志村対応

数論で、志村対応（テンプレート:Lang-en）とは、ウェイトが半整数 テンプレート:Math のモジュラー形式 テンプレート:Mvar とウェイトが偶数 テンプレート:Math のモジュラー形式 テンプレート:Mvar の間の対応関係をいう。この対応関係は、テンプレート:Harvs により発見された。志村対応は、テンプレート:Mvar 上のヘッケ作用素 テンプレート:Math の固有値が、テンプレート:Mvar 上のヘッケ作用素 テンプレート:Mvar の固有値に等しいという性質を持つ。

テンプレート:Mvar をウェイト テンプレート:Math で指標 テンプレート:Mvar である正則カスプ形式とする。任意の素数 テンプレート:Mvar に対して、

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Lambda }(n)n^{-s}=\prod _p{(1-{\omega }_p{p}^{-s}+({\chi }_p{)}^2{p}^{2k-1-2s})}^{-1}$

とする。ここに テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar により決定されるヘッケ作用素 テンプレート:Math の固有値である。

志村は、L-函数の函数等式を使い、

$F(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Lambda }(n)q^n$

が、ウェイト テンプレート:Math で指標 テンプレート:Math をもつ正則モジュラー函数であることを示した。

参考文献

• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:Citation