拡散数

拡散数（かくさんすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、陽解法を用いた拡散方程式の数値解析に際して、その数値的安定性を議論する上で重要な無次元数のひとつ。拡散数d は次式で定義される。

d = k \frac{Δ t}{(Δ x)^{2}}

ここで

である。

導出

\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

ここで

を考える。差分法を用いて拡散方程式を離散化すると以下のようになる。

\frac{u_{i}^{n + 1} - u_{i}^{n}}{Δ t} = k \frac{u_{i + 1}^{n} - 2 u_{i}^{n} + u_{i - 1}^{n}}{(Δ x)^{2}}

この式を拡散数d を用いて書き直すと、時間ステップn +1 における物理量u_i^{n +1} を

u_{i}^{n + 1} = u_{i}^{n} + d (u_{i + 1}^{n} - 2 u_{i}^{n} + u_{i - 1}^{n})

と表すことができる。

拡散方程式を陽解法、特に差分法を用いて計算する場合、拡散数の大きさにより解析の数値的安定性をフォン・ノイマンの安定性解析により評価することができる。解析を安定に進めるためには

d \leq \frac{1}{2}

である必要がある。この式は以下のように書き換えられる。

Δ t \leq \frac{1}{2} \frac{(Δ x)^{2}}{k}

つまり時間間隔Δt をある値より小さくしなければ安定に解析ができない。解析を精度よく行うために空間解像度Δx を小さくする場合、Δt はその2乗で小さくしなければならず、この条件は非常に厳しいものとなる。