忠実加群のソースを表示

[[環 (数学)|環]] ''A'' 上の（左または右）[[環上の加群|加群]] ''M'' は、その[[零化イデアル]] Ann<sub>''A''</sub> (''M'') が {0} であるときに、'''忠実'''（{{lang-en-short|faithful}}）であるという。言い換えると、各 <math>\alpha \in A \setminus \{0\}</math> の作用が自明でない（ある ''x'' &isin; ''M'' に対して &alpha;・''x'' &ne; 0）ということである。別の言い方をすれば、対応する表現 <math>\psi\colon A \to \operatorname{End}(M)</math> が[[単射]]である。

任意の加群に対して、次のようにして忠実加群を対応させることができる。環[[準同型]] <math>\psi\colon A \to \operatorname{End}(M)</math> は、単射準同型 <math>\tilde\psi\colon A/\ker\psi \to \operatorname{End}(M)</math> によって分解する。ker &psi; は Ann<sub>''A''</sub> (''M'') に他ならないので、<math>\tilde\psi</math> によって ''M'' に ''A'' / Ann<sub>''A''</sub> (''M'')-加群としての構造が入り、このとき <math>\tilde\psi</math> は単射なので ''M'' は忠実である。

== 性質 ==
''A''-加群 ''M'' の任意の元 ''x'' に対して ''M''<sub>''x''</sub> = ''M'' とおくと、写像
:<math>\phi\colon A \to \prod_{x\in M} M_x,\quad a\mapsto (ax)_{x\in M}</math>
は ''A''-準同型である。このとき ker &phi; = Ann<sub>''A''</sub> (''M'') なので、準同型定理より
:<math>A/\operatorname{Ann}_A(M)\cong\phi(A)\subseteq\prod_{x\in M}M_x</math>
を得る。したがって ''M'' が忠実加群であれば、''A'' は（自然に''A''-加群と見て）<math>\prod_{x\in M} M_x</math> の部分加群に同型である。

== 参考文献 ==
* {{Cite book
|和書
|last1     = 岩永
|first1    = 恭雄
|author    = 岩永恭雄
|last2     = 佐藤
|first2    = 眞久
|coauthors = 佐藤眞久
|year      = 2002
|title     = [http://www.nippyo.co.jp/book/1984.html 環と加群のホモロジー代数的理論]
|edition   = 第1版
|publisher = 日本評論社
|isbn      = 4-535-78367-5
|ref       = harv
}}

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