指数体のソースを表示

[[数学]]における'''指数体'''（しすうたい、{{lang-en-short|''exponential field''}}）は、[[可換体|体]]であって、その元に対して通常の[[指数函数]]の概念を一般化した演算を追加で持つものを言う。

== 定義 ==
; 確認: 体とは、元の集合 {{mvar|F}} とその上の二つの[[二項演算]] "{{math|+}}", "{{math|&sdot;}}" を持つ組  {{math|(''F'', +, &sdot;, 0{{sub|''F''}}, 1{{sub|''F''}})}} として与えられる[[代数的構造]]で、加法 "{{math|+}}" は単位元 {{math|0{{sub|''F''}}}} を持つ[[アーベル群]]、乗法 "{{math|&sdot;}}" は {{mvar|F}} から {{math|0{{sub|''F''}}}} を除いた集合 {{math|''F*'' {{coloneqq}} ''F'' {{setminus}} {{mset|0{{sub|''F''}}}}}} が単位元 {{math|1{{sub|''F''}}}} を持つアーベル群となり、なおかつその乗法は加法の上に[[分配法則|分配的]]&mdash;任意の元 {{mvar|a, b, c ∈ F}} に対して {{math|1=''a''&sdot;(''b'' + ''c'') = (''a&sdot;b'') + (''a&sdot;c'')}}&mdash;のことであった。
体 {{math|(''F'', +, &sdot;, 0{{sub|''F''}}, 1{{sub|''F''}})}} がさらに函数 {{math|''E'': ''F'' → ''F''}} で性質 <math display="block">\begin{align}
  &E(a+b)=E(a)\cdot E(b)\qquad(a, b\in F),\\
  &E(0_F)=1_F \end{align}
</math> を満たすものを持つとき、{{mvar|F}} は'''指数体'''であると言い、函数 {{mvar|E}} を {{mvar|F}} 上の指数函数と呼ぶ<ref>Helmut Wolter, ''Some results about exponential fields (survey)'', Mémoires de la S.M.F. 2<sup>e</sup> série, '''16''', (1984), pp.85&ndash;94.</ref>。すなわち、体上の指数函数とは {{mvar|F}} の加法群 {{math|1=''F''{{sup|+}} = ''F''}} から {{mvar|F}} の乗法群 {{math|1=''F''{{sup|×}} = ''F*''}} への[[群準同型]]を言う。

== 自明な指数函数 ==
任意の体上には自明な指数函数（具体的には、任意の元をその体の乗法単位元へ写す[[零準同型]]）が存在する。その意味では任意の体は（自明な）指数体でもあるから、数学的な興味は非自明な指数函数を持つ体に対してこそ持たれる。

指数体の定義にその[[標数]]が零であることを課す場合もある。というのも、正標数の体では指数函数は自明なものしかない<ref name="Dries">Lou van den Dries, ''Exponential rings, exponential polynomials and exponential functions'', Pacific Journal of Mathematics, '''113''', no.1 (1984), pp.51&ndash;66.</ref>からである。このことを見るには、まず標数 {{math|''p'' > 0}} の体の任意の元 {{mvar|x}} に対し <math display="block">1=E(0)=E(\underbrace{x+x+\dotsb+x}_{p\text{ terms}})=E(x)E(x)\dotsb E(x)=E(x)^p</math> となることに注意する。したがって、[[フロベニウス自己準同型]]も勘案して <math display="block">(E(x)-1)^p=E(x)^p-1^p=E(x)^p-1=0</math> となるから、任意の {{mvar|x}} に対して {{math|1=''E''(''x'') = 1}} を得る<ref>Martin Bays, Jonathan Kirby, A.J. Wilkie, ''A Schanuel property for exponentially transcendental powers'', (2008), {{arxiv|0810.4457}}</ref>。

== 例 ==
* 実数全体の成す体 {{mathbf|ℝ}} は&mdash;より精確には、通常の実数の加法・乗法および実数の [[0]]・[[1]] との組 {{math|('''ℝ''', +, ·, 0, 1)}} として&mdash;、無数の指数函数を持つ。その一つは通常の[[指数函数]] {{math|1=''E''(''x'') {{coloneqq}} ''[[ネイピア数|e]]{{exp|x}}''}} であり、これが所期の性質 {{math|1=''e{{exp|x+y}}'' = ''e{{exp|x}}&sdot;e{{exp|y}}''}} および {{math|1=''e''<sup>0</sup> = 1}} を満たすことはよく知られている。この指数函数を備えた[[順序体]] {{mathbf|ℝ}} を考えれば、順序実指数体 {{math|1='''ℝ'''{{sub|exp}} {{coloneqq}} ('''ℝ''', +, ·, <, 0, 1, exp)}} が与えられる。
* 任意の正実数 {{math|''a'' > 0}} に対して {{mathbf|ℝ}} 上の指数函数 {{math|1=''E''(''x'') {{coloneqq}} ''a{{exp|x}}''}} が所期の性質を満足するものとして与えられる。
* 実指数体の[[複素数]]版として、複素指数体 {{math|1='''ℂ'''{{sub|exp}} {{coloneqq}} ('''ℂ''', +, ·, 0, 1, exp)}} が存在する。
* Boris Zilber が構成した指数体 {{math|''K''{{sub|exp}}}} は、重要なことに、指数函数を持つ体に関する{{ill2|シャニュエル予想|en|Schanuel's conjecture}}と同値な定式化を満足する<ref>Boris Zilber, ''Pseudo-exponentiation on algebraically closed fields of characteristic zero'', Ann. Pure Appl. Logic, '''132''', no.1 (2005), pp.67–95.</ref>。この指数体は実際には {{math|'''ℂ'''{{sub|exp}}}} であろうと予想され、それが事実と示されればシャニュエル予想を証明するものとなる。

== 指数環 ==
台となる集合 {{mvar|F}} が体となるという仮定を、単に[[環 (数学)|環]] {{mvar|R}} という仮定に置き換えて、それと同時に指数函数に対する仮定も {{mvar|R}} の加法群から {{mvar|R}} の[[単数群]]への群準同型に緩めれば、'''指数環''' (''exponential ring'') と呼ばれる対象が定まる<ref name="Dries"/>。

非自明な指数函数を持つ指数環の例が、[[有理整数]]環 {{mathbf|ℤ}} に函数 {{mvar|E}} は偶数に {{math|+1}}, 奇数に {{math|&minus;1}} を対応させるもの、つまり {{math|''n'' {{mapsto}} (&minus;1){{exp|''n''}}}} とすれば与えられる。{{mathbf|ℤ}} 上で指数函数の条件を満足するものは、これと自明なもののみである<ref>Giuseppina Terzo, ''Some Consequences of Schanuel's Conjecture in Exponential Rings'', Communications in Algebra, Volume 36, Issue 3 (2008), pp.1171&ndash;1189.</ref>。

== 未解決の問題 ==
指数体は[[モデル理論]]においてよく研究されており、{{ill2|Boris Zilber|en|Boris Zilber|label=Zilber}} による[[シャニュエル予想]]に関する仕事のように[[数論]]との間の結びつきがしばしば導かれる。1990年代には {{math|'''ℝ'''{{sub|exp}}}} が{{ill2|モデル完備|en|Model complete theory}}であることが証明され、{{ill2|ウィルキーの定理|en|Wilkie's theorem}}と呼ばれる。この結果と{{ill2|パフ函数|en|pfaffian function}}に関する Khovanskiĭ の定理を併せれば {{math|'''ℝ'''{{sub|exp}}}} が {{ill2|順序極小理論|en|o-minimal theory|label=o-極小}}でもあることが示される<ref>A.J. Wilkie, ''Model completeness results for expansions of the ordered field of real numbers by restricted Pfaffian functions and the exponential function'', J. Amer. Math. Soc., '''9''' (1996), pp.&nbsp;1051–1094.</ref>。他方、{{math|'''ℂ'''{{sub|exp}}}} はモデル完備でないことが知られている<ref>David Marker, ''A remark on Zilber's pseudoexponentiation'', The Journal of Symbolic Logic, '''71''', no.3 (2006), pp.&nbsp;791–798.</ref>。[[決定可能性]]の問題は未解決である。[[アルフレッド・タルスキ―]]が {{math|'''ℝ'''{{sub|exp}}}} の決定可能性の問題を提起したので、こんにちではそれを{{ill2|タルスキーの指数函数問題|en|Tarski's exponential function problem}}と呼ぶ。実数版のシャニュエル予想が真ならば {{math|'''ℝ'''{{sub|exp}}}} が決定可能であるということは知られている<ref>A.J. Macintyre, A.J. Wilkie, ''On the decidability of the real exponential field'', Kreisel 70th Birthday Volume, (2005).</ref>。

== 関連項目 ==
* [[順序指数体]] (Ordered exponential field)
* [[指数閉体]]

== 注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:しすうたい}}
[[Category:モデル理論]]
[[Category:体論]]
[[Category:代数的構造]]
[[Category:数学に関する記事]]