指数閉体のソースを表示

[[数学]]における'''指数閉体'''（しすうへいたい、{{lang-en-short|''exponentially closed field''}}; 指数的に閉じた体）{{mvar|F}} とは、{{mvar|F}} は[[順序指数体]] &mdash;すなわち、{{mvar|F}} は[[順序体]]で、なおかつ「指数函数」と呼ばれる {{mvar|F}} の[[加法群]]から {{mvar|F}} の正元の成す[[乗法群]]の上への準同型 {{mvar|E}} を持つ体（[[指数体]]）であって、{{mvar|E}} が[[単調写像|順序写像]]となるもの&mdash; であって、その「指数函数」{{mvar|E}} が[[群同型]]かつ適当な自然数 {{mvar|n}} に対して {{math|1 + 1/''n'' < ''E''(1) < ''n''}} を満足するものを言う。

== 例 ==
* 標準的な指数閉体の例は、実数全体の成す順序体である。ここで「指数函数」{{mvar|E}} としては、任意の {{math|''a'' > 1}} を[[底aの指数函数|底に持つ指数函数]]をとれる。

== 性質 ==
* 任意の指数閉体 {{mvar|F}} は'''冪根（拡大）で閉じている''' (''root-closed'')。つまり、{{mvar|F}} の任意の正元は任意の自然数 {{mvar|n}} に対する {{mvar|n}}-乗根を {{mvar|F}} 内に持つ、別な言い方をすれば {{mvar|F}} の正元全体の成す乗法群は[[可除群|可除]]である。これは <math display="inline">E(\frac{1}{n}E^{-1}(a))^n = E(E^{-1}(a)) = a \quad (\forall a>0)</math> が成り立つことによる。
** その帰結として、任意の指数閉体は{{ill2|ユークリッド体|en|Euclidean field}}となる。 
** その帰結として、任意の指数体は順序{{ill2|ピタゴラス体|en|Pythagorean field}}となる。
* 必ずしもすべての[[実閉体]]が指数閉体となるわけではない。例えば、実[[代数的数]]体は指数閉でない。実際、実数体の任意の指数閉部分体 {{mvar|F}} において「指数函数」{{mvar|E}} は適当な {{math|(1 <)''a'' ∈ ''F''}} に対して {{math|1=''E''(''x'') = ''a{{exp|x}}''}} の形にとれ、しかし {{mvar|a}} が代数的数ならば[[ゲルフォント–シュナイダーの定理]]により {{math|1=''E''({{sqrt|2}}) = ''a''{{exp|{{sqrt|2}}}}}} は代数的でない。
** その帰結として、指数閉体の成す類は{{ill2|初等類|label=初等的|en|Elementary class}}（[[一階述語論理|一階]]の理論で公理化可能）でないことが従う（これは、実数体と実代数的数体が、互いに{{ill2|初等同値|en|elementarily equivalent}}な構造であることによる）。
* 指数閉体の類は{{ill2|擬初等類|en|pseudoelementary class}}である。これは体 {{mvar|F}} が指数閉となるための必要十分条件として「[[全射|上への]]函数 {{math|''E''{{sub|2}}: ''F'' → {{subsup|F|+|×}}}} で {{math|1=''E''{{sub|2}}(1) = 2}} となるものが存在すること」を挙げることができて、この {{math|''E''{{sub|2}}}} は一階公理化可能であることによる。

== 参考文献 ==
* {{cite journal | first=Norman L. | last=Alling | title=On Exponentially Closed Fields | journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]] | volume=13 | number=5 | year=1962 | pages=706–711 | url=http://www.jstor.org/pss/2034159 | zbl=0136.32201 | doi=10.2307/2034159}}

{{DEFAULTSORT:しすうへいたい}}
[[Category:モデル理論]]
[[Category:体論]]
[[Category:代数的構造]]
[[Category:数学に関する記事]]