志村対応のソースを表示

[[数論]]で、'''志村対応'''（{{Lang-en|Shimura correspondence}}）とは、ウェイトが半整数 {{math|''k'' + 1/2}} の[[モジュラー形式]] {{mvar|F}} とウェイトが偶数 {{math|2''k''}} のモジュラー形式 {{mvar|f}} の間の対応関係をいう。この対応関係は、{{harvs|txt|authorlink=Goro Shimura|first=Goro|last=Shimura|year=1973}} により発見された。志村対応は、{{mvar|F}} 上の[[ヘッケ作用素]] {{math|''T''<sub>''n''<sup>2</sup></sub>}} の固有値が、{{mvar|f}} 上のヘッケ作用素 {{mvar|T<sub>n</sub>}} の固有値に等しいという性質を持つ。

{{mvar|f}} をウェイト {{math|(2''k'' + 1)/2}} で指標 {{mvar|&chi;}} である正則カスプ形式とする。任意の素数 {{mvar|p}} に対して、

:<math>\sum_{n=1}^\infty \Lambda(n) n^{-s} = \prod_p \left(1-\omega_p p^{-s}+(\chi_p)^2 p^{2k-1-2s}\right)^{-1}</math>

とする。ここに {{mvar|&omega;{{sub|p}}}} は {{mvar|p}} により決定される[[ヘッケ作用素]] {{math|''T''(''p''{{sup|2}})}} の固有値である。

[[志村五郎|志村]]は、[[L-函数]]の[[函数等式]]を使い、

:<math>F(z)=\sum_{n=1}^\infty \Lambda(n)q^n</math>

が、ウェイト {{math|2''k''}} で指標 {{math|&chi;{{sup|2}}}} をもつ正則[[モジュラー函数]]であることを示した。

==参考文献==
*{{SpringerEOM|title=Shimura correspondence|last=Bump|first=D.|urlname=Shimura_correspondence}}
*{{Citation | last1=Shimura | first1=Goro | title=On modular forms of half integral weight | jstor=1970831 | mr=0332663 | year=1973 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]] | issn=0003-486X | volume=97 | pages=440–481}}

{{Numtheory-stub}}
{{DEFAULTSORT:しむらたいおう}}
[[Category:モジュラー形式]]
[[Category:数学に関する記事]]