微分環のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年10月}}
[[数学]]において、'''微分環'''（びぶんかん、{{lang-en-short|differential ring}}）、'''微分体'''（びぶんたい、{{lang-en-short|differential field}}）、'''微分多元環'''（びぶんたげんかん、{{lang-en-short|differntial algebra}}）は、それぞれ有限個の{{ill2|導分|en|derivation (abstract algebra)|label=微分}}（[[加法的写像|加法的]]または[[線型写像|線型]]な[[単項演算]]で[[積の微分法則]]（ライプニッツ則）を満足する）を備えた[[環 (数学)|環]]、[[可換体|体]]、[[体上の多元環|多元環]]である。微分環の微分はしばしば {{mvar|∂, δ, d, D}} 等の記号を用いて表される。微分体の自然な例として、[[複素数]]体上の一変数[[有理関数]]体 {{math|'''C'''(''t'')}} に微分として普通の意味での[[微分]] {{math|1=''D'' = {{fraction|''d''|''dt''}}}} をとったものを挙げることができる。
	
そのような代数系自身の研究およびそれら代数系の微分方程式の代数的研究に対する応用を研究する分野を'''微分代数学''' (Differntial Algebra) と呼ぶ。微分環は{{ill2|ジョセフ・リット|en|Joseph Ritt}}が導入した<ref>{{cite book | last1= Ritt | first1= Joseph Fels | title= Differential Algebra | url= {{google books | id= vBpzMqTH1j4C |plainurl=1}} |year= 1950 | series= AMS Colloquium Publications | volume= 33 | publisher= American Mathematical Society | location= New York}}</ref>。

== 微分環 ==
環 {{mvar|R}} とその上の写像 {{math|''∂'': ''R'' → ''R''}} の組 {{math|(''R'', ''∂'')}} が'''微分環'''であるとは、二つの条件 <math display="block">\begin{align}
  &\partial(x+y) = \partial x + \partial y\\
  &\partial(x y) = (\partial x) y + x (\partial y)
\end{align}\quad(\forall x, y \in R)</math> を満たす、すなわち {{mvar|∂}} が {{mvar|R}} の[[加法群]]の間の[[準同型]]（[[加法的写像]]）で積に関して[[ライプニッツ則]]を満足するものであるときに言う。注意すべきは、ここで環は非可換となる場合もありうるから、通常よく用いられる[[無限小|微分]]を後ろに書くある種の標準形 {{math|1=∂(''xy'') = ''x&sdot;∂y'' + ''y&sdot;∂x''}} は積の可換性が保証されない場面では適切でないことである。

作用素のレベルで見れば、環の乗法を {{math|''M'': ''R'' × ''R''}} として <math display="block">
 \partial \circ M = M \circ (\partial \times \operatorname{id}) + M \circ (\operatorname{id} \times \partial)
</math> なる等式として積の法則を書くこともできる。ただし、{{math|''f'' × ''g''}} は[[直積集合#写像の直積|写像の直積]]で、各[[順序対|対]] {{math|(''x'', ''y'')}} を対 {{math|(''f''(''x''), ''g''(''x''))}} へ写す。

== 微分体 ==
'''微分体'''は、微分を備える[[可換体]] {{mvar|K}} を言う。ここで、微分は体の構造と両立する（つまり除法と整合する）ようなものをとるべきであるが、よく知られた[[商の微分法則]] <math display="block">
 \partial\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{\partial(u)v - u\partial(v)}{v^2}
</math> は積の法則から導かれる。実際に <math display="inline"> \partial(\tfrac{u}{v} \times v) = \partial(u)</math> が成り立つべきところ、左辺に積の法則を適用して <math display="inline">
 \partial(\frac{u}{v})v + \frac{u}{v}\partial(v) = \partial(u)
</math> となるから、{{math|''∂''(''u''/''v'' )}} で整理すれば所期の式を得る。

微分体 {{mvar|K}} に対してその'''定数体''' ({{en|''field of constants''}}) は {{math|''k'' {{coloneqq}} {{mset|''u'' ∈ ''K'' | ''∂''(''u'') {{=}} 0}}}} で与えられる。

== 微分多元環 ==
体 {{mvar|K}} 上の'''微分多元環'''は、スカラー乗法と両立する微分を備えた {{mvar|K}}-多元環 {{mvar|A}} を言う。すなわち、各微分 {{mvar|∂}} は係数体と元ごとに可換: <math display="block">k \in K \implies \partial(kx) = k\partial x\quad (\forall x\in A)</math> である。これは作用素のレベルでは、スカラー乗法を定義する環準同型 {{math|''η'': ''K'' → ''A''}} を用いて <math display="inline">\partial \circ M \circ (\eta \times \operatorname{id}) = 
M \circ (\eta \times \partial)</math> と書ける

; リー環上の微分: 体 {{mvar|K}} 上の[[リー環]] <math>\mathfrak{g}</math> 上の微分 {{mvar|∂}} とは、{{mvar|K}}-線型写像 <math display="inline">\partial \colon \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}</math> であって、リー括弧積に関するライプニッツ則 <math display="block">\partial([a, b]) = [a, \partial(b)] + [\partial(a), b]</math> を満たすものをいうのであった。任意の <math>a\in\mathfrak{g}</math> に対し {{math|ad(''a''): ''x'' {{mapsto}} {{bracket|''a'', ''x''}}}}（つまり {{math|ad}} は[[リー環の随伴表現]]）が <math>\mathfrak{g}</math> 上の微分となることは[[ヤコビの等式]]による。このように得られる微分を、リー環 <math>\mathfrak{g}</math> の'''内部微分'''と呼ぶ。
リー環の内部微分を、その[[普遍包絡環]]へ延長して、普遍包絡環を微分多元環とすることができる。

== 例 ==
* {{mvar|A}} が[[単位的多元環]]ならば、その[[乗法単位元]]を {{math|1}} として {{math|1=''∂''(1) = 0}} である（{{math|1=''∂''(1) = ''∂''(1 × 1) = ''∂''(1) + ''∂''(1)}}）。従って、例えば {{nowrap|[[標数]] {{math|0}}}} の微分体 {{mvar|K}} は、常に[[有理数]]体を {{mvar|K}} の定数体の部分体として含む。
* 任意の[[環 (数学)|環]]は、[[零準同型]]（その任意の元を[[加法単位元|零元]]に写す）を自明な微分とみて、微分環である。
* 一変数有理係数有理式体 {{math|'''Q'''(''t'')}} は、{{math|1=''∂''(''t'') = 1}} と正規化することで決まる、微分体として一意な構造を持つ（体の公理および微分の公理は、微分が {{mvar|t}} に関する通常の微分となることを保証する）。例えば、積の可換性と積の微分公式により、{{math|1=''∂''(''u''{{sup|2}}) = ''u&sdot;∂''(''u'') + ∂(''u'')&sdot;''u''= 2''u∂''(''u'')}} が成り立つ。

微分体 {{math|'''Q'''(''t'')}} は[[微分方程式]] {{math|1=''∂''(''u'') = ''u''}} の解を持たないが、[[指数関数]] {{mvar|e{{exp|t}}}} を含むより大きい微分体に拡大して、この微分方程式がそこで解を持つようにすることができる。任意の微分方程式系に対する解を有する微分体を{{ill2|微分的閉体|en|differentially closed field}}という。自然な代数的もしくは幾何学的対象としては現れないが、このような微分体は存在する。（[[濃度 (数学)|濃度]]を適当に上から抑えるとき）すべての微分体は、単一の大きな微分的閉体の中に埋め込める。微分体は、[[微分ガロア理論]]の研究対象である。

* 自然に生じる微分の例として、[[偏微分]]、[[リー微分]]、[[パンシェルル微分]]、[[結合多元環|多元環]]の元に関する[[交換子#環論における交換子|交換子]]等がある。

== 擬微分作用素の環 ==

微分環および微分多元環 {{mvar|R}} は、しばしばそれらの上の[[擬微分作用素]]の環 <math display="block">
  R((\xi^{-1})) = \biggl\{ \sum_{n<\infty} r_n \xi^n : r_n \in R \biggr\}
</math> を通じて研究される。この環の上に乗法は、<math display="block">
 (r\xi^m)(s\xi^n) = \sum_{k=0}^m r (\partial^k s) {m \choose k} \xi^{m+n-k}
</math> で定義される。<math display="inline">{m \choose k}</math> は[[二項係数]]である。
ここで、恒等式 <math display="block">\xi^{-1} r = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\partial^n r) \xi^{-1-n}</math> には恒等式 <math display="inline">{-1 \choose n} = (-1)^n</math> および <math display="inline">r \xi^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \xi^{-1-n} (\partial^n r)</math> が用いられていることに注意。

== 関連項目 ==
{{div col}}
* [[微分ガロア理論]]
* [[ケーラー微分]]
* {{ill2|微分閉体|en|Differentially closed field}}
* [[D加群]]: 様々な微分作用素が作用する代数構造
* [[微分次数環]]
* {{ill2|算術微分|en|Arithmetic derivative}}
* [[可換環上の微分法]]
* {{ill2|差分環|en|Difference algebra}}
* {{ill2|微分代数幾何|en|Differential algebraic geometry}}
* {{ill2|ピカール–ヴェシオ理論|en|Picard–Vessiot theory}}
* {{ill2|ハーディ体|en|Hardy field}}
{{div col end}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 関連文献 ==
* {{citation | first=Alexandru | last= Buium | title= Differential Algebra and Diophantine Geometry | series= Actualités mathématiques | publisher= Hermann | year= 1994}}.
* {{citation | first= Irving | last= Kaplansky | author-link= Irving Kaplansky | title= An Introduction to Differential Algebra | series= Actualités scientifiques et industrielles | url= {{google books | id= R4TQAAAAMAAJ|plainurl=1}} | publisher= Hermann | year= 1957}}.
* {{cite book | first= E. R. | last= Kolchin | author-link= Ellis Robert Kolchin | title= Differential Algebra and Algebraic Groups | url= http://www4.ncsu.edu/~singer/foraachen/DAAG.pdf | series= Pure and applied mathematics | volume= 54 | location= New York | publisher= Academic Press | year= 1973}}
* {{cite book | first= David | last= Marker | chapter-url= https://projecteuclid.org/euclid.lnl/1235423156 | chapter= 2: Model theory of differential fields | title= Model theory of fields | series= Lecture notes in Logic | volume= 5 | editor1-first= D. | editor1-last= Marker | editor2-first= M | editor2-last= Messmer | editor3-first= A. | editor3-last= Pillay | publisher= Springer Verlag |location= Berlin | pages= 38&ndash;113 | year= 1996}}
* {{citation | first= Andy R. | last= Magid | url= {{google books |id=cJ9vByhPqQ8C|plainurl=1}} | title= Lectures on Differential Galois Theory | series= University Lecture Series | volume= 7 | publisher= American Mathematical Society | year= 1994 | isbn=9780821882665}} ({{PDFlink|[http://www.ams.org/journals/bull/1996-33-02/S0273-0979-96-00652-0/S0273-0979-96-00652-0.pdf review]}})

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=DifferentialAlgebra|title=Differential Algebra|author=Bhatt, Bhuvanesh}}
* {{nlab|urlname=differential+algebra|title=differential algebra}}
* {{PlanetMath|urlname=DifferentialField|title=differential field}}
* {{SpringerEOM|urlname=Differential_algebra|title=Differential algebra|author=Mikhalev, A.V.; Pankrat'ev, E.V.}}

{{DEFAULTSORT:ひふんかん}}
[[Category:微分環|*]]
[[Category:体論]]
[[Category:微分方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]