恒真式のソースを表示

{{otheruses|論理学用語|修辞法|トートロジー}}
'''恒真式'''（こうしんしき、'''トートロジー'''、{{lang-en-short|tautology}}、ギリシャ語の{{el|ταυτο}}「同じ」に由来）は、[[論理学]]の用語で「aである[[論理包含|ならば]]aである（a → a）」「aである、[[論理和|または]]、aで[[論理否定|ない]]（a∨￢a）」のように、そこに含まれる命題変数の[[真理値]]、あるいは[[一階述語論理#論理式の真偽|解釈]]に関わらず常に[[真]]となる論理式のことである。

恒真式の[[否定]]は、変数の値にかかわらず常に[[偽]]となる式、すなわち[[矛盾]]である。

== 命題論理 ==
[[命題論理]]において、[[命題]]を記号化したものが[[論理式 (数学)|論理式]]であるが、論理式を構成している、最も単純な文に相当する要素式の[[真理値|真偽値]]の取り方に関係なく常に真（恒真）となる論理式が存在し、それらはトートロジーもしくは恒真式と呼ばれる{{sfn|清水|1984|pp=7-15}}。真にも偽にもなりうる論理式を整合式（{{lang-en-short|consistent well-formed formula|links=no}}）、恒に偽になる論理式を恒偽式もしくは矛盾式（{{lang-en-short|contradictory well-formed formula|links=no}}）という。

== 述語論理 ==
[[述語論理]]においては、トートロジーを考える事はないが、同様な概念を[[論理式 (数学)#属性|考える事]]ができる。論理式が、全ての[[:en: Interpretation (logic)|解釈]]にたいして真になるとき、この論理式は恒真 ([[:en:Satisfiability |validity]]) で、妥当式 (valid wff) になる。少なくとも一つの解釈で論理式が真になるとき、この論理式は充足可能 ([[:en:Satisfiability]]) で、充足可能式 (satisfiable wff) になる。全ての解釈で論理式が偽になるとき、この論理式は充足不可能で、矛盾式 (contradictory wff) になる<ref>{{Cite web|和書|title=記号論理学|website=静岡理工科大学　菅沼研究室|url=https://www.sist.ac.jp/~suganuma/kougi/other_lecture/SE/math/logic/logic.htm#2|accessdate=September 9, 2020}}</ref>{{sfn|清水|1984|p=51}}。

== 定義と例 ==
ここでは古典命題論理における恒真式の定義を述べる。<math> \mathrm{Val}</math> を命題変数の全体とする。<math> f:\mathrm{Val}\to\{\top,\bot\} </math> なる写像、すなわち命題変数への真理値割り当てを考える。<math>\top</math>は恒真、<math>\bot</math>は矛盾。次のようにして <math>f</math> の始域を論理式の全体 <math>\mathrm{Fml}</math> に拡張する（右辺の <math>\wedge\vee\neg\to</math> は論理記号ではなく <math>\{\top,\bot\}</math> 上の [[真理関数|演算]]である）：
* <math> f(\alpha \wedge \beta) := f(\alpha) \wedge f(\beta) </math>
* <math> f(\alpha \vee \beta) := f(\alpha) \vee f(\beta) </math>
* <math> f(\neg \alpha) := \neg f(\alpha) </math>
* <math> f(\alpha \to \beta) := f(\alpha) \to f(\beta) </math>
このようにして得られる写像 <math>f:\mathrm{Fml}\to \{\top,\bot\}</math> を付値という。任意の付値 <math>f</math> に対して <math>f(\alpha)=\top</math> となるとき、<math>\alpha</math> を恒真式という。

古典論理の上で、次の論理式は恒真式である。

* <math> \neg(\alpha\wedge\neg\alpha) </math>
* <math> \alpha\vee\neg\alpha</math>
* <math> (\alpha\to \beta)\Leftrightarrow(\neg \beta\to \neg \alpha)</math>
* <math> \neg\neg\alpha\Leftrightarrow\alpha </math>
* <math> \neg(\alpha\wedge \beta)\Leftrightarrow(\neg \alpha\vee\neg \beta)</math>
* <math> ((\alpha\to \beta)\wedge(\beta\to \gamma))\to(\alpha\to \gamma)</math>


主な恒真式として、[[同一性#同一性と論理学(同一律) |同一律]]、[[排中律]]、[[無矛盾律|矛盾律]]、[[二重否定の除去|二重否定の法則]]、巾等律、[[:en:Commutative property#Propositional logic |交換律]]、[[結合法則#命題論理|結合律]]、[[:en:Distributive property#Propositional logic |分配律]]、[[吸収法則|吸収律]]、[[ド・モルガンの法則]]、[[対偶 (論理学)|対偶律]]、[[選言三段論法|選言的三段論法]]、[[モーダスポネンス|前件肯定式]]、推移律、移入律、{{仮リンク|移出律|en|Exportation (logic)}}、[[論理積の消去|縮小律]]、拡大律、{{仮リンク|構成的両刀論法|en|Constructive dilemma}}などがある{{sfn|清水|1984|pp=14-15}}。

== 恒真式である確認 ==
=== 命題論理 ===
ある式が恒真式であるかどうかを確認することは命題論理の基本である。一般に、[[真理値表]]をつくって真理値分析を行う作業になる。命題変数がn個存在する場合2<sup>n</sup>通りのケースを調べればよい。
例えば <math>\alpha \to (\beta \to \alpha)</math> であれば次の4通りのケースを調べる。
{| border=1 cellpadding=2 cellspacing=0 style="text-align: center"
!<math>\alpha</math>
!<math>\beta</math>
!<math>\beta\to\alpha</math>
!<math>\alpha \to (\beta \to \alpha)</math>
|-
| {{yes2|T}}|| {{yes2|T}}|| {{yes2|T}}|| {{yes2|T}}
|-
| {{yes2|T}}|| {{no2|F}}|| {{yes2|T}}|| {{yes2|T}}
|-
| {{no2|F}}|| {{yes2|T}}|| {{no2|F}}|| {{yes2|T}}
|-
| {{no2|F}}|| {{no2|F}}|| {{yes2|T}}|| {{yes2|T}}
|}

次のようにして、代数的な式変形によっても確認できる。

<math> \alpha\to(\beta\to\alpha)
 = \neg\alpha\vee(\neg\beta\vee\alpha)
 = (\alpha\vee\neg\alpha)\vee\neg\beta
 = \top \vee \neg\beta
 = \top </math>


{{see also|タブローの方法}}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Citation|和書
| last = 清水
| first = 義夫
| title = 記号論理学
| year = 1984
|publisher = 東京大学出版会 }}

== 関連項目 ==
*[[論理的真理]]
*[[推論]]
*[[完全性]]
*[[論理回路]]
*[[論理記号の一覧]]
*[[循環定義]]

== 外部リンク　==
*[http://student.sguc.ac.jp/i/st/learning/logic/恒真命題・恒偽命題.pdf 7.恒真命題・恒偽命題　(山陽学園大学　論理学)]
*[http://student.sguc.ac.jp/i/st/learning/logic/述語論理.pdf 11.述語論理　(山陽学園大学　論理学)]
{{論理演算}}
{{Common logical symbols}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:こうしんしき}}
[[Category:論理式]]
[[Category:論理的真理]]
[[Category:命題論理]]
[[Category:命題]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:意味論 (論理学)]]
[[Category:文法]]
[[Category:数理論理学]]

{{mathlogic-stub}}