懸垂 (位相幾何学)のソースを表示

[[位相幾何学]]において，[[位相空間]] {{mvar|X}} の'''懸垂'''（{{lang-en-short|suspension}}）{{mvar|SX}} とは，{{mvar|X}} と[[単位区間]] {{math|1=''I'' = [0, 1]}} の[[積空間]]の[[商位相空間|商空間]]

:<math>SX = (X \times I)/\{(x_1,0)\sim(x_2,0)\text{ and }(x_1,1)\sim(x_2,1) \text{ for all } x_1,x_2 \in X\}.</math>
[[Image:Suspension.svg|right|thumb|円の懸垂．もとの空間は青色で，押しつぶされた端点は緑色．]]

である．したがって，{{mvar|X}} は[[円柱 (数学)|円柱]]に引き伸ばされ，そして両端が点に押しつぶされる．{{mvar|X}} を端点の間に「ぶらさがっている」(suspended) と見る．懸垂を {{mvar|X}} 上の2つの[[錐 (位相幾何学)|錐]]を base で{{仮リンク|adjunction space|en|adjunction space|label=貼り合わせた}}もの（あるいは1つの錐の商）とも見られる．

連続写像 {{math|''f'': ''X'' &rarr; ''Y''}} が与えられると，{{math|1=''Sf''([''x'', ''t'']) := [''f''(''x''), ''t'']}} によって定義される写像 {{math|''Sf'': ''SX'' &rarr; ''SY''}} が存在する．これにより {{mvar|S}} は[[位相空間の圏]]から自身への[[関手]]となる．荒っぽく言えば，{{mvar|S}} は空間の次元を 1 増やす：それは {{math|''n'' &ge; 0}} に対して {{mvar|n}} 次元[[球面]]を {{math|(''n'' + 1)}} 次元球面に写す．

空間 {{mvar|SX}} は {{仮リンク|join (topology)|label=join|en|join (topology)}} <math>X\star S^0</math> に同相である，ただし {{math|''S''{{sup|0}}}} は2点[[離散空間]]である．

空間 {{mvar|SX}} は，下記の約懸垂と区別するために，{{mvar|X}} の '''unreduced''', '''unbased''', or '''free suspension''' と呼ばれることもある．

懸垂は[[ホモトピー群]]の準同型を構成するのに使うことができ，それには{{仮リンク|フロイデンタールの懸垂定理|en|Freudenthal suspension theorem}}を適用できる．[[ホモトピー論]]では，適切な意味で懸垂で保たれる現象は{{仮リンク|安定ホモトピー論|en|stable homotopy theory}}を作る．

==約懸垂==
{{mvar|X}} が（{{math|''x''{{sub|0}}}} を基点に持つ）[[基点付き空間]]のとき，ときどきより有用な，懸垂の変種がある．{{mvar|X}} の'''約懸垂''' (reduced suspension, based suspension) {{math|&Sigma;''X''}} とは，[[商位相空間#例|接着空間]]

:<math>\Sigma X = (X\times I)/(X\times\{0\}\cup X\times\{1\}\cup \{x_0\}\times I)</math>

である．これは {{mvar|SX}} をとり，2端点を結ぶ線分 {{math|(''x''<sub>0</sub> &times; ''I'')}} を一点に押しつぶすことと同値である．{{math|&Sigma;''X''}} の基点は {{math|(''x''<sub>0</sub>, 0)}} の[[同値類]]である．

{{mvar|X}} の約懸垂は {{mvar|X}} の[[単位円]] {{math|''S''<sup>1</sup>}} との[[スマッシュ積]]に[[同相]]である
:<math>\Sigma X \cong S^1 \wedge X</math>
ことを示すことができる．

[[CW複体]]のような{{仮リンク|行儀のよい|en|well-behaved}}空間に対しては，{{mvar|X}} の約懸垂は通常の懸垂と[[ホモトピー同値]]である．

{{math|&Sigma;}} は[[基点付き空間の圏]]から自身への[[関手]]を生じる．この関手の重要な性質は，（基点付き）空間 {{mvar|X}} をその{{仮リンク|ループ空間|en|loop space}} {{math|&Omega;''X''}} に送る関手 {{math|&Omega;}} の[[左随伴]]であることである．言い換えると，自然に

:<math> \operatorname{Maps}_*\left(\Sigma X,Y\right)\cong \operatorname{Maps}_*\left(X,\Omega Y\right)</math>

である，ただし <math>\operatorname{Maps}_*\left(X,Y\right)</math> は基点を保つ連続写像全体である．この随伴はデカルト積上の写像をカリー化された形に送る{{仮リンク|カリー化|en|currying|preserve=1}}の形と理解でき，{{仮リンク|Eckmann–Hilton duality|en|Eckmann–Hilton duality}} の例である．これは懸垂と自由ループ空間に対しては成り立たない．

==Desuspension==
{{main|{{仮リンク|desuspension|en|desuspension}}}}

{{仮リンク|Desuspension|en|Desuspension}} は懸垂の逆である操作である<ref>{{cite web|url=http://www.forthelukeofmath.com/documents/Wolcott-McTernan-workshop.pdf
|title=Imagining Negative-Dimensional Space|publisher=forthelukeofmath.com|accessdate=2015-06-23|date=|first=Luke |last=Wolcott}}</ref>．

==関連項目==
*[[錐 (位相幾何学)]]
*{{仮リンク|Join (topology)|en|Join (topology)}}

==脚注==
{{Reflist}}

==参考文献==
*[[Allen Hatcher]], [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html ''Algebraic topology.''] Cambridge University Presses, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0
*{{PlanetMath attribution|id=3984|title=Suspension}}

{{DEFAULTSORT:けんすい}}
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:ホモトピー論]]
[[Category:数学に関する記事]]