学]]において、'''形式的冪級数'''（けいしきてきべききゅうすう、{{lang-en-short|formal power series}}）とは、（[[多項式環|形式的]]）[[多項式]]の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、（{{mvar|X}} を[[不定元]]として）
:<math>\sum_{n=0}^\infty X^n=1+X+X^2+X^3+\dotsb+X^n+\dotsb</math>
は（多項式ではない）[[冪級数]]である。

== 定義 ==
{{mvar|A}} を[[可換環|可換]]とは限らない[[環 (数学)|環]]とする。{{mvar|A}} に係数をもち {{mvar|X}} を変数（不定元）とする（一変数）'''形式的冪級数''' (formal power series) とは、各 {{mvar|a{{sub|i}}}} ({{math|1=''i'' = 0, 1, 2, …}}) を {{mvar|A}} の元として、
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dotsb</math>
の形をしたものである。ある {{mvar|m}} が存在して {{math|''n'' &ge; ''m''}} のとき {{math|1=''a{{sub|n}}'' = 0}} となるようなものは[[多項式]]と見なすことができる。

形式的冪級数全体からなる集合 {{math|''A''{{brackets|''X''}}}} に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを'''形式的冪級数環'''という。和と積の定義は以下のようにする。
:<math>\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n + \sum_{n=0}^{\infty} b_n X^n &:= \sum_{n=0}^{\infty} (a_n + b_n) X^n \\
\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^{\infty} b_n X^n\right) &:= \sum_{n=0}^{\infty} \left(\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\right) X^n
\end{align}</math>
すなわち和と積は形式的に定義し、環の元と不定元は可換であるとする。

=== より形式的な定義 ===
{{mathbf|ℕ}} を非負整数全体の集合とし、[[配置集合]] {{math|''A''{{sup|'''ℕ'''}}}} すなわち {{mathbf|ℕ}} から {{mvar|A}} への関数（{{mvar|A}} に値を持つ[[数列]]）全体を考える。この集合に対し
:<math>\begin{align}
(a_n)_{n\in\mathbb{N}}+(b_n)_{n\in\mathbb{N}} &:= (a_n+b_n)_{n\in\mathbb{N}} \\
(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\cdot(b_n)_{n\in\mathbb{N}} &:= \left(\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\right)_{n\in\mathbb{N}}
\end{align}</math>
によって演算を定めると、{{math|''A''{{sup|'''ℕ'''}}}} は環になることが確かめられる。これが形式的冪級数環 {{math|''A''{{brackets|''X''}}}} である。

ここでの {{math|(''a{{sub|n}}'')}} は上の {{math|{{sum}}''a{{sub|n}}X{{sup|n}}''}} と対応する。

=== 合成 ===
定数項が 0 の形式的冪級数は、別の冪級数に代入することができる。すなわち、<math display="inline">f(X):=\sum_{n=0}^{\infty}a_nX^n,\;g(X):=\sum_{m=1}^{\infty}b_mX^m</math> とすると、{{math|(''g''(''X'')){{sup|''n''}}}} は {{math|''n'' &minus; 1}} 次以下の項をもたないので、[[写像の合成|合成]]
:<math>f(g(X))=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\{g(X)\}^n</math>
が意味をもつ。例えば
:<math>\exp(\log(1+t))=1+t</math>
は形式的冪級数としても正しい等式である。

== 性質 ==
以下では {{mvar|A}} を単位元をもつ可換環とし、<math display="inline">f=\sum_{n=0}^{\infty}a_nX^n\in A[[X]]</math> とする。
* {{mvar|f}} が {{math|''A''{{brackets|''X''}}}} の[[可逆元|単元]]であることと {{math|''a''{{sub|0}}}} が {{mvar|A}} の単元であることは同値である。
* {{mvar|f}} が[[冪零元|冪零]]であれば、すべての {{mvar|a{{sub|n}}}} は冪零である。逆は一般には成り立たないが、{{mvar|A}} が[[ネーター環]]であれば成り立つ。
* {{mvar|A}} がネーター環であれば、{{math|''A''{{brackets|''X''}}}} もネーター環である。
* {{mvar|A}} が[[整域]]であれば、{{math|''A''{{brackets|''X''}}}} も整域である。
* {{mvar|f}} が {{math|''A''{{brackets|''X''}}}} の[[ジャコブソン根基]]に属することと、{{math|''a''{{sub|0}}}} が {{mvar|A}} のジャコブソン根基に属することは同値である。

== 形式微分 ==
<math display="inline">f=\sum_{n=0}^{\infty}a_nX^n</math> に対し、<math display="inline">f' := \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot a_nX^{n-1}</math> を ''f'' の'''[[形式微分]]'''という。{{math|''a'', ''b'' &isin; ''A''}}, {{math|''f'', ''g'' &isin; ''A''{{brackets|''X''}}}} に対し、{{math|1=(''af'' + ''bg'')&prime; = ''af&prime;'' + ''bg&prime;''}}, {{math|1=(''fg'')&prime; = ''f&prime;g'' + ''fg&prime;''}} などが成り立つ。

これは（複素あるいは実の）収束冪級数と考えると項別微分に相当するものである。

== 一般化 ==
=== 形式的ローラン級数 ===
有限個の負冪も許したものは'''形式的ローラン級数'''と呼ばれる。正確には次の形のものである。{{mvar|N}} を[[自然数]]、各 {{mvar|a{{sub|n}}}} を可換環 {{mvar|A}} の元として、
:<math>\sum_{n=-N}^{\infty} a_n X^n</math>.
このような元全体は環をなし、'''形式的ローラン級数環'''といい、{{math|''A''((''X''))}} と表記する。とくに {{mvar|A}} が体 {{mvar|k}} であるとき、{{math|''k''((''X''))}} も体であり、これは {{math|''k''{{brackets|''X''}}}} の商体でもある。

=== 多変数の形式的冪級数 ===
任意の個数（無限個でもよい）の不定元をもった形式的冪級数を定義することができる。{{math|&Lambda;}} が添え字集合であり {{math|''X''{{sub|&Lambda;}}}} を {{math|''&lambda;'' ∈ &Lambda;}} に対し不定元 {{mvar|X{{sub|&lambda;}}}} 全体の集合とすれば、[[単項式]] {{mvar|X{{sup|α}}}} は {{math|''X''{{sub|&Lambda;}}}} の元の任意の有限個の（重複を許した）積である。係数を環 {{mvar|A}} にもつ {{math|''X''{{sub|&Lambda;}}}} の形式的冪級数は単項式 {{mvar|X{{sup|α}}}} の集合から対応する係数 {{mvar|c{{sub|α}}}} への任意の写像によって決定され、<math display="inline">\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha</math> と表記される。すべてのそのような形式的冪級数からなる集合を {{math|''A''{{brackets|''X''{{sub|&Lambda;}}}}}} と表記し、以下のように環の構造を与える。

:<math>\left(\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha\right)+\left(\sum_\alpha d_\alpha X^\alpha\right):=\sum_\alpha(c_\alpha+d_\alpha)X^\alpha</math>

および

:<math>\left(\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha\right)\times\left(\sum_\alpha d_\alpha X^\alpha\right):=\sum_{\alpha,\beta} c_\alpha d_\beta X^{\alpha+\beta}</math>

一変数の場合と同様に、{{math|''A''{{bracket|''X{{sub|I}}''}} ⊂ ''A''{{brackets|''X{{sub|I}}''}}}} である。<!--また、{{math|1=''A''{{brackets|''X{{sub|I}}''}} = ''A''{{brackets|''X''{{sub|''I''{{setminus}}{{mset|''i''}}}}}}&thinsp;{{brackets|''X{{sub|i}}''}}}} である。-->

{{math|&Lambda; {{coloneqq}} {{mset|1, 2, …, ''n''}}}} の場合には、{{math|''A''{{brackets|''X''{{sub|&Lambda;}}}} {{=}} ''A''{{brackets|''X''{{sub|1}}, ''X''{{sub|2}}, …, ''X{{sub|n}}''}}}} とも書かれる。{{math|''A''{{brackets|''X''{{sub|1}}, …, ''X{{sub|n}}''}} {{=}} ''A''{{brackets|''X''{{sub|1}}, …, ''X''{{sub|''n''-1}}}}&thinsp;{{brackets|''X{{sub|n}}''}}}} である。

==== 性質 ====

* 多項式とは異なり、一般には、「代入」は意味を持たない。無限個の和が出てきてしまうからである。
: しかし、例えば次のようなときには意味を持つ。可換環 {{mvar|A}} はイデアル {{mvar|I}} による {{mvar|I}} 進距離で完備であるとする。このとき <math>a_1,\dots,a_n\in I</math> であれば、<math display="inline">\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha\in A[[X_1,\dots,X_n]]</math> の <math>X_1, \dots, X_n</math> に <math>a_1, \dots, a_n</math> を代入したものは収束する。
* [[ネーター環]] {{mvar|A}} 上の[[多項式環]] {{math|''B'' {{coloneqq}} ''A''{{bracket|''X''{{sub|1}}, …, ''X{{sub|n}}''}}}} の、<math display="inline">\mathfrak{m}=(X_1,\dots,X_n)</math> による完備化は、{{math|''A''{{brackets|''X''{{sub|1}}, …, ''X{{sub|n}}''}}}} と同型である。これは <math display="inline">B_\mathfrak{m}</math> の <math display="inline">\mathfrak{m}B_\mathfrak{m}</math> 進位相による完備化とも同型である。
* {{mvar|A}} がネーター環であれば、{{math|''C'' {{coloneqq}} ''A''{{brackets|''X''{{sub|1}}, …, ''X{{sub|n}}''}}}} もネーター環であり、{{mvar|A}} が整域であれば {{mvar|C}} も整域である。{{mvar|A}} が体であれば、{{mvar|C}} は[[正則局所環]] である。

<!--=== 係数環が非可換の場合 ===
{{節スタブ}}

== 位相 ==
{{節スタブ}}
-->

== 参考文献 ==
*{{citation|authorlink1=Michael Atiyah|last1=Atiyah|first1=Michael F.|authorlink2=Ian G. Macdonald|last2=Macdonald|first2=Ian G.|title=Introduction to Commutative Algebra|publisher=Addison-Wesley|publication-place=Reading, MA|year=1969}}.
* Werner Balser: ''Formal Power Series and Linear System of Meromorphic Ordinary Differential Equations'', Springer, ISBN 0-387-98690-1 (2000).
* [[荒川恒男]]、金子昌信、伊吹山知義　『ベルヌーイ数とゼータ関数』　牧野書店、2001年。ISBN 978-4-7952-0139-2。
* 雪江明彦、『代数学3 代数学のひろがり』、日本評論社、2011年、ISBN 978-4-535-78661-5

{{DEFAULTSORT:けいしきてきへききゆうすう}}
[[Category:環論]]
[[Category:可換環論]]
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