忠実表現のソースを表示

[[数学]]、特に[[表現論]]という[[抽象代数学]]の一分野において、[[群 (数学)|群]] {{mvar|G}} の[[ベクトル空間]] {{mvar|V}} 上における'''忠実表現'''（ちゅうじつひょうげん、{{lang-en-short|faithful representation}}）{{mvar|ρ}} とは、{{mvar|G}} の異なる元 {{mvar|g}} が {{math|''GL''(''V'')}} の異なる線型写像 {{math|''ρ''(''g'')}} に対応する[[線型表現]]のことである。

より抽象的な言葉では、これは[[群準同型]]
: {{math|''ρ'': ''G'' → ''GL''(''V'')}}
が[[単射]]であることを意味する。あるいは[[核 (代数学)|核]] {{math|Ker(''ρ'')}} が[[自明群|自明]]であると言い換えることもできる。

たとえば[[正則表現 (数学)|正則表現]]は忠実表現のひとつである。

''注意''：{{mvar|G}} の体 {{mvar|K}} 上の表現は事実上 {{math|''K''[''G'']}} 加群と同じである（{{math|''K''[''G'']}} は群 {{mvar|G}} の[[群環]]を表す）が、{{mvar|G}} の忠実表現が群環の[[忠実加群]]であるとは限らない。実は任意の忠実 {{math|''K''[''G'']}} 加群は {{mvar|G}} の忠実表現であるが、逆は成り立たない。例えば[[対称群]] {{mvar|S{{sub|n}}}} の[[置換行列]]による {{mvar|n}} 次元の自然表現を考えると、これは確かに忠実であるが、群の位数は {{math|''n''!}} である一方 {{math|''n'' &times; ''n''}} 行列の全体は {{math|''n''{{sup|2}}}} 次元のベクトル空間をなすので、{{mvar|n}} が {{math|4}} 以上であれば、次元勘定により（{{math|24 > 16}} だから）置換行列の間に線型独立性が生じなければならず、したがって群環上の加群は忠実ではない。

== 性質 ==
有限群 {{mvar|G}} の標数 {{math|0}} の[[代数閉体]] {{mvar|K}} 上の表現 {{mvar|V}} が（表現として）忠実であることと {{mvar|G}} の任意の[[既約表現]]が十分大きい {{mvar|n}} に対して {{mvar|S{{sub|n}}V}}（表現 {{mvar|V}} の {{mvar|n}} 次対称冪）の部分表現として生じることは同値である。また、{{mvar|V}} が（表現として）忠実であることと {{mvar|G}} の任意の既約表現が十分大きい {{mvar|n}} に対して
: <math>V^{\otimes n}=\underbrace{V\otimes V\otimes \cdots\otimes V}_{n\text{ times}}</math>
（表現 {{mvar|V}} の {{mvar|n}} 次テンソル冪）の部分表現として生じることは同値である{{citationneeded|date=December 2015}}<!-- cf. Burnside-Brauer -->。

== 参考文献 ==
{{SpringerEOM|title=faithful representation|urlname=faithful_representation}}

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{{DEFAULTSORT:ちゆうしつひようけん}}
[[Category:表現論]]
[[Category:数学に関する記事]]