拡散数のソースを表示

'''拡散数'''（かくさんすう、{{lang-en-short|diffusion number}}）とは、[[陽解法]]を用いた[[拡散方程式]]の[[数値解析]]に際して、その[[数値的安定性]]を議論する上で重要な[[無次元数]]のひとつ。拡散数''d'' は次式で定義される。
: <math> d = k \dfrac{\Delta t}{(\Delta x)^{2}} </math>
ここで
* ''k'' ：[[拡散係数]]
* &Delta;''t'' ：解析における時間間隔
* &Delta;''x'' ：空間方向の間隔
である。

== 導出 ==
1次元の[[拡散方程式]]：
: <math> \dfrac{\partial {u}}{\partial t} = k \dfrac{\partial^2 {u}}{\partial {x}^2}</math>
ここで
* ''t'' ：時間
* ''x'' ：空間座標
を考える。[[差分法]]を用いて拡散方程式を離散化すると以下のようになる。
: <math> \dfrac{u^{n+1}_{i}-u^{n}_{i}}{\Delta t}=k\dfrac{u^n_{i+1}-2u^n_i+u^n_{i-1}}{(\Delta x)^2} </math>
この式を拡散数''d'' を用いて書き直すと、時間ステップ''n'' +1 における物理量''u''<sub>''i''</sub><sup>''n'' +1</sup> を
: <math> u^{n+1}_{i} = u^{n}_{i} + d(u^n_{i+1}-2u^n_i+u^n_{i-1}) </math>
と表すことができる。

== 拡散数による安定性の評価 ==
拡散方程式を陽解法、特に[[差分法]]を用いて計算する場合、拡散数の大きさにより解析の[[数値的安定性]]を[[フォン・ノイマンの安定性解析]]により評価することができる。解析を安定に進めるためには
: <math> d \leq \frac{1}{2}</math> <!--= k \dfrac{\Delta t}{(\Delta x)^{2}}-->
である必要がある。この式は以下のように書き換えられる。
: <math> \Delta t \leq \frac{1}{2}\dfrac{(\Delta x)^2}{k} </math>
つまり時間間隔&Delta;''t'' をある値より小さくしなければ安定に解析ができない。解析を精度よく行うために空間解像度&Delta;''x'' を小さくする場合、&Delta;''t'' はその2乗で小さくしなければならず、この条件は非常に厳しいものとなる。

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|author=竹内則雄、樫山和男、寺田賢二郎|authorlink=竹内則雄、樫山和男、寺田賢二郎|year=2003|month=9|title=計算力学|publisher=森北出版|isbn=4-627-91801-1|}}
* {{Cite book|和書|author=藤井孝蔵|authorlink=藤井孝蔵|year=1994|month=4|title=流体力学の数値計算法|publisher=東京大学出版会|isbn=9784130628020|}}

== 関連項目 ==
* [[拡散方程式]]
* [[クーラン数]]

{{DEFAULTSORT:かくさんすう}}
[[Category:応用力学]]
[[Category:数値微分方程式]]
[[Category:流体力学の無次元数]]
[[Category:数値流体力学]]