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[[数学]]における'''恒等写像'''（こうとうしゃぞう、{{lang-en-short|''identity mapping'', ''identity function''}}）、'''恒等作用素'''（こうとうさようそ、{{lang-en-short|''identity operator''}}）、'''恒等変換'''（こうとうへんかん、{{lang-en-short|''identity transformation''}}）は、その引数として用いたのと同じ値を常にそのまま返すような[[写像]]である。[[集合論]]の言葉で言えば、恒等写像は'''恒等関係'''（こうとうかんけい、{{lang-en-short|''identity relation''}}）である。

== 定義 ==
厳密に述べれば、{{mvar|M}} を[[集合]]として、{{mvar|M}} 上の'''恒等写像''' {{mvar|f}} とは、[[定義域]]および[[終域]]がともに {{mvar|M}} であるような写像であって、{{mvar|M}} の任意の元 {{mvar|x}} に対して
: {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''}} 
を満たすものを言う<ref>{{harv|Knapp|2006}}</ref>。言葉で書けば、{{mvar|M}} 上の恒等写像は、{{mvar|M}} の各元 {{mvar|x}} に {{mvar|x}} 自身を対応させて得られる {{mvar|M}} から {{mvar|M}} への一つの写像である<ref>{{harv|松坂|1968|p=28}}</ref>。

{{mvar|M}} 上の恒等写像はしばしば {{math|id<sub>''M''</sub>}} や {{math|'''1'''<sub>''M''</sub>}} などで表される。

写像を[[二項関係]]と見るならば、恒等写像は'''恒等関係'''と呼ばれる{{仮リンク|函数関係|en|functional relation}}、即ち {{mvar|M}} の対角集合 (diagonal set) {{math|&Delta; {{=}} {(''x'', ''x'') {{!}} ''x'' &isin; ''M''}}} で与えられる<ref>{{harv|ブルバキ|1984|p=10}}</ref>。

== 性質 ==
{{math|''f'': ''M'' → ''N''}} を任意の写像とすると、
: <math>f \circ \text{id}_M = f = \text{id}_N \circ f</math>
が成り立つ（"∘" は[[写像の合成]]）。特に、{{math|id<sub>''M''</sub>}} は {{mvar|M}} から {{mvar|M}} への写像（{{mvar|M}} 上の変換）全体の成す集合が合成に関して成す[[半群]]（{{mvar|M}} 上の{{仮リンク|全変換半群|en|full transformation semigroup}}）{{math|''T''<sub>''M''</sub>}} における[[単位元]]（中立元）であり、従って {{math|''T''<sub>''M''</sub>}} は[[モノイド]]を成す。

モノイドの単位元はただ一つであるから、{{mvar|M}} 上の恒等写像の別な定義として、全変換モノイドの単位元として定めることも可能である。このような定義は、[[圏論]]における[[恒等射]]の概念に一般化することができる。この文脈では {{mvar|M}} 上の[[自己準同型|自己型射]]が写像である必要はない。

== 集合上の構造との関係 ==
* 正整数全体の成す乗法[[モノイド]]の上で恒等写像を考えると、それは本質的に {{math|1}}-倍写像であり、また[[数論的函数]]の意味で{{仮リンク|完全乗法的函数|en|completely multiplicative function|label=完全乗法的}}である<ref>{{harv|Marshal|Odell|Starbird|2007}}</ref>
* [[ベクトル空間]]上の恒等写像は[[線型写像]]である<ref>{{harv|Anton|2005}}</ref>。{{mvar|n}}-次元線型空間上の恒等写像は {{math|''n''&thinsp;&times;&thinsp;''n''}} [[単位行列]] {{mvar|I<sub>n</sub>}} を表現行列に持つが、これは[[基底 (線型代数学)|基底]]の取り方に依らない<ref>{{harv|Shores|2007}}</ref>。
* [[距離空間]]における恒等写像は自明な意味で[[等長写像]]である。いかなる[[対称性]]も持たない任意の対象が、恒等写像のみからなる[[自明群]]を{{仮リンク|対称変換群|en|symmetry group}}として持つ（対称型が {{math|''C''<sub>1</sub>}} である）<ref>{{harv|Anderson|2005}}</ref>。
** 単に台集合 {{mvar|X}} 上の恒等写像 {{math|id<sub>''X''</sub>}} を考えた場合、{{mvar|X}} 上の異なる距離 {{math|''d''<sub>1</sub>, ''d''<sub>2</sub>}} に関して、恒等写像 {{math|id<sub>''X''</sub>}} は二つの距離空間 {{math|(''X'', ''d''<sub>1</sub>), (''X'', ''d''<sub>2</sub>)}} の間の等距変換とはならない。
* [[位相空間]] {{math|(''X'', &tau;<sub>1</sub>), (''X'', &tau;<sub>2</sub>)}} と台集合 {{mvar|X}} 上の恒等写像 {{math|''I''<sub>''X''</sub>}} を考えたとき、{{math|''I''<sub>''X''</sub>}} が連続写像となるための必要十分条件は、{{math|&tau;<sub>1</sub>}} が {{math|&tau;<sub>2</sub>}} よりも細かいことである。

== 注記 ==
<references />

== 参考文献 ==
* {{cite book|和書| author= ニコラ・ブルバキ | series= 数学原論 (4) | title= 集合論 要約 | publisher= 東京図書 |year= 1984 |isbn=978-4489001048}}
* {{cite book|和書| author= 松坂和夫 | title= 集合・位相入門 | publisher= 岩波書店 |year= 1968 | isbn=978-4000054249}}
* {{Citation |last=Knapp |first=Anthony W. |title=Basic algebra |url= |edition= |volume= |year=2006 |publisher=Springer |isbn=978-0-8176-3248-9 }}
* {{cite book|title=Number Theory through Inquiry | first1=D. | last1= Marshall | first2=E. | last2= Odell | first3=M. | last3= Starbird | year=2007 | publisher=Mathematical Assn of Amer | isbn=978-0883857519 | series=Mathematical Association of America Textbooks}}
* {{Citation|last=Anton|first=Howard|year=2005|title=Elementary Linear Algebra (Applications Version)|publisher=Wiley International|edition=9th}}
* {{cite book|title=Applied Linear Algebra and Matrix Analysis|first=T. S. | last=Shores | year=2007 | publisher=Springer | isbn=038-733-195-6 | series=Undergraduate Texts in Mathematics | url=https://books.google.co.uk/books?id=8qwTb9P-iW8C&dq=Matrix+Analysis&sa=X&ei=SCd1UryWD_LG7Aag_4HwBg&hl=en}}
* {{citation| author={{aut|James W. Anderson}} | title= Hyperbolic Geometry | publisher= Springer | year= 2005 | isbn=1-85233-934-9}}

== 関連項目 ==
* [[包含写像]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld | title= Identity Function | urlname= IdentityFunction}}
* {{Planetmath reference| title= identity map | id= 5418}}

{{DEFAULTSORT:こうとうしやそう}}
[[Category:初等数学]]
[[Category:集合の基本概念]]
[[Category:関数の種類]]
[[Category:数学に関する記事]]