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{{Pathnav|[[数学]]|[[微分幾何学]]|[[接続 (微分幾何学)|接続]]、[[ファイバー束|ファイバーバンドル]]|frame=1}}
{{otheruses|ファイバーバンドルの接続概念|微分幾何学における接続全般に関する説明|[[接続 (微分幾何学)]]|カルタン接続|カルタン幾何学|その他の用法|接続}}
[[ファイバー束|ファイバーバンドル]]の'''接続'''（せつぞく、{{lang-en-short|connection}}）とは、[[接続 (ベクトル束)|ベクトルバンドルの接続概念（Koszul接続）]]を任意のファイバーバンドルに拡張したものである。

これにより、原理的には任意のファイバーバンドル上で接続の概念を考えられるようになるが、実際に研究が進んでいるのはベクトルバンドルの場合とそれに対応する主バンドルの場合、具体的に<math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})</math>、<math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})</math>、[[回転群]]<math>SO(n)</math>、[[ユニタリ群]]<math>U(n)</math>、[[シンプレクティック群]]<math>\mathrm{Sp}(n)</math>、[[スピン群]]<math>\mathrm{Spin}(n)</math>等、[[一般線形群]]やその閉部分リー群に対する主バンドルの場合である。
なお、これらはそれぞれ実ベクトルバンドル、実計量ベクトルバンドル、複素ベクトルバンドル、複素計量ベクトルバンドル、シンプレクティックバンドル、{{仮リンク|クリフォードバンドル|en|Clifford bundle}}に対応する。

こうした群の場合、主バンドルの接続からベクトルバンドルの接続が定義でき、逆にベクトルバンドルの接続から主バンドルの接続が定義できる事を本章で見る。ファイバーバンドルの接続、特に主バンドルの接続を考える主目的はベクトルバンドルの接続を別の角度から捉え直す事にある。

[[チャーン・ヴェイユ理論]]では、[[特性類]]という[[主バンドル]]を使って特徴づけられる概念を用いるので、上記のように主バンドルに対して接続を定義することで、理論の記述が可能になる。

以下、本項では特に断りがない限り、多様体、関数、バンドル等は全て{{mvar|C{{sup|∞}}}}級の場合を考える。よって紛れがなければ「{{mvar|C{{sup|∞}}}}級」を省略して単に多様体、関数、バンドル等という。

== 名称に関して ==
ファイバーバンドルの接続のことを'''エーレスマン接続<ref>「エーレスマン接続」という訳語は[[#佐古]]を参考にした。[[#佐古]]に目次にこの名称が確認できる。</ref>'''（{{Lang-en-short|Ehresmann conection}}）と呼ぶ場合があるが<ref>[[#Epstein]] p.95.</ref>、[[#主接続の節|主バンドルに対する接続]]の事を「エーレスマン接続」と読んでいる書籍<ref>[[#Tu]] p.256.</ref>もあるので注意が必要である<ref>{{Cite web |url=https://ncatlab.org/nlab/show/Ehresmann+connection#note_on_terminology |title=Ehresmann connection |access-date=2023-08-30 |website=nLab}}</ref>。なお[[主バンドル]]上においても'''両者の概念は同値ではなく'''、ファイバーバンドルの接続のうち構造群の作用に関して不変なものを主バンドルの接続と呼ぶ。

両者の区別のため、一般のファイバーバンドルの接続を'''一般の接続'''（{{lang-en-short|general connection}}<ref>[[#Kolar]] p.80.</ref>）、主バンドルの接続を'''主接続'''（{{lang-en-short|principal connection}}<ref>[[#Kolar]] p.99.</ref>）と呼ぶ場合がある。

またファイバーバンドルの接続のうち、[[#完備性の定義|完備]]なもののみを「エーレスマン接続」と呼ぶ場合もある<ref>[[#Kolar]] p.81.</ref>。なおエーレスマン自身による定義では完備性を仮定していた<ref>[[#Tuynman]] p.345.</ref>。

== 動機 ==
{{See also|接続 (ベクトル束)|レヴィ・チヴィタ接続}}
本節では、ファイバーバンドルの接続、中でも特に主バンドルの接続を定義する動機を説明する。


[[リーマン多様体]]の[[接束|接バンドル]]上の[[レヴィ・チヴィタ接続]]、あるいはより一般に任意の[[多様体]]の[[ベクトル束|ベクトルバンドル]]の[[接続 (ベクトル束)|接続]]はベクトルバンドル<math>E \to M</math>上の微分演算子{{Mvar|∇}}によって定義されている。

{{Mvar|M}}上のベクトル場{{Mvar|X}}に対し行列<math>\omega(X)</math>を

: <math>(\nabla_X e_1,\ldots, \nabla_X e_m)=(e_1,\ldots,e_m)\omega(X)</math>

により定義し、{{Mvar|X}}に<math>\omega(X)</math>を対応させる行列値の[[微分形式|1-形式<math>\omega=(\omega^i{}_j)_{ij}</math>]]を局所的な基底<math>(e_1,\ldots,e_m)</math>に関する接続{{mvar|∇}}の'''接続形式'''（{{Lang-en-short|connection form}}）という<ref name=":0">[[#小林]] p.38.</ref>。

{{Mvar|∇}}が定義する共変微分は[[積の微分法則|ライプニッツ則]]により、
: <math>\nabla_X s = X(s^j)e_j + s^i\omega_i{}^j(X)e_j</math>
とかけるので、接続形式{{Mvar|ω}}が分かれば接続{{Mvar|∇}}が再現でき、{{Mvar|ω}}と{{Mvar|∇}}は1対1対応する。ここで<math>s=s^je_j</math>は{{Mvar|E}}の切断である。

実はむしろ{{Mvar|ω}}から接続概念を定義したほうが、数学的に有利である事が示唆され、このアイデアを結実したのが主バンドルの接続概念である。

接続形式{{Mvar|ω}}から接続概念を定義したほうが有利な理由は２つある。第一に、リーマン多様体であれば{{Mvar|∇}}から定義される曲率テンソルを使って記述できた恒等式、例えば（第二）構造方程式や（第二）ビアンキ恒等式は、一般のベクトルバンドルでは{{Mvar|ω}}を使わないと記述できない（[[接続 (ベクトル束)#曲率]]を参照）。



第二に、接続概念において重要な役割を果たす平行移動の概念は接続形式{{Mvar|ω}}と強く関係しており、底空間{{Mvar|M}}の曲線<math>c(t)</math>に沿って定義された局所的な基底<math>(e_1(t),\ldots,e_m(t))</math>を{{Mvar|t}}で微分したものが接続形式<math>\omega(\tfrac{dc}{dt}(0)) </math>に一致する。

よって特に（レヴィ・チヴィタ接続などの）{{Mvar|∇}}が{{Mvar|E}}の計量と両立する接続の場合、{{Mvar|∇}}による平行移動は回転変換、すなわち<math>SO(n)</math>の元なので、その微分である接続形式{{Mvar|ω}}は<math>SO(n)</math>のリー代数<math>\mathfrak{so}(n)</math>の元、すなわち[[交代行列|歪対称行列]]である<ref group="注">厳密には以下の通りである。''{{Mvar|M}}''の曲線<math>c(t)</math>に沿って定義された局所的な基底<math>e(t)=(e_1(t),\ldots,e_n(t))</math>を考え、<math>e(0)</math>を<math>c(t)</math>に沿って平行移動したものを<math>\bar{e}(t)=(\bar{e}_1(t),\ldots,\bar{e}_n(t))</math>として行列<math>A(t)</math>を

<math>e(t) = \bar{e}(t) A(t)</math>

により定義すると、接続形式の定義より、

<math>e(0) \omega\left({d c\over dt}(0)\right) </math><math> = \left.{\nabla \over dt} 
e(t)\right|_{t=0}
</math><math> = \left.{\nabla \over dt} 
\bar{e}(t)A(t)\right|_{t=0}</math><math>= \bar{e}(0) {dA \over dt}(0)</math><math>= e(0){dA \over dt}(0) </math>

が成立する。ここで<math>{\nabla \over dt} e(t)</math>は成分ごとの微分<math>\left({\nabla \over dt}e_1(t),\ldots, {\nabla \over dt}e_n(t)\right)</math>の事である。

{{Mvar|∇}}が計量と両立すれば、<math>\bar{e}(t)</math>は正規直交基底である。よって

<math>e(t)</math>が正規直交基底であれば、<math>e(t) = \bar{e}(t) A(t)</math>より<math>A(t)</math>は回転変換であり、<math>A(t)</math>の微分は歪対称行列である。</ref>。



このように接続形式を用いるとベクトルバンドルの構造群（上の例では<math>SO(n)</math>）が接続形式の構造をリー群・リー代数対応により支配している事が見えやすくなる。

上では回転群<math> \mathrm{SO}(m)</math>の場合を説明したが、<math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})</math>（を自然に<math>\mathrm{GL}_{2n}(\mathbb{R})</math>の部分群とみなしたもの）や<math>\mathrm{U}_n(\mathbb{C})</math>、[[物理学]]で重要な[[斜交群|シンプレクティック群]]や[[スピン群]]に対しても同種の性質が証明でき、接続形式がリー群・リー代数対応により支配されている事がわかる。


こうした事実は接続概念を直接リー群と接続形式とで記述する方が数学的に自然である事を示唆する。[[接続 (ファイバー束)#主接続の節|後で説明]]する、リー群の主バンドルに対する接続はこのアイデアを定式化したもので、主バンドルの接続は接続形式に相当するものを使って定義される。



そこで本項では、まずベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の両方を包括する概念である[[接続 (ファイバー束)#ファイバーバンドルの接続の章|ファイバーバンドルの接続概念を導入]]する。この概念は「そもそも平行移動とは何か」を直接的に定式化したもので、この概念それ自身が接続形式の言葉で記述されるわけではない。

そして次にファイバーバンドルの接続概念を用いて[[接続 (ファイバー束)#主接続の節|主バンドルの接続概念を定義]]すると同時に、主バンドルの接続を接続形式の言葉で再定式化する。そして構造群を持つファイバーバンドルにその主バンドルから[[接続 (ファイバー束)#同伴バンドルへの誘導の節|接続を誘導する方法を説明]]する。そして最後にベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の[[接続 (ファイバー束)#Koszul接続|接続形式の言葉で記述]]する。

== ファイバーバンドルの接続の定義{{Anchors|ファイバーバンドルの接続の章}} ==

ファイバーバンドルの接続概念は、ベクトルバンドルの接続における平行概念を自然に拡張する事で定義する。

=== 定義の背後にある直観{{Anchors|ベクトルバンドルの接続から一般の接続へ}} ===


<math>\pi~:~E \to M</math>をベクトルバンドルとし、{{mvar|∇}}をこのバンドルの[[接続 (ベクトル束)|Koszul接続]]とする。{{mvar|M}}上の任意の曲線{{math|''c''(''t'')}}と{{math|''c''(''t'')}}上の任意の切断{{math|''s''(''t'')}}で平行なものに対し、{{math|''s''(''t'')}}を{{mvar|E}}上の曲線とみなしたときに<math>\tfrac{ds}{dt}</math>が入る{{mvar|T{{sub|e}}E}}の部分空間を「'''水平部分空間'''」と呼ぶ。

以上のように接続{{mvar|∇}}から水平部分空間が定まるが、逆に水平部分空間の情報があれば接続を再現できる事も知られている。実際、<math>\tfrac{ds}{dt}</math>が常に水平部分空間に入るような切断{{math|''s''(''t'')}}を平行な切断とみなす事で水平部分空間から平行が再現でき、平行概念から接続概念を再現できる事も知られている<ref>[[#Spivak]] p.251.</ref>。

よってベクトルバンドルの場合は接続概念は水平部分空間の概念は等価なので、一般のファイバーバンドルに対する接続を水平部分空間の概念を用いて定義する事にする。

=== 定義 ===
以上の考察を元に、ファイバーバンドルの接続を定義する。そのためにまず「垂直部分空間」という概念を定義する。<math>\pi~:~E \to M</math>をファイバー''{{mvar|F}}''を持つファイバーバンドルとし、{{math|''e''∈''E''}}を''{{mvar|E}}''の元とするとし''{{mvar|π}}''が誘導する写像を<math>\pi_*~:~TE \to TM</math>とするとき、

: <math>\mathcal{V}_e:=\{\xi \in T_eE \mid \pi_*(\xi)=0\} = T_e(E_{\pi(e)})</math>

を、''{{mvar|e}}''における''{{mvar|T{{sub|e}}E}}''の'''垂直部分空間'''（{{lang-en-short|vertical subspace}}）という<ref>[[#Tu]] p.256.</ref><ref>[[#Wendl3]] p.73.</ref>{{refn|ここで<math>T_e(E_{\pi(e)})</math>は{{math|1=''π''(''e'')}}のファイバー<math>E_{\pi(e)}</math>の点{{mvar|e}}における接空間であり、包含写像<math>E_{\pi(e)} \subset E</math>が誘導する写像<math>T_eE_{\pi(e)} \hookrightarrow T_eE</math>により<math>T_eE_{\pi(e)}</math>を{{mvar|T{{sub|e}}E}}の部分空間とみなしている。|group="注"}}。そしてファイバーバンドルの接続を以下のように定義する：{{math theorem|定義|
ファイバーバンドル<math>\pi~:~E \to M</math>の（{{mvar|C{{sup|∞}}}}級の）'''接続'''({{lang-en-short|connection}})<math>\{\mathcal{H}_e\}_{e\in E}</math>とは、{{mvar|E}}の各点{{mvar|e}}における{{mvar|T{{sub|e}}M}}の部分空間<math>\mathcal{H}_e</math>の[[族 (数学)|族]]で{{mvar|e}}に関して{{mvar|C{{sup|∞}}}}級であり{{refn|group="注"|name="HのC∞級に関して"|この「<math>\mathcal{H}_e</math>は{{mvar|e}}に関して{{mvar|C{{sup|∞}}}}級である」というのを厳密に定式化する方法は（同値な方法が）いくつかあるが、一つの方法は<math>\mathcal{H}=\cup_{e\in E}\mathcal{H}_e</math>を<math>\mathcal{H}_e</math>を<math>e \in E</math>上のファイバーとする{{mvar|TE}}の部分ベクトルバンドルとみなし、<math>\mathcal{H}</math>が{{mvar|TE}}の{{mvar|C{{sup|∞}}}}級の部分ベクトルバンドルである事を要請するというものである。}}、以下の性質を満たすものである<ref name="Wendl3-74">[[#Wendl3]] p.74.</ref>：
: <math>T_e E = \mathcal{V}_e \oplus \mathcal{H}_e</math>
<math>\mathcal{H}_e</math>を{{mvar|e}}における'''水平部分空間'''（{{lang-en-short|horizontal subspace}}）という<ref name="Wendl3-74" />。
|note=接続{{Anchors|一般の接続の定義}}}}

分解
: <math>T_e E = \mathcal{V}_e \oplus \mathcal{H}_e</math>
があれば、{{mvar|T{{sub|e}}E}}の元の<math>\mathcal{V}_e</math>への射影
: <math>V_e~:~T_e E \to \mathcal{V}_e</math>
すなわち<math>\mathrm{Ker}V_e=\mathcal{H}_e</math>、<math>V_e|_{\mathcal{V}_e}=\mathrm{id}</math>となる線形変換を定義できる。この{{mvar|V{{sub|e}}}}を'''垂直射影'''（{{lang-en-short|vertical projection}}<ref name="Wendl3-75" />）もしくは'''接続写像'''（{{lang-en-short|connection map}}<ref name="Wendl3-75">[[#Wendl3]] p.75.</ref>）といい、接続写像によって接続概念を定式化することも可能である：

{{math theorem|定義|
ファイバーバンドル<math>\pi~:~E \to M</math>の（{{mvar|C{{sup|∞}}}}級の）'''接続'''({{lang-en-short|connection}})とは、{{mvar|e}}に関して{{mvar|C{{sup|∞}}}}級な{{refn|group="注"|{{mvar|V{{sub|e}}}}は<math>T^*_eE \otimes \mathcal{V}_e</math>の元とみなせるので、テンソル場<math>V=\{h_e\}_e \in T^*E \otimes \mathcal{V}</math>が{{mvar|C{{sup|∞}}}}級な事をもって<math>\{V_e\}_{e\in E}</math>が{{mvar|e}}に関して{{mvar|C{{sup|∞}}}}級だとみなす。}}写像
: <math>V_e~:~T_eE \to \mathcal{V}_e</math>
の族<math>\{V_e\}_{e\in E}</math>で以下の性質を満たすものである<ref name="Wendl3-75" />：
* <math>V_e|_{\mathcal{V}_e}=\mathrm{id}</math>
}}[[接続 (ファイバー束)#主接続のリー代数による定式化|後で述べる]]ように、この垂直射影{{mvar|V{{sub|e}}}}が主バンドルの接続の場合は接続形式に対応している。

===ジェットバンドルによる特徴づけ===
本節では{{仮リンク|ジェット束|en|Jet bundle|label=ジェットバンドル}}の概念を用いる事でファイバーバンドルの接続を特徴づける。

==== ジェットバンドルの定義 ====
<math>\pi~:~E \to M</math>をファイバーバンドルとし、{{Mvar|u}}を{{Mvar|M}}の点とする。{{Mvar|u}}の近傍で定義された{{Mvar|E}}の２つの切断{{Mvar|s}}、{{Mvar|s'}}に対し、
: <math>s \sim s' \iff s_u = s_u ~~\text{and}~~ s_*|_u = s'_*|_u  </math>
という同値関係を定義し、その同値類を<math>j^1_u s  </math>と書き、{{Mvar|s}}の1次の'''ジェット'''（{{Lang-en-short|jet}}）という{{Refn|0階および1階微分が等しいことを持って同値を定義しているので、「1次の」ジェットという。同様にして{{mvar|k}}次のジェットも定義可能である。|group=注}}。さらに同値類全体を<math>J^1_uE</math>と書き、<math>J^1E = \bigcup_{u \in M}J^1_uE</math>とすると、
: <math> j^1_us \in J^1E \mapsto u \in M </math>
により{{Mvar|J{{sup|1}}E}}は{{Mvar|M}}上のバンドルとみなせる。このバンドルをファイバーバンドル<math>\pi~:~E \to M</math>に関する1次の'''ジェットバンドル'''という。なお、
: <math> j^1_us \in J^1E \mapsto s_u \in E </math>
により{{Mvar|J{{sup|1}}E}}を{{Mvar|E}}上のバンドルとみなすこともできる。

==== ジェットバンドルを使った接続の特徴づけ ====
ジェット<math>j^1_u s  </math>を一つ指定すると、点<math>s_u \in E</math>における平面<math>\mathcal{H}_{s_u}:=s_*(T_uM)</math>で垂直部分空間と<math>\mathcal{V}_{s_u} \cap \mathcal{H}_{s_u} = \{0\}</math>を満たすものが定義できる。逆に<math>\mathcal{V}_{s_u} \cap \mathcal{H}_{s_u} = \{0\}</math>を満たす平面<math>\mathcal{H}_{s_u} \subset T_{s_u}E</math>からジェット<math>j^1_u s  </math>が1つ定まる事も容易に示せる。


ファイバーバンドル<math>\pi~:~E \to M</math>の接続とは{{Mvar|E}}の各点{{Mvar|e}}に<math>\mathcal{V}_{e} \cap \mathcal{H}_{e} = \{0\}</math>を満たす<math>\mathcal{H}_{e} \subset T_{e}E</math>を定めるものであったので、上述の議論から、これは{{Mvar|E}}の各点{{Mvar|e}}に<math>s_{\pi(e)}=e</math>を満たすジェット<math>j^1_u s  </math>を定める事に等しく、{{Mvar|E}}の各点にそのようなジェットを定める行為は
: <math> j^1_us \in J^1E \mapsto s_u \in E </math>
の切断を定める行為に等しい。よって<math>\pi~:~E \to M</math>の接続概念を以下のように定式化できる：

{{Math theorem|定理|<math>\pi~:~E \to M</math>をファイバーバンドルとし、{{mvar|J{{sup|1}}E}}を<math>\pi~:~E \to M</math>の1次のジェットバンドルとする。このとき、
: <math>J^1E \to E</math>
の切断を<math>\pi~:~E \to M</math>の'''接続'''という<ref>[[#Kolar]] p.161.</ref>。|note=ジェットバンドルを使った接続概念の定式化}}

「切断」という「水平部分空間」よりも数学的に扱いやすい対象によって接続を定義できる点でこの定義は有益である。

== 諸概念 ==
本節では、上記の接続の概念に基づいて、一般のファイバーバンドルに対して平行移動、共変微分、および曲率形式の概念を定義していく。
ベクトルバンドルの場合にこれらの概念がこれまで議論してきた平行移動、共変微分、および曲率形式の概念に一致する事は後述する。

=== 平行移動 ===
平行移動の概念を以下のように定義する：
{{math theorem|定義|{{mvar|M}}上の曲線<math>c(t)</math>上定義された切断<math>s(t)</math>が'''平行'''であるとは、
: <math>{ds \over dt}(t) \in \mathcal{H}_{s(t)}</math>
が任意の{{mvar|t}}に対して成立する事をいう。さらに{{mvar|t{{sub|0}}}}、{{mvar|t{{sub|1}}}}を2つの時刻とするとき、<math>s(t_1)</math>は<math>s(t_0)</math>を<math>c(t)</math>に沿って'''平行移動'''した元であるという<ref name="Wendl3-74" />|note=平行移動}}接続の定義から、

: <math>\pi_*|_{\mathcal{H}_e}:|~\mathcal{H}_e \to T_{\pi(e)}M</math>

はベクトル空間としての同型であるので、この逆写像

: <math>\mathrm{Lift}_e~:~T_{\pi(e)}M \to \mathcal{H}_e</math>

を考える事ができる。<math>\mathrm{Lift}_e(v)</math>を<math>v \in T_{\pi(e)}M</math>の''{{mvar|e}}''への'''水平リフト'''（{{lang-en-short|horizontal lift}}<ref name="Wendl3-74" />）といい、{{mvar|v}}に水平リフトを対応させる写像
<math>\mathrm{Lift}_e~:~T_{\pi(e)}M \to \mathcal{H}_e</math>を'''クリストッフェル写像'''{{Anchors|クリストッフェル写像の定義}}（{{lang-en-short|Christoffel map}}<ref>[[#Epstein]] p.95.</ref>）という事もある。この写像と[[クリストッフェル記号]]の関係は[[#クリストッフェル写像の意味|後述]]する。


水平リフトの定義から明らかなように、切断<math>s(t)</math>が平行である必要十分条件は

: <math>\tfrac{d}{dt}s(t)=\mathrm{Lift}_{s(t)}\left(\tfrac{d}{dt}c(t)\right)</math>

を満たす事である。


常微分方程式<math>\tfrac{d}{dt}s(t)=\mathrm{Lift}_{s(t)}\left(\tfrac{d}{dt}c(t)\right)</math>の解の局所的な存在一意性から、平行移動は局所的に存在し、かつ一意である。

すなわち{{mvar|s}}を曲線<math>c(t)</math>の時刻{{mvar|t{{sub|0}}}}のファイバー<math>E_{c(t_0)}</math>の元とするとき、（{{mvar|t{{sub|0}}}}と{{mvar|s}}に依存した）{{mvar|t{{sub|0}}}}の近傍<math>(-\varepsilon,\varepsilon)</math>が存在し、<math>(-\varepsilon,\varepsilon)</math>上では{{mvar|s}}の平行移動が一意に存在する。

=== 完備性 ===

==== 定義 ====
前節で平行移動が局所的には必ず存在する事を見たが、平行移動の大域的な存在性は必ずしも保証されない。平行移動が大域的に存在するときに接続は完備であるという：
{{math theorem|定義|
任意の<math>e \in E</math>および<math>\pi(e)\in M</math>を通る任意の曲線<math>c(t)\in M</math>に対し、<math>c(t)</math>に沿った{{mvar|e}}の平行移動が定義できるとき、接続<math>\{\mathcal{H}_e\}_{e\in E}</math>は'''完備'''（{{lang-en-short|complete}}）であるという<ref name="Kolar81">[[#Kolar]] p.81.</ref><ref>[[#Tuynman]] p.345.</ref><ref>{{Cite book |title=Connections, curvature, and cohomology Volume 1: De Rham cohomology of manifolds and vector bundles |publisher=Academic Press |page=314 |author=Werner Greub, Stephen Halperin, Ray Vanstone |series=Pure and Applied Mathematics|volume=47}}</ref>。
|note=完備性{{Anchors|完備性の定義}}}}
任意のファイバーバンドルに完備な接続が少なくとも1つ入る事が知られている<ref name="Kolar81" />。


なお、接バンドルにおいては「完備」という言葉は
* [[アフィン接続]]の測地線完備性{{refn|group="注"|{{mvar|M}}をアフィン接続{{mvar|∇}}が定義された多様体とするとき、{{mvar|M}}上の任意の（{{mvar|∇}}に関する）測地線分が任意の長さに延長できるとき、{{mvar|M}}は{{mvar|∇}}に関して測地線完備であるという。}}
* リーマン計量が入っている場合の距離空間としての完備性
にも使われるが、上述した接続の完備性はこれらの完備性概念とは'''別概念'''である。実際、（アフィン接続に限らず）Koszul接続の場合には、平行移動は常に定義可能である<ref>[[#Tu]] p.263.</ref>ので、Koszul接続は上述の意味で常に完備である。


ファイバーがコンパクトの場合も完備性が成り立つ：
{{math theorem|定理|
<math>\pi~:~E \to M</math>をファイバー空間{{mvar|F}}を持つファイバーバンドルとし、<math>\mathcal{H}=\{\mathcal{H}_e\}_{e\in E}</math>をこのバンドルの接続とする。
このとき、{{mvar|F}}がコンパクトであれば<math>\mathcal{H}</math>は完備である{{refn|[[#森田]] p.295.}}。
}}

==== 反例 ====
本節では完備ではない接続の例をあげる。<math>M=\mathbb{R}</math>とし、{{Mvar|M}}上のファイバーバンドル
:<math>\pi~:~(x,y) \in M \times \mathbb{R} \mapsto x \in M</math>
を考え、このファイバーバンドル上に下記のような接続を考える：
: 点<math>(x,y) \in M \times \mathbb{R}</math>における水平部分空間は、<math>T_{(x,y)} (M \times \mathbb{R})</math>内の傾き<math>y{}^2</math>の直線である<ref group="注">Koszul接続の場合は、[[#Koszul接続の条件|定数倍との両立性]]が成立しなければならないので、傾きを<math>y{}^2</math>にできず、これがKoszul接続の場合に完備性が保証される理由である。</ref>
ここで直線の「傾き」は<math>T_{(x,y)} (M \times \mathbb{R})</math>を自然に<math>M \times \mathbb{R}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}</math>と同一視したときの傾きである。

このようにすると、<math>M=\mathbb{R}</math>上の直線<math>c(t)=t</math>に沿って点<math>0 \in M=\mathbb{R}</math>のファイバー上の点<math>(0,y_0) \in M\times \mathbb{R}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}</math>を平行移動した結果できる曲線は
: <math>(x,y)=\left(t,{1 \over  y_0{}^{-1}-t}\right)
</math>
である事を容易に示す事ができる。この平行移動は
: <math>t < {1 \over y_0}
</math>
の範囲でしか延長できず、完備でない事が言えた。


上記の例でも分かるように、水平移動の局所的存在性において、水平移動が存在する範囲<math>(-\varepsilon,\varepsilon)</math>がファイバーの元（上記の例では{{Mvar|y{{sub|0}}}}）に依存しており、上記の例であれば<math>\varepsilon<\tfrac{1}{y_0}</math>でなくてはならない。この事が水平移動の大域的存在性を保証できない原因となっている。

===共変微分===
本節ではまず共変微分を天下り的に定義し、次に平行移動の概念を用いて共変微分の概念の意味付けを行う。

==== 定義 ====
{{math theorem|定義|
<math>\pi~:~E \to M</math>を接続<math>\{V_e\}_{e\in E}</math>が定義されたファイバーバンドルとし、{{mvar|s}}を{{mvar|M}}の開集合{{mvar|U}}上で定義された{{mvar|E}}の切断とし、{{mvar|X}}を{{mvar|U}}の点<math>x\in U</math>における{{mvar|M}}の接ベクトルとする。{{mvar|s}}を多様体{{mvar|U}}から多様体{{mvar|E}}への写像とみなしたときに{{mvar|s}}が接ベクトル空間に誘導する写像を
: <math>s_*~:~TU \to TE</math>
とする。このとき、<math>u \in M</math>に対し、
: <math>\nabla_X s|_u:= V_{s_u}(s_*(X_u))</math>
を点{{mvar|u}}における{{mvar|s}}の{{mvar|X}}方向の'''共変微分'''という<ref name="Wendl3-75" />。
|note=共変微分{{Anchors|共変微分の定義}}}}
{{math theorem|定義|
<math>\pi~:~E \to M</math>を接続<math>\{V_e\}_{e\in E}</math>が定義されたファイバーバンドルとし、<math>c(t)</math>を{{mvar|M}}上の曲線とし、<math>s(t)</math>を<math>c(t)</math>に沿った{{mvar|E}}の切断とする。このとき、
:<math>{\nabla\over dt}s(t):=V_{s(t)}\left({d\over dt}s(t)\right)</math>
を'''<math>c(t)</math>に沿った<math>s(t)</math>の共変微分'''という<ref name="Wendl3-75" />。
|note=曲線に沿った共変微分}}

==== リフトとの関係 ====
{{mvar|M}}上のベクトル場{{Mvar|X}}に対し、{{Mvar|E}}の各点{{Mvar|e}}に<math> \mathrm{Lift}_e(X_e) </math>を対応させるベクトル場を
: <math>\mathrm{Lift}(X)</math>
と書くことにすると、以下が成立する事が知られている<ref name="Wendl3-75" />：{{math theorem|定理|{{mvar|s}}を{{mvar|M}}の開集合上で定義された切断とするとき、
: <math>\nabla_Xs =s_*(X) - \mathrm{Lift}(X)</math>
|note=共変微分とリフトの関係{{Anchors|共変微分とリフトの関係}}}}

よって特に次が成立する：
{{math theorem|定理|<math>s(t)</math>を曲線<math>c(t)</math>上の切断とするとき、
:<math>\frac{\nabla}{dt}s(t)=\frac{d}{dt}s(t) - \mathrm{Lift}_{s(t)}(\frac{d}{dt}c(t))</math>
が成立する。
}}

平行移動の定義より、<math>s(t)</math>が平行であれば、
: <math>\tfrac{d}{dt}s(t)=\mathrm{Lift}_{s(t)}\left(\tfrac{d}{dt}c(t)\right)</math>
であった。この事からすなわち、'''共変微分<math>\tfrac{\nabla}{dt}s(t)</math>とは、平行移動からのズレを表す量である'''事がわかる。

==== 成分表示とクリストッフェル写像{{Anchors|クリストッフェル写像の節}} ====

本節では共変微分を成分表示で表し、これにより水平リフトがなぜ[[#クリストッフェル写像の定義|クリストッフェル写像]]と呼ばれるのかを見る。このためにファイバーバンドル<math>\pi~:~E \to M</math>の点<math>e_0 \in E</math>に対し、<math>\pi(e_0) \in M</math>の近傍{{Mvar|U}}における局所座標<math>(x^1,\ldots,x^m) </math>を選び、さらに<math>e_0 \in E</math>の局所座標
: <math>((x^1,\ldots,x^m),(y^1,\ldots,y^n)) \in U \times V \subset E </math>
として、局所座標が<math>((x^1,\ldots,x^m),(y^1,\ldots,y^n)) </math>の元を<math>\pi ~:~ E \to M</math>で写像するしたものの局所座標が<math>(x^1,\ldots,x^m) </math>となるものを取る。


水平リフトは<math>\pi~:~E \to M</math>の右逆写像であった事から、<math>X=X^k\tfrac{\partial}{\partial x^k}</math>を{{Mvar|U}}上のベクトル場とすると、<math>e \in E</math>における水平リフトは何らかの実数の組<math>(\Gamma^i{}_k(e))_{i,k}</math>を用いて
: <math>\mathrm{Lift}_e(X)=X^k{\partial \over \partial x^k} - X^k \Gamma^i{}_k(e) {\partial \over \partial y^i} </math>

という形に成分表示できる<ref>[[#Epstein]] p.95.</ref>{{refn|group="注"|<math>X=X^k\tfrac{\partial}{\partial x^k}</math>というふうに{{mvar|X}}の添字を{{mvar|k}}にしたのは後述する接続形式と添字を揃えるため。この結果としてベクトルバンドルではクリストッフェル写像とクリストッフェル記号は
: <math>\Gamma^i{}_k(e_j)=\Gamma^{i}{}_{kj}</math>
という関係性を満たす（{{mvar|k}}と{{mvar|j}}の順番に注意）。[[#クリストッフェル記号の定理|後述の定理]]を参照。}}。[[#共変微分とリフトの関係|共変微分とリフトの関係性]]から、簡単な計算により、以下の定理を示すことができる：

{{math theorem|定理|記号を上述のように取り、さらに{{Mvar|s}}を{{Mvar|U}}上定義された{{Mvar|E}}の切断とし、{{Mvar|s}}を成分表示で
: <math>s(x)=((x^1,\ldots,x^m),(s^1(x),\ldots,s^n(x)))</math>
と書く、このとき以下が成立する：
: <math> \nabla_Xs|_x
  = \left(X^k(x){\partial s^j \over \partial x^k}(x)
 + X^k(x) \Gamma^i{}_k(s(x)) \right)
  {\partial \over \partial y^i}\Bigg|_{s(x)} 
</math>|note=共変微分の成分表示{{Anchors|クリストッフェル写像の意味}}}}

上記の定理をKoszul接続に関する共変微分の成分表示と比較する事で、<math>\Gamma_k{}^i(s(x))</math>が[[クリストッフェル記号]]に対応している事が分かる。事実Koszul接続では<math>\Gamma_k{}^i(s(x))</math>が{{mvar|s}}に関して線形であり、成分表示がクリストッフェル記号と一致する（[[#クリストッフェル記号の定理|後述]]）。

水平リフトの事をクリストッフェル写像と呼んだのは以上の理由による。

=== 曲率{{Anchors|ファイバーバンドルの曲率の節}} ===
==== 定義 ====
接続概念の定義において垂直方向への射影
: <math>V_e~:~T_eE \to \mathcal{V}_e</math>
を導入したが、同様にして水平方向への射影
: <math>H_e~:~T_eE \to \mathcal{H}_e</math>
も定義できる。

曲率概念はこの{{mvar|V{{sub|e}}}}、{{mvar|H{{sub|e}}}}を使って定義できる：
{{math theorem|定理・定義|
<math>\pi~:~E \to M</math>を接続<math>\{V_e\}_{e\in E}</math>が定義されたファイバーバンドルとし、<math>\mathcal{H}_e:=\mathrm{Ker} V_e</math>への射影を<math>H_e~:~T_eE \to \mathcal{H}_e</math>とする。

{{mvar|E}}上のベクトル場{{mvar|ξ}}、{{mvar|η}}に対し、
: <math>\Omega(\xi,\eta):=-V([H(\xi),H(\eta)])</math>
と定義すると、{{mvar|Ω}}は<math>C^{\infty}(E)</math>-線形である<ref name="Wendl5-121" /><ref>[[#Kolar]] p.77.</ref>{{refn|group="注"|name="C∞-線形"|ここで<math>\Omega(\xi,\eta)</math>が<math>C^{\infty}(E)</math>-線形であるとは、通常の線形性を満たすのみならず関数{{mvar|f}}に対して<math>f\cdot \Omega( \xi,\eta)</math><math>=\Omega(f\cdot \xi,\eta)</math><math>=\Omega(\xi,f\cdot \eta)</math>を満たす事を指す<ref name="Tu49">[[#Tu]] p.49</ref>。<math>C^{\infty}(E)</math>-線形である事は、<math>\Omega(\xi,\eta)</math>の各点<math>e \in E</math>における値が{{mvar|ξ}}、{{mvar|η}}の点{{mvar|e}}における値{{mvar|ξ{{sub|e}}}}、{{mvar|η{{sub|e}}}}のみで決まること、すなわち{{mvar|Ω}}が各点における双線形写像のテンソル場とみなせる事と同値である事が知られている<ref>[[#Tu]]  p.56,58</ref>。}}{{refn|group="注"|name="曲率の符号"|[[#Kolar]]における曲率の定義はここに書いたものと符号が反対だが、[[#Kolar]] p.73.にあるように[[#Kolar]]の定義だと「通常の曲率と符号が反対」になるので、[[#Wendl5]] p.121の方の符号を採用した。}}。ここで<math>[\cdot,\cdot]</math>は{{仮リンク|リー括弧|en|Lie bracket of vector fields}}である。

よって{{mvar|Ω}}は双線形写像
: <math>\Omega~:~TE \times TE \to \mathcal{V}</math>
であるとみなせる<ref group="注" name="C∞-線形" />。
{{mvar|Ω}}をファイバーバンドル{{mvar|E}}の接続<math>\{V_e\}_{e\in E}</math>に関する'''曲率形式'''という<ref name="Wendl5-121">[[#Wendl5]] p.121.</ref>。
|note=ファイバーバンドルの曲率形式}}

なお、[[:en:Frölicher–Nijenhuis bracket|Frölicher–Nijenhuis bracket]]<math>[\cdot,\cdot]_{FN}</math>を用いると、曲率形式は
: <math>\Omega=-{1\over 2}[V,V]_{FN}=-{1\over 2}[H,H]_{FN}</math>
とも書き表せる<ref name="Kolar78" /><ref name="曲率の符号"  group="注"/>。
さらに曲率形式に対する下記の（第二）'''ビアンキ恒等式'''が成立する事も示せる<ref name="Kolar78" />
: <math>[V,\Omega]_{FN}=0</math>.

==== 曲率概念の可積分性による意味付け ====

曲率概念の意味付けをみるため、いくつかの概念を定義する。
<math>\pi~:~E\to M</math>を接続<math>\{\mathcal{H}_e\}_{e\in E}</math>が定義されたファイバーバンドルとし、{{mvar|∇}}をこの接続が定める共変微分とする。

{{mvar|s}}を{{mvar|M}}の開集合{{mvar|U}}上で定義された{{mvar|E}}の切断が{{mvar|U}}の任意の点{{mvar|u}}と{{mvar|u}}における{{mvar|U}}の任意の接ベクトル{{mvar|v}}に対し、
:<math>\nabla_v s= 0</math>
を満たすとき、{{mvar|s}}は'''平坦'''({{lang-en-short|flat}})であるという<ref>[[#Wendl5]] p.115.</ref>。

定義から明らかなように{{mvar|s}}が平坦であるとは、{{mvar|s}}を{{mvar|U}}から{{mvar|E}}への写像とみなしたとき、{{mvar|s}}が誘導する写像<math>s_*~:~TU\to TE</math>による{{mvar|TU}}の像が常に水平部分空間に属する事と同値である。

{{mvar|E}}の任意の点{{mvar|e}}に対し、{{mvar|e}}を通る{{mvar|E}}の平坦な切断が存在するとき、接続<math>\{\mathcal{H}_e\}_{e\in E}</math>は'''平坦'''であるという<ref>[[#Wendl5]] p.116.</ref>。

定義から明らかなように、接続<math>\{\mathcal{H}_e\}_{e\in E}</math>が平坦であるという事は、超平面の族<math>\{\mathcal{H}_e\}_{e\in E}</math>が'''[[フロベニウスの定理 (微分トポロジー)|可積分]]'''である事と同値である<ref>[[#Wendl5]] p.119.</ref>。

[[フロベニウスの定理 (微分トポロジー)|フロベニウスの定理]]を用いると、次が成立する事を証明できる：
{{math theorem|定理|
<math>\pi~:~E\to M</math>を接続<math>\{\mathcal{H}_e\}_{e\in E}</math>が定義されたファイバーバンドルとするとき、以下の3つは同値である<ref>[[#Wendl5]] pp.119,121.</ref>：
# <math>\{\mathcal{H}_e\}_{e\in E}</math>は平坦な接続である
# 超平面の族<math>\{\mathcal{H}_e\}_{e\in E}</math>は可積分である
# <math>\{\mathcal{H}_e\}_{e\in E}</math>の曲率形式{{mvar|Ω}}は恒等的に{{mvar|0}}に等しい。
|note=曲率と可積分性の関係{{Anchors|曲率と可積分性}}}}

したがって'''曲率形式は水平部分空間　<math>\{\mathcal{H}_e\}_{e\in E}</math>が可積分ではない度合いを表す量である'''。

==== 曲率概念のホロノミーによる意味づけ ====
これまで通り<math>\pi~:~E\to M</math>を接続<math>\{V_e\}_{e\in E}  </math>が定義されたファイバーバンドルとする。さらに<math>U \in \mathbb{R}^2</math>を<math>\mathbb{R}^2</math>の原点{{Mvar|O}}の[[近傍 (位相空間論)|開近傍]]とし、{{Mvar|U}}の元を成分で<math>(x^1,x^2)</math>と表し、<math>\varphi~:~U \to M</math>を埋め込みとし、<math>i=1,2</math>に対し、

: <math>\hat{\partial}_i:=\varphi_*(\partial_i)</math>、<math>\partial^*_i:=\mathrm{Lift}(\hat{\partial}_i)</math>

とする。<math>c(t) </math>を<math>\mathbb{R}^2
</math>上の以下のような閉曲線とする：<math>O \in \mathbb{R}^2</math>から<math>t
</math>だけ右に動き、<math>t
</math>だけ上に動き、<math>t
</math>だけ左に動き、<math>t
</math>だけ下に動く。

このとき<math>\varphi\circ c(t) </math>に沿って、<math>\varphi(O) 
</math>のファイバー<math>E_{\varphi(O)}
</math>の点{{Mvar|e}}を平行移動したものは、

: <math>e_{t} = \Phi_2^{-t}\circ\Phi_1^{-t}\circ\Phi_2^t\circ\Phi_1^t(e)  </math>  where <math>\Phi^t_i :=\exp(t\partial^*_i) </math>

に等しい。この<math> e_{t}  </math>を使って曲率形式を特徴づける事ができる：{{math theorem|定理|記号を上のように取る。このとき、<math>E_{\varphi(O)}
</math>を局所座標で表すと、その局所座標で定義される足し算に関して、

: <math>e_{t}=e - \Omega(\partial^*_1,\partial^*_2)t^2 + O(t^2)  </math>

が成立する。}}{{math proof|一般に、多様体{{Mvar|N}}上の2つのベクトル場{{Mvar|X{{sub|1}}}}、{{Mvar|X{{sub|2}}}}と{{Mvar|N}}上の関数{{Mvar|f}}に対し、<math>\Psi^t_i :=\exp(tX_i) </math>とすると、点<math>a \in N</math>の局所座標<math>(y^1,\ldots,y^n)</math>で

: <math>f(\Psi_2^{-t}\circ\Psi_1^{-t}\circ\Psi_2^t\circ\Psi_1^t(a)) = f(a) + t^2[X_1,X_2]|_a f(a) + o(t^2) </math>

が成立する事が知られている<ref>[[#Prasolov]] p.201.</ref>。上記の定理を{{Mvar|N}}が{{Mvar|P}}、{{Mvar|a}}が{{Mvar|e}}、{{Mvar|X{{sub|i}}}}が<math>\partial^*_i</math>、{{Mvar|f}}が点{{Mvar|y}}にその第{{Mvar|i}}座標{{Mvar|y{{sup|i}}}}を対応させる関数である場合に適用する事で、

: <math>\Psi_2^{-t}\circ\Psi_1^{-t}\circ\Psi_2^t\circ\Psi_1^t(e)
 = e + t^2[\partial^*_1,\partial^*_2]|_e + o(t^2)  </math>

が成立する。一般に{{Mvar|M}}上のベクトル場{{Mvar|X}}、{{Mvar|Y}}に対し、

: <math>\mathrm{Lift}([X,Y]) =H([\mathrm{Lift}(X),\mathrm{Lift}(X)]) </math>

である事が知られているので<ref>[[#Wendl3]] p.120.</ref>、

: <math>H([\partial^*_1,\partial^*_2])
=H(\mathrm{Lift}(\partial_1),\mathrm{Lift}(\partial_2))
=\mathrm{Lift}([\partial_1,\partial_2]) 
=0 </math>

であり、したがって、

: <math>[\partial^*_1,\partial^*_2]
= V([\partial^*_1,\partial^*_2])
=V([H(\partial^*_1),H(\partial^*_2)])
=-\Omega(\partial^*_1,\partial^*_2)</math>

であるので定理が証明された。|drop=yes}}

==== 成分表示 ====
[[接続 (ファイバー束)#クリストッフェル写像の節|クリストッフェル写像の節]]と同様に、{{Mvar|E}}の元が{{Mvar|M}}の局所座標<math>(x^1,\ldots,x^m)</math>および{{Mvar|E}}の垂直方向の局所座標<math>(y^1,\ldots,y^n)</math>の組<math>((x^1,\ldots,x^m),(y^1,\ldots,y^n)) </math>で書き表されているとし、<math>e \in E</math>に対し、
曲率を
: <math>\Omega_e\left({\partial \over \partial x^k},{\partial \over \partial x^{\ell}}\right)
 = \Omega^i{}_{k\ell}(e){\partial \over \partial y^i} </math>

と成分表示する。さらに[[接続 (ファイバー束)#クリストッフェル写像の節|クリストッフェル写像の節]]と同様、<math>e \in E</math>における水平リフトを
: <math>\mathrm{Lift}_e\left({\partial \over \partial x^k}\right)={\partial \over \partial x^k} - \Gamma^i{}_k(e) {\partial \over \partial y^i} </math>

と書く。


{{math theorem|定理|記号を上述のように取る。このとき曲率は
: <math>\Omega^i{}_{k\ell}={\partial \Gamma_{\ell}{}^i \over \partial x^k}
-
{\partial \Gamma^i{}_k \over \partial x^{\ell}}
+ {\partial \Gamma^i{}_{k} \over \partial y^s}\Gamma^{s}{}_{\ell}
- {\partial \Gamma^i{}_{\ell} \over \partial y^s}\Gamma^{s}{}_{k}
</math>
と成分表示できる<ref>[[#Epstein]] p.99.なお、[[#Epstein]]は本項と曲率の符号の規約が反対なので、[[#Epstein]]のものにマイナスをつけたものを本稿に記載した。</ref>。}}

=== ホロノミー群 ===

本節では特に断りのない限り、<math>\pi~:~E \to M</math>を'''完備な'''接続<math>\mathcal{H}=\{\mathcal{H}_e\}_{e\in E}</math>が定義されたファイバーバンドルで{{mvar|M}}が[[連結空間|連結]]なものとする。
==== 定義 ====

<math>x_0\in M</math>を{{mvar|M}}の点とし、<math>c(t)\in M</math>を{{mvar|x{{sub|0}}}}から{{mvar|x{{sub|0}}}}自身への区分的になめらかな閉曲線とすると、接続が完備なので{{mvar|x{{sub|0}}}}のファイバー<math>E_{x_0}</math>の任意の元{{mvar|e}}に対し、{{mvar|e}}を<math>c(t)\in M</math>に沿って一周平行移動してできた元を<math>\varphi_c(e) \in E_{x_0}</math>とする事で、<math>E_{x_0}</math>上の可微分同相写像
: <math>\varphi_{c}~:~E_{x_0} \to E_{x_0}</math>
を定義できる。
{{math theorem|定理・定義|
: <math>\mathrm{Hol}(E,\mathcal{H},x_0):=\{\varphi_c\mid c</math>は{{Mvar|x{{sub|0}}}}から出て{{Mvar|P}}自身への区分的になめらかな閉曲線<math>\}</math>
は閉曲線の連結に関して自然に群構造をなす。この群を{{mvar|E}}の<math>\mathcal{H}</math>に関する{{Mvar|x{{sub|0}}}}における'''ホロノミー群'''（{{Lang-en-short|holonomy group}}）という<ref name="Kolar82">[[#Kolar]] pp.82-83.</ref>。
|note=ホロノミー群}}
さらに以下を定義する：
{{math theorem|定理・定義|
: <math>\mathrm{Hol}_0(E,\mathcal{H},x_0):=\{\varphi_c\mid c</math>は{{Mvar|x{{sub|0}}}}から出て{{Mvar|x{{sub|0}}}}自身へと戻る区分的になめらかな閉曲線で{{Mvar|M}}上0-ホモトープなもの<math>\}</math>
とすると、<math>\mathrm{Hol}_0(E,\mathcal{H},x_0)</math>は<math>\mathrm{Hol}(E,\mathcal{H},x_0)</math>の部分群をなす。<math>\mathrm{Hol}_0(E,\mathcal{H},x_0)</math>を{{Mvar|P}}における{{Mvar|E}}の<math>\mathcal{H}</math>に関する'''制約ホロノミー群'''（{{Lang-en-short|restricted holonomy group}}）という<ref name="Kolar82" />。
|note=制約ホロノミー群}}

{{mvar|M}}が連結である事から（制約）ホロノミー群の群構造は{{mvar|x{{sub|0}}}}によらないので、紛れがなければ<math>\mathrm{Hol}(E,\mathcal{H},x_0)</math>、<math>\mathrm{Hol}_0(E,\mathcal{H},x_0)</math>を単に<math>\mathrm{Hol}(E,\mathcal{H})</math>、<math>\mathrm{Hol}_0(E,\mathcal{H})</math>と書く。

==== ホロノミーリー代数 ====
<math>u \in M</math>における接ベクトル<math>v \in T_uM </math>に対し、<math> e \in E_u</math>に<math>v</math>の''{{mvar|e}}''での水平リフトを対応させる

: <math> e \in E_{u} \mapsto \mathrm{Lift}_e(v) \in \mathcal{H}_e \subset T_eE</math>

をファイバー<math>E_{u}</math>上の切断とみなしたものを<math>\mathrm{Lift}(v_u) </math>と書く。

2つのベクトル<math>v_u,w_u \in T_u M </math>に対し、<math>\mathrm{Lift}(v_u) </math>、<math>\mathrm{Lift}(w_u) </math>はいずれも<math>E_{u}</math>上のベクトル場なので、曲率形式''{{mvar|Ω}}''に対して、

: <math>\Omega(\mathrm{Lift}(v_u),\mathrm{Lift}(w_u)) \in VE =T E_{u}</math>

を定義でき、これは<math>E_{u}</math>上のベクトル場とみなせる。さらに<math>u_0 \in M</math>をfixし、''{{Mvar|u}}''から<math>u_0</math>までつなぐ曲線<math>c(t)</math>に沿って<math>\Omega(\mathrm{Lift}(v_u),\mathrm{Lift}(w_u)) </math>を平行移動したものを<math>\Omega_{c}(\mathrm{Lift}(v_u),\mathrm{Lift}(w_u)) </math>と書く。{{math theorem|定理・定義|<math>E_{u_0}</math>上のベクトル場全体の集合<math>\mathfrak{X}(E_{u_0})</math>を{{仮リンク|リー括弧|en|Lie bracket}}に関する「無限次元リー代数」とみなしたとき、
:<math>\{\Omega_c(\mathrm{Lift}(v_u),\mathrm{Lift}(w_u))|x \in M,v,w \in T_{u}M, c</math>は{{mvar|x}}から{{mvar|x{{sub|0}}}}までつなぐ{{mvar|M}}上の曲線<math>\}</math>
を含む最小の（{{mvar|C{{sup|∞}}}}-位相に関する）閉部分線形空間
を
: <math>\mathrm{hol}(E,\mathcal{H},x_0)</math>
と書くとき、<math>\mathrm{hol}(E,\mathcal{H},x_0)</math>は<math>\mathfrak{X}(E_{x_0})</math>の部分リー代数になっている。

<math>\mathrm{hol}(E,\mathcal{H},x_0)</math>を'''ホロノミーリー代数'''（{{lang-en-short|holonomy Lie algebra}}）という<ref name="Kolar82" />。}}実は以下の定理が成立する。なお、以下の定理は主バンドルに対する[[:en:Holonomy#Ambrose–Singer theorem|Ambrose–Singerの定理]]を任意のファイバーバンドルに一般化したものである：{{math theorem|定理|ホロノミーリー代数<math>\mathrm{hol}(E,\mathcal{H},x_0)</math>が有限次元であれば、以下が成立する：
* ホロノミー群<math>G:=\mathrm{Hol}(E,\mathcal{H},x_0)</math>は<math>\mathrm{hol}(E,\mathcal{H},x_0)</math>をリー代数として持つリー群である<ref name="Kolar82" />。
* ある{{mvar|G}}-主バンドル<math>\pi'~:~P \to M</math>、および{{mvar|G}}のファイバー<math>E_{x_0}</math>への作用が一意に存在し、<math>\pi'~:~P \to M</math>と<math>E_{x_0}</math>への{{mvar|G}}作用を使って作った<math>E_{x_0}</math>バンドルは<math>\pi~:~E \to M</math>と同型である<ref name="Kolar82" />。
* 主バンドル<math>\pi'~:~P \to M</math>には主バンドルとしての接続（[[#主接続の定義|詳細次章]]）が一意に存在し、この接続が上述の<math>E_{x_0}</math>バンドルに[[#接続の誘導|誘導する接続]]は<math>\pi~:~E \to M</math>との接続と同一である<ref name="Kolar82" />。
|note=Ambrose-Singerの定理の一般化{{Anchors|Ambrose-Singerの一般化}}}}

===クリストッフェル形式===
<math>\pi~:~E \to M</math>をファイバー空間{{mvar|F}}を持つファイバーバンドル、<math>\{V_e\}_{e\in E}</math>をその上の接続とし、{{mvar|M}}の点{{mvar|x{{sub|0}}}}と{{mvar|x{{sub|0}}}}の近傍{{mvar|V}}に対し、<math>\pi^{-1}(V)</math>の局所座標を
<math>\pi^{-1}(V) \overset{\sim}{\to} U \times F</math>とする。ここで{{mvar|U}}は<math>\mathbb{R}^m</math>の開集合である。以下、紛れがなければ<math>\pi^{-1}(V)</math>とその局所座標<math>U \times F</math>を同一視する。

{{math theorem|定理・定義|記号を上述のように取るとき、
<math>(x,a)\in U \times F</math>における接空間<math>T_{x,a}(U \times F)\approx T_xU \times T_aF</math>の元<math>(\xi_x,\eta_a)\in T_xU \times T_aF</math>に対し、
: <math>V_{(x,a)}(\xi_x,\eta_a)=(0,\Gamma_a(\xi_x)+\eta_a) \in T_xU \times T_aF</math>
と書ける<math>\Gamma_a(\xi_x)\in T_aF</math>が存在する。

{{mvar|F}}の点{{mvar|a}}に<math>\Gamma_a(\xi_x)\in T_aF</math>を対応させる{{mvar|F}}上のベクトル場を<math>\Gamma(\xi_x)</math>と書く。

<math>\Gamma</math>は{{mvar|ξ{{sub|x}}}}に{{mvar|F}}上のベクトル場の集合<math>\mathfrak{X}(F)</math>の元を対応させる<math>\mathfrak{X}(F)</math>値1-形式とみなせるので、<math>\Gamma</math>を接続<math>\{V_e\}_{e\in E}</math>の座標近傍<math>U \times F</math>に関する'''クリストッフェル形式'''（{{lang-en-short|Christoffel form}}）という{{refn|name="Kolar79"|[[#Kolar]] p.79.}}{{refn|group="注"|ここに述べたものは[[#Kolar]] p.79.とクリストッフェル形式の符号が反対になっているが、これは前述<ref group="注" name="曲率の符号" />のように[[#Kolar]]とは曲率の符号の規約が反対である為である。}}。
}}

クリストッフェル形式を使うと曲率が以下のように書ける：
{{math theorem|上述の記号の元、曲率{{mvar|Ω}}は局所座標<math>\pi^{-1}(V) \overset{\sim}{\to} U \times F</math>において以下を満たす<ref name="Kolar79" />{{refn|group="注"|[[#Kolar]]では下式右辺第二項の<math>\tfrac{1}{2}</math>はついていないが[[#Kolar]]の誤りと判断して<math>\tfrac{1}{2}</math>をつけた。誤りだと判断したのは前述<ref group="注" name="Kolarのミス" />のように、[[#Kolar]]は曲率形式の式でも<math>\tfrac{1}{2}</math>をつけ忘れており、曲率形式の式の局所座標版に相当するこの式でも同じく<math>\tfrac{1}{2}</math>が必要だと思われるためである。}}：
: <math>\Omega = d\Gamma + {1 \over 2}[\Gamma,\Gamma]</math>
ここで<math>[\Gamma,\Gamma](\xi,\zeta):=[\Gamma(\xi),\Gamma(\zeta)]</math>であり、<math>[\cdot,\cdot]</math>はリー括弧である。
}}

上述の定理はあくまで局所座標で成立するものに過ぎないが、後述する主バンドルの接続の場合は局所座標ではなく手バンドル自身の上で同種の定理が成り立つことを後で示す。

===接続の引き戻し===
<math>\pi~:~E \to M</math>を接続<math>\{V_e\}_{e\in E}</math>が定義されたファイバーバンドルとし、<math>f~:~N \to M</math>を多様体{{mvar|N}}から{{mvar|M}}へのなめらかな写像とすると、ファイバーバンドルの[[:en:pullback bundle|引き戻し]]
: <math>
\begin{array}{ccc}
f^*E & \overset{\tilde{f}}{\to}& E\\
\downarrow  \pi' &\circlearrowright & \downarrow \pi\\
N  &\overset{f}{\to}&M
\end{array}
</math>
が定義できる。

{{math theorem|定義|
{{mvar|f{{sup|*}}E}}上の点<math>e \in f^*E</math>に対し、垂直射影{{mvar|V'{{sub|e}}}}を合成関数
: <math>T_ef^*E \overset{\tilde{f}_*}{\longrightarrow} T_{\tilde{f}(e)}E \overset{V_{\tilde{f}(e)}}{\longrightarrow} \mathcal{V}_{\tilde{f}(e)} \overset{\tilde{f}_*{}^{-1}}{\longrightarrow}\mathcal{V}'_{e}</math>
により定義する事で引き戻し<math>\pi'~:~f^*E \to N</math>に接続<math>\{V_e\}_{e \in f^*E}</math>を定義できる。ここで<math>\mathcal{V}_{\tilde{f}(e)}</math>、<math>\mathcal{V}'_{e}</math>はそれぞれ<math>\pi'~:~f^*E \to N</math>、<math>\pi~:~E \to M</math>の垂直部分空間である。

接続<math>\{V_e\}_{e \in f^*E}</math>を<math>\pi~:~E \to M</math>の接続<math>\{V_e\}_{e\in E}</math>の'''引き戻し'''（{{lang-en-short|pullback}}）という{{refn|name="Kolar78"|[[#Kolar]] p.78.}}。
}}

曲率は引き戻しに対して自然に振る舞う：
{{math theorem|定理|上述の記号の元、{{mvar|Ω}}を<math>\pi~:~E \to M</math>上の接続<math>\{V_e\}_{e\in E}</math>の曲率とし、{{mvar|Ω'}}を引き戻し<math>\pi'~:~f^*E \to N</math>上の引き戻された接続<math>\{V'_e\}_{e\in E}</math>の曲率とする。このとき以下が成立する<ref name="Kolar78" />：
: <math>\Omega'=f^*(\Omega)</math>
}}


一方、接続に関する他の諸概念、例えば水平リフトは引き戻しに関して自然に振る舞う'''とは限らない'''。実際<math>f~:~N \to M</math>が{{mvar|N}}を一点に潰す写像であれば、{{mvar|TN}}の像は全て{{mvar|0}}ベクトルであるので、<math>f_*</math>で写像してから水平リフトするのと水平リフトしてから<math>\tilde{f}_*</math>で写像したのでは結果が異なる。

水平リフトは引き戻しに関して自然に振る舞う条件は微分がfull rankになる事で、<math>f_*</math>が点<math>x \in N</math>においてfull rankであれば、{{mvar|T{{sub|x}}N}}の元を<math>f_*</math>で写像してから水平リフトするのと水平リフトしてから<math>\tilde{f}_*</math>で写像したのは結果が等しくなる。

== 主バンドルの接続{{Anchors|主接続の節}} ==

本節では主バンドルの接続を定義する。

=== 定義 ===

主バンドルの接続は、ファイバーバンドルの接続で[[群作用]]に対して不変になるものである：
{{math theorem|定義|
{{mvar|G}}をリー群とし、<math>\pi~:~P \to M</math>を構造群{{mvar|G}}を持つ主バンドルとする。<math>\pi~:~\mathcal{P} \to M</math>の{{mvar|C{{sup|∞}}}}級の（主バンドルとしての）'''接続'''({{lang-en-short|connection}})あるいは'''主接続'''（{{lang-en-short|principal connection}}）<math>\{\mathcal{H}_p\}_{p\in P}</math>とは、{{mvar|P}}の各点{{mvar|p}}における{{mvar|T{{sub|p}}M}}の部分空間<math>\mathcal{H}_p</math>の[[族 (数学)|族]]で{{mvar|p}}に関して{{mvar|C{{sup|∞}}}}級であり<ref group="注" name="HのC∞級に関して" />、任意の<math>p \in P</math>に対し以下の性質を満たすものである<ref>[[#Wendl3]] p.89.</ref>：
* <math>T_p P = \mathcal{V}_p \oplus \mathcal{H}_p</math>
* 任意の<math>g\in G</math>に対し、<math>(R_g)_*(\mathcal{H}_{p})=\mathcal{H}_{pg} </math>
|note=主接続の定義{{Anchors|主接続の定義}}}}
ここで<math>\mathcal{V}_p</math>は'''垂直部分空間'''<math>\mathcal{V}_p:=\pi_*{}^{-1}(T_{\pi(p)}M) \subset T_pP</math>であり、<math>(R_g)_*</math>は<math>g\in G</math>の{{mvar|P}}への右からの作用<math>R_g ~:~p \in P \to pg \in P</math>が{{mvar|TP}}に誘導する写像である。<math>\mathcal{H}_p</math>を{{mvar|p}}における'''水平部分空間'''という。


一般のファイバーバンドルの接続の場合と同様、垂直射影<math>\{V_p\}_{p \in P}</math>を用いて接続概念を定義することも可能で、
* 任意の<math>p \in P</math>に対し、<math>V_p|_{\mathcal{V}_p}=\mathrm{id}</math>
* 任意の<math>p \in P</math>、<math>g \in G</math>に対し、<math>(R_g)_* \circ V_p = V_{pg}\circ (R_g)_*</math>
により接続概念を定義づけられる。

しかし次節に見るようにリー群・リー代数対応に着目する事で、リー代数の言葉を使った定式化も可能である。

=== リー代数を使った定式化{{Anchors|主接続のリー代数による定式化}} ===
本節では、前節で定義した主バンドルの接続概念をリー代数を使って特徴づける。

そのためにまず、定義のために必要な概念を導入する。

====基本ベクトル場====
{{mvar|G}}をリー群とし、<math>\mathfrak{g}</math>をそのリー代数とし、さらに{{mvar|N}}を{{mvar|G}}が右から作用する多様体（例えば{{mvar|G}}-主バンドル<math>\pi~:~P \to M</math>の全空間{{mvar|P}}）とする。

{{math theorem|定義|
リー代数の元<math>A \in \mathfrak{g}</math>と点<math>p\in N</math>に対し、
: <math>\underline{A}_p:=\left.\frac{d}{dt}(p\cdot \mathrm{exp}(tA))\right|_{t=0}\in  T_p N</math>
により、{{mvar|N}}上のベクトル場<math>\underline{A}</math>を定義する。<math>\underline{A}</math>を{{mvar|A}}に対応する{{mvar|N}}の'''{{仮リンク|基本ベクトル場|en|fundamental vector field}}'''（{{lang-en-short|fundamental vector field on {{mvar|N}} associated to {{mvar|A}}}}）という{{refn|[[#Tu]] p.247.}}{{refn|[[#Wendl3]] p.89.}}。
|note=基本ベクトル場{{Anchors|基本ベクトル場}}}}

なお、{{mvar|N}}が{{mvar|G}}-主バンドル<math>\pi~:~P \to M</math>の全空間{{mvar|P}}の場合には<math>\underline{A}_p</math>は垂直部分空間<math>\mathcal{V}_p</math>の元である事が容易に示せる。

==== 随伴表現 ====
{{math theorem|定義|{{mvar|G}}をリー群とし<math>\mathfrak{g}</math>をそのリー代数とする。このとき、{{mvar|G}}の線形表現
: <math>\mathrm{Ad}~:~ G \to \mathrm{GL}(\mathfrak{g}) </math>
を<math>g \in G</math>に対し、
: <math>\mathrm{Ad}(g)~:~\tfrac{dh}{dt}(0) \in \mathfrak{g} \mapsto \left. \tfrac{d}{dt}gh(t)g^{-1}\right|_{t=0}  \in \mathfrak{g}</math>
により定義し、{{math|Ad}}を{{mvar|G}}の'''[[随伴表現]]'''（{{lang-en-short|adjoint representation}}）という<ref>[[#Tu]] p.123.</ref>。
|note=リー群の随伴表現}}ここで<math>\mathrm{GL}(\mathfrak{g})</math>は<math>\mathfrak{g}</math>上の線形同型全体のなすリー群である。随伴表現の定義は<math>h(t)</math>の取り方によらずwell-defninedである。

====定式化====

基本ベクトル場の定義より明らかに各<math>p \in P</math>に対し、写像
: <math>\zeta_p~:~A\in \mathfrak{g} \mapsto \underline{A}_p \in \mathcal{V}_p</math>
は全単射であるので、{{mvar|ζ{{sub|p}}}}の写像の逆写像を垂直射影と合成する事で、
: <math>T_p P \underset{V_p}{\to} \mathcal{V}_p \underset{\zeta_p{}^{-1}}{\overset{\sim}{\to}} \mathfrak{g}</math>
作る事ができる。この写像を<math>\mathfrak{g}</math>に値を取る1-形式とみなしたものを
:<math>\omega_p \in \mathcal{A}^1_p(P;\mathfrak{g})</math>
とし、各点{{mvar|p}}に{{mvar|ω{{sub|p}}}}を対応させる{{mvar|P}}上の<math>\mathfrak{g}</math>値1-形式の場{{mvar|ω}}を'''接続形式'''（{{lang-en-short|connection form}}）という{{refn|[[#Kolar]] p.100.}}。ここで<math>\mathcal{A}^1_p(P;\mathfrak{g})  </math>は{{mvar|P}}上の<math>\mathfrak{g}</math>値1-形式全体の集合である。

以上の議論から明らかに垂直射影から{{mvar|ω}}が定まり、逆に{{mvar|ω}}から垂直射影が定まるので{{mvar|ω}}によって接続概念を定式化できる：

{{math theorem|定義・定理|
{{mvar|M}}を多様体、{{mvar|G}}をリー群とし、<math>\mathfrak{g}</math>を{{mvar|G}}のリー代数とし、さらに<math>P</math>を{{mvar|M}}上の{{mvar|G}}-主バンドルとする。<math>P</math>上定義された<math>\mathfrak{g}</math>-値の{{mvar|1}}-形式の{{mvar|C{{sup|∞}}}}級の[[テンソル場|場]]
: <math>\omega~:~TP \to \mathfrak{g}</math>
で以下を満たすものを<math>P</math>の'''接続形式'''という<ref>[[#Tu]] pp.255-256</ref><ref>[[#小林]] p.61.</ref><ref>[[#Wendl3]] p.90.なお本文献のみ「<math>(R_g)^*\omega_{p}</math>」ではなく「<math>(R_g)_*\omega_{p}</math>」になっているが、前後関係から「<math>(R_g)^*\omega_{p}</math>」の誤記と判断。</ref>：
# 任意の<math>A \in \mathfrak{g}</math>、<math>p \in P</math>に対し、<math>\omega_{p}(\underline{A}_{p})=A</math>
# 任意の<math>g\in G</math>、<math>p \in P</math>に対し、<math>(R_g)^*\omega_{p}  = (\mathrm{Ad}g^{-1})\omega_{p}</math>
|note=接続形式}}

主バンドルとしての接続から前述の方法で{{mvar|P}}の接続形式が定まり、逆に接続形式{{mvar|ω}}が{{mvar|0}}になる方向を水平方向とすることで{{mvar|P}}に主バンドルとしての接続が再現できるので、両者の定義は同値である。

===諸概念===
本節では主バンドルの接続に関する諸概念を接続形式を使って表現する。

====共変微分====

接続が定義された主バンドル<math>\pi~:~P \to M</math>において、切断{{mvar|s}}の共変微分は
: <math>\nabla_X s|_u:= V_{s(u)}(s_*(X_u))</math>
により定義されていた。一方[[#主接続の定義|主接続]]の接続形式{{mvar|ω}}は垂直射影<math>V_{s(x)}</math>を基本ベクトル場を考えてリー代数と対応付ける事で定義されていた。よって次が成立する：{{math theorem|定理|
: <math>\zeta_{s(u)}{}^{-1}(\nabla_X s|_{u}) = \omega_{s_u}(s_*(X_u)) </math>
|note=共変微分の具体的表記{{Anchors|主バンドルの共変微分}}}}ここで

: <math>\zeta_p~:~A\in \mathfrak{g} \mapsto \underline{A}_p \in \mathcal{V}_p</math> for <math>p \in P</math>

である。

====曲率{{Anchors|主接続の曲率の節}}====

本節では、上記で定義したリー代数による接続の記述を使って曲率形式をリー代数の言葉で書き換える。

そのために<math>\mathfrak{g}</math>-値1-形式''{{Mvar|α}}''、''{{Mvar|β}}''に対し、
:<math>[\alpha,\beta]_{\mathfrak{g}}(X,Y) := [\alpha(X),\beta(Y)]_{\mathfrak{g}}-[\alpha(Y),\beta(X)]_{\mathfrak{g}}</math>
と定義する。ここで<math>[\cdot,\cdot]</math>は<math>\mathfrak{g}</math>上のリー括弧である。さらに前節同様
: <math>\zeta_p~:~ \mathfrak{g} {\overset{\sim}{\to}} \mathcal{V}_p</math>
を考える。紛れがなければ添字{{mvar|p}}を省略し単に{{mvar|ζ}}と書く。

{{math theorem|定理|
{{mvar|M}}を多様体、{{mvar|G}}をリー群とし、<math>\mathfrak{g}</math>を{{mvar|G}}のリー代数とし、さらに<math>P</math>を{{mvar|M}}上の{{mvar|G}}-主バンドルとし、{{mvar|ω}}を{{mvar|P}}の主バンドルとしての接続とする。このとき曲率形式{{mvar|Ω}}は以下を満たす{{refn|[[#Tu]] p.270}}{{refn|name="森田302"|[[#森田]] p.302.}}<ref name="Kolar100-101" />{{refn|group="注"|name="Kolarのミス"|[[#Kolar]] p.100-101.のみ右辺第二項は<math>\tfrac{1}{2}[\omega,\omega]_{\wedge}=[\omega,\omega]</math>となっているが、これは[[#Kolar]]の間違いであると判断した。実際[[#Kolar]] p.100の一番下にある<math>[\cdot,\cdot]_{\wedge}</math>の定義式に<math>p=q=1</math>を代入すると<math>[\omega,\omega]_{\wedge}=[\omega,\omega]</math>となり、<math>\tfrac{1}{2}[\omega,\omega]_{\wedge}=[\omega,\omega]</math>とはならない。またこの[[#Kolar]] p.100の一番下の係数<math>\tfrac{1}{p!q!}</math>は[[#森田]]の1巻のp.95.では<math>\tfrac{1}{(p+q)!}</math>になっているため、[[#Kolar]]が<math>[\cdot,\cdot]_{\wedge}</math>の定義式を間違えた可能性が高い。[[#Tu]] p.285も参照。}}：
* （'''構造方程式'''<ref name="森田302" />）<math>\zeta{}^{-1}(\Omega) = d\omega + {1 \over 2}[\omega,\omega]_{\mathfrak{g}} \in \mathfrak{g}</math>

紛れがなければ<math>\zeta{}^{-1}(\Omega)</math>を単に{{mvar|Ω}}と書き、接続形式{{mvar|ω}}の'''曲率形式'''という。
|note=主バンドルの接続の曲率}}曲率形式は次を満たす：{{math theorem|定理|次が成立する<ref>[[#Tu]] p.271.</ref>：
* 任意の<math>p \in P</math>に対し、<math>\Omega_p=H_p{}^*(d\omega_p)</math>
* 任意の<math>g \in G</math>、<math>p \in P</math>に対し、<math>(R_g)^*\Omega_p = \mathrm{Ad}(g^{-1})\Omega_p</math>
*（''' (第二)ビアンキ恒等式'''） <math>d\Omega=[\Omega,\omega]</math>|note=曲率の性質{{Anchors|曲率の性質}}}}ここで{{Mvar|H{{sub|p}}}}は水平部分空間への射影である。

===モーレー・カルタン形式===

接続形式の意味を見るため、リー群のモーレー・カルタン形式を定義する。

{{math theorem|定義|
{{mvar|G}}をリー群とし、<math>\mathfrak{g}</math>をそのリー代数とするとき、{{mvar|G}}の各点{{mvar|g}}に対し{{mvar|G}}上の<math>\mathfrak{g}</math>値1-形式<math>\mu_g</math>を
: <math>\mu_g~:v\in ~T_gG \mapsto L_{g^{-1}}{}_*(v) \in \mathfrak{g}</math>
により定義し、{{mvar|μ{{sub|g}}}}を{{mvar|G}}の{{mvar|g}}における'''モーレー・カルタン形式'''という{{refn|name="Tu198"|[[#Tu]] p.198.}}{{refn|group="注"|この定義では<math>\mathfrak{g}=T_eG</math>という同一視を用いている。ここで{{mvar|e}}は{{mvar|G}}の単位元である。}}。

ここで<math>L_{g^{-1}}{}_*</math>は群の左作用<math>L_{g^{-1}}~:~h\in G~~ \mapsto g^{-1}h</math>が誘導する写像である。
|note=[[モーレー・カルタン形式]]}}

モーレー・カルタン形式は以下を満たす<ref name="Tu198">[[#Tu]] p.198.</ref>：
{{math theorem|定理|
* <math>(R_g)^*\mu = \mathrm{Ad}(g^{-1})\mu</math>
* <math>d\mu + {1 \over 2}[\mu,\mu]_{\mathfrak{g}}=0</math>
}}
上記の2式のうち下のものを'''モーレー・カルタンの方程式'''{{refn|{{cite web|url=https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/lecture/ln1997/cho97.pdf|accessdate=2023/06/27|title=中央大学大学院理工学研究科 数学特別講義第三 微分形式の可積分性|page=50}}}}（{{lang-en-short|Maurer-Cartan equation}}）、もしくはリー群{{mvar|G}}の'''構造方程式'''{{refn|[[#小林]] p.59.}}（{{lang-en-short|structure equation}}）という。


一点集合<math>\{x_0\}</math>を{{mvar|0}}次元多様体とみなし、{{mvar|G}}を<math>\{x_0\}</math>上の{{mvar|G}}-主バンドル<math>G \to \{x_0\}</math>とみなすと、上記の定理から明らかにモーレー・カルタン形式はこのバンドル上の接続となる。

構造方程式から以下が明らかに従う：
{{math theorem|定理|
モーレー・カルタン形式を{{mvar|G}}-主バンドル<math>G \to \{x_0\}</math>の接続とみなしたとき、この接続の曲率は{{mvar|0}}である。
}}
曲率が{{mvar|0}}である事は[[#曲率と可積分性|水平部分空間が可積分である事と同値]]であったので、水平部分空間が自明になる一点上のバンドルでは曲率が{{mvar|0}}になるのは自明である。


実は以下が成立する：
{{math theorem|定理|
モーレー・カルタン形式は一点集合上の{{mvar|G}}-主バンドル<math>G \to \{x_0\}</math>の'''唯一の'''接続である{{refn|[[#Sontz]] p.132.}}。
}}

実際、底空間が一点である事から
<math>T_g G</math>と<math>\mathcal{V}_g</math>は同次元なので垂直射影は恒等写像しか存在せず、しかも基本ベクトル場の定義から<math>g \in G</math>と<math>A \in \mathfrak{g}</math>に対し、
: <math>\underline{A}_g:=\left.\frac{d}{dt}(g\cdot \mathrm{exp}(tA))\right|_{t=0} = (L_g)_*(A)=\mu_g{}^{-1}(A)</math>
であるので、<math>G \to \{x_0\}</math>上の接続は
:<math>
T_g G  =  \mathcal{V}_g \overset{\mu_g}{\to} \mathfrak{g}
</math>
のみになる。


以上のことから接続形式{{mvar|ω}}が定義された{{mvar|G}}-主バンドル<math>\pi~:~P \to M</math>に対し、{{mvar|ω}}を{{mvar|M}}上の一点{{mvar|x{{sub|0}}}}のファイバー<math>P_{x_0}=\pi^{-1}(x_0)</math>（すなわちこの接続の垂直方向）に制限したものは必ずモーレー・カルタン形式{{mvar|μ}}に一致する。


実は次が成立する：
{{math theorem|定理|<math>\pi~:~P \to M</math>を{{mvar|G}}-主バンドルとし、{{mvar|ω}}を{{mvar|P}}上定義された微分形式のなめらかな場とする。さらに各<math>x_0\in M</math>に対し、<math>\iota_{x_0}~:~G \overset{\sim}{\to} P_{x_0}</math>を自然な同一視とする。
このとき、以下の2つは同値である：
* {{mvar|ω}}は接続形式の定義の1つ目の条件をみたす。すなわち、任意の<math>A \in \mathfrak{g}</math>、<math>p \in P</math>に対し、<math>\omega_{p}(\underline{A}_{p})=A</math>
* 任意の<math>x_0\in M</math>に対し、<math>\iota_{x_0}{}^*(\omega)=\mu</math>
ここで{{mvar|μ}}はモーレー・カルタン形式である。
}}

以上のことから、接続形式とは、各ファイバー上ではモーレー・カルタン形式に一致し、しかも{{mvar|G}}の作用との両立性<math>(R_g)^*\omega_{p}  = (\mathrm{Ad}g^{-1})\omega_{p}</math>をみたすものとして特徴づけられる。

===平行移動===
主バンドルの接続の場合、平行移動は以下を満たす：
{{math theorem|定理|主バンドルの接続は常に完備である。

すなわち、主バンドル<math>\pi~:~P \to M</math>の底空間{{mvar|M}}上の任意の曲線<math>x(t)</math>と<math>x(t)</math>の始点<math>x(0)</math>のファイバー<math>P_{x(0)}</math>の元{{mvar|p}}に対し、{{mvar|p}}の<math>x(t)</math>に沿った平行移動が常に定義可能である{{refn|[[#森田]] p.298}}。
}}
{{math theorem|定理|平行移動は{{mvar|G}}の作用と可換である。

すなわち、<math>\pi~:~P \to M</math>を接続が定義された{{mvar|G}}-主バンドルとし、<math>x(t)</math>を底空間{{mvar|M}}上の曲線とし、<math>x(t)</math>の一点<math>x(0)</math>のファイバーの元<math>p\in P_{x(0)}</math>に<math>x(t)</math>に沿って平行移動した結果<math>p'\in P_{x(1)}</math>を対応させる写像を
: <math>\varphi~:~p\in P_{x(0)} \mapsto p'\in P_{x(1)}</math>
とすると、
: <math>\varphi(pg)=\varphi(p)g</math>
が任意の<math>p \in P_{x(0)}</math>、<math>g\in G</math>に対して成立する{{refn|[[#Wendl3]] p.88}}。
}}
よって特に以下が成立する：
{{math theorem|系|
記号を上述の定理のように取る。{{math|''x''(0)}}、{{math|''x''(1)}}の周りに局所座標を取り、局所座標で<math>P_{x(0)}\approx G</math>、<math>P_{x(1)}\approx G</math>と表す事で<math>\varphi</math>を{{mvar|G}}上の自己同型とみなすと、
: <math>\varphi(g)=h_{\varphi}g</math>
と書ける<math>h_{\varphi} \in G</math>が存在する。}}
実際、<math>h_{\varphi}=\varphi(e)</math>とすれば上の系が成立する。ここで{{mvar|e}}は{{mvar|G}}の単位元である。

=== ベクトル値を取る微分形式 ===
本節では主バンドル{{mvar|P}}の微分形式のうち性質の良いものが{{mvar|P}}に対応するベクトルバンドルの微分形式と1対1に対応する事を見る。次節でこの同型を曲率形式がリー代数のバンドルの元とみなせる事を示すのに利用し、更に後の章で[[#ベクトルバンドルの共変外微分|ベクトルバンドルの共変外微分を定義]]するのに利用する。


{{Mvar|V}}をベクトル空間とし、
: <math>\rho~:~G \to \mathrm{GL}(V)
 </math>

をリー群{{Mvar|G}}から{{Mvar|V}}上の一般線形群<math>\mathrm{GL}(V)
 </math>へのなめらかな準同型（すなわちなめらかな[[表現論|線形表現]]）とし{{refn|group="注"|これまでとは違い、{{mvar|G}}が<math>\mathrm{GL}(V)</math>の部分群である事を仮定しないのは、{{mvar|ρ}}が単射ではない場合にこの節の結果を後の節で使うためである。}}、<math>P \to M</math>を接続形式{{Mvar|ω}}が定義された{{Mvar|G}}-主バンドルとする。
{{math theorem|定義|
{{Mvar|k}}を非負整数とし、{{Mvar|P}}上の{{Mvar|k}}次の{{Mvar|V}}値微分形式{{Mvar|η}}で

* <math>(R_g)^*(\eta)_p(v_1,\ldots,v_k) = \rho(g^{-1}) \eta_p(v_1,\ldots,v_k) </math>
* （'''水平性'''）ある{{Mvar|v{{sub|i}}}}が垂直であれば、<math>\eta_p(v_1,\ldots,v_k)=0 </math>

を任意の<math>p \in P</math>と任意の<math>v_1,\ldots,v_k \in T_pP</math>に対して満たすものを'''{{訳語疑問点範囲|タイプ{{mvar|ρ}}のテンソル形式|date=2023年10月}}'''（{{Lang-en-short|tensorial form of type}} {{mvar|ρ}}<ref name="Tu277" /><ref name="小林75" />）であるといい<ref name="Tu277" />{{refn|group="注"|なお、1番目の性質のみを満たすものは'''{{訳語疑問点範囲|タイプ{{mvar|ρ}}の疑テンソル形式|date=2023年10月}}'''（{{Lang-en-short|pseudo-tensorial form of type}} {{mvar|ρ}}<ref name="Tu277">[[#Tu]] p.277.</ref><ref name="小林75">[[#Kobayashi-Nomizu-1]] p.75.</ref>）であるという。}}、{{Mvar|P}}上の{{Mvar|k}}次の{{Mvar|V}}値微分形式でタイプ{{mvar|ρ}}のテンソル形式であるもの全体を
: <math>\mathcal{A}^k_{\rho}(P;V) </math>
と書く。
|note=テンソル形式{{Anchors|テンソル形式の定義}}}}ベクトルバンドル<math>E=P \times_{\rho} V \to M</math>を考え、<math>p \in P</math>に対し、
: <math>\varphi_p~:~v \in V \mapsto [(p,v)] \in E_{\pi(p)} \subset P \times_{\rho} V = E </math>
を商写像とすると、<math>\mathcal{A}^k_{\rho}(P,V) </math>の元は<math>\varphi_p</math>により<math>\mathcal{A}^k(M;E) </math>の元と自然に対応する。ここで<math>\mathcal{A}^k(M;E) </math>は{{Mvar|E}}に値を取る{{Mvar|k}}次微分形式全体の集合である：

{{math theorem|定理|
<math>\eta \in \mathcal{A}^k_{\rho}(P;V)</math>、<math>u\in M</math>と<math>X_1,\ldots,X_k \in T_u M</math>に対し、<math>\pi(p)=x</math>を満たす<math>p \in P</math>を選んで
: <math>\varphi^{\flat}{}_x:=\varphi_p(\eta_p(\mathrm{Lift}_p{}_*(X_1),\ldots,\mathrm{Lift}_p{}_*(X_k)))</math>
とすると、<math>\varphi^{\flat}{}_x</math>は{{mvar|p}}の取り方によらずwell-definedであり、
: <math>\eta \in \mathcal{A}^k_{\rho}(P;V) \mapsto \varphi^{\flat} \in \mathcal{A}^k(M;E)</math>
は全単射である<ref name="Tu278">[[#Tu]] p.278.</ref>{{refn|group="注"|[[#Tu]] p.278.では<math>\mathrm{Lift}_{\pi(p)}{}^*(\eta_p)(X_1,\ldots,X_k)=\eta_p(\mathrm{Lift}_{p}{}_*(X_1),\ldots,\mathrm{Lift}_{\pi(p)}{}_*(X_k))</math>のかわりに<math>\pi_*(Y_i)=X_i</math>となる{{mvar|Y{{sub|i}}}}を任意に選んで<math>\eta_p(Y_1,\ldots,Y_k)</math>を考えている。しかし<math>\mathcal{A}^k_{\rho}(P;V) </math>の元は垂直方向のベクトルに対しては{{mvar|0}}になるので、両者の定義は同値である。}}。
|note=テンソル形式と底空間上の切断の関係{{Anchors|テンソル形式と底空間上の切断の関係}}}}
上記の写像の逆写像は以下のように書ける：
{{math theorem|定理|
<math>\xi \in \mathcal{A}^k(M;E)</math>、<math>p \in P</math>、<math>Y_1,\ldots,Y_k \in T_pP</math>に対し、
: <math>\xi^{\sharp}:=\varphi_p{}^{-1} \circ \xi(\pi_*(Y_1),\ldots,\pi_*(Y_k))</math>
とすると、
: <math>\xi \in  \mathcal{A}^k(M;E) \mapsto \xi^{\sharp} \in \mathcal{A}^k_{\rho}(P;V)</math>
は: <math>\eta \mapsto \eta^{\flat}</math>の逆写像である<ref name="Tu278" />。
}}

=== 随伴バンドル ===
本節ではリー群の随伴バンドルを定義し、曲率形式は随伴バンドル上の微分形式とみなせる事を見る。まず随伴バンドルを定義する：{{math theorem|定義|{{mvar|G}}をリー群とし<math>\mathfrak{g}</math>をそのリー代数とし、さらに<math>P \to M</math>を{{mvar|G}}-主バンドルとし、<math>G \overset{\mathrm{Ad}}{\curvearrowright} \mathfrak{g} </math>を随伴表現とする。このとき、
: <math>P \times_{\mathrm{Ad}} \mathfrak{g} \to M</math>
を<math>P \to M</math>の'''随伴バンドル'''（{{lang-en-short|adjoint bundle}}）という<ref>[[#Tu]] p.276.</ref>。|note=随伴バンドル}}[[#前述した曲率の性質|前述した主接続の曲率の性質]]から、{{Mvar|P}}に接続形式{{Mvar|ω}}が定義されているとき、
: <math>\Omega \in \mathcal{A}^2_{\mathrm{Ad}}(P;\mathfrak{g}) \approx \mathcal{A}^2(M;P \times_{\mathrm{Ad}} \mathfrak{g}) </math>

が成立する。すなわち曲率形式は随伴バンドルの元と見なすことができる<ref>[[#Tu]] p.279</ref>。
{{Anchors|接続形式はテンソル形式ではない}}一方、接続形式は（恒等的に{{mvar|0}}でない限り）テンソル形式の定義における水平性を満たさないので、<math>\omega \notin \mathcal{A}^1_{\mathrm{Ad}}(P;\mathfrak{g})</math>である<ref>[[#Tu]] p.285.</ref>。

===共変外微分===

==== 主バンドル上の共変外微分 ====
<math>\pi~:~P \to M</math>を接続形式{{mvar|ω}}が定義された{{mvar|G}}-主バンドルとし、
:<math>H_p~:~T_p P \to \mathcal{H}_p</math>
を接続{{mvar|ω}}に関する{{mvar|P}}の点{{mvar|p}}における水平射影とし、さらに{{Mvar|V}}をベクトル空間とする。<math>\mathcal{A}^k(P;V)</math>を<math>V</math>値{{math|1=''k''}}-形式全体の集合とすると、<math> \eta \in \mathcal{A}^{k+1}(P;V)</math>に対し、
: <math>H^*(\eta)(X_1,\ldots,X_{k+1}):=\eta(H(X_1),\ldots,H(X_{k+1}))</math>
を定義できる。

{{math theorem|定義|
外微分<math>d~:~\mathcal{A}^k(P;V) \to \mathcal{A}^{k+1}(P;V)</math>と{{mvar|H{{sup|*}}}}との合成
: <math>d_{\omega}:=H^* \circ d~:~\mathcal{A}^k(P;V) \to \mathcal{A}^{k+1}(P;V)</math>
を接続{{mvar|ω}}に関する次数{{mvar|k}}の'''共変外微分'''（{{lang-en-short|covariant exterior derivative}}）という{{refn|name="Kolar103"|[[#Kolar]] p.103. }}{{refn|[[#Tu]] p.281.}}。
|note=主バンドルの共変外微分{{Anchors|主バンドルの共変外微分}}}}

共変外微分は通常の外微分と違い、<math>d_{\omega}d_{\omega}</math>は{{mvar|0}}になるとはかぎらないが、<math>V</math>が構造群{{Mvar|G}}のリー代数<math>\mathfrak{g}</math>である場合には、以下の関係式を示すことができる。以下で{{mvar|Ω}}は接続形式{{mvar|ω}}に関する曲率である：
{{math theorem|定理|<math>\omega \in \mathcal{A}^1(P;\mathfrak{g})</math>、<math>\Omega \in \mathcal{A}^2(P;\mathfrak{g})</math>であり、以下が成立する<ref name="Kolar103" />：
* <math>d_{\omega}\omega=\Omega</math>
* （'''(第二)ビアンキ恒等式'''）<math>d_{\omega}\Omega=0</math>}}

== 同伴バンドルへの接続の誘導{{Anchors|同伴バンドルへの誘導の節}} ==
本節では主バンドルの接続からそれに同伴するバンドルに接続を誘導する方法を述べる。

=== 準備：同伴バンドル ===
まず同伴バンドルの定義を復習する。<math>\pi~:~P \to M</math>を{{mvar|G}}-主バンドルとし、{{mvar|F}}を左からの{{mvar|G}}の作用<math>G\overset{\curvearrowright}{} F</math>を持つ多様体とするとき、{{math|''P''×''F''}}を
: <math>(p,ga) \sim (pg, a)</math> for <math>g \in G</math>
という同値関係で割った空間を<math>P \times_{G} F</math>とすると、
: <math>[(p,a)] \in P \times_{G} F \to \pi(p) \in M</math>
は構造群{{mvar|G}}を持つファイバー{{mvar|F}}のファイバーバンドルになる。<math>P \times_{G} F</math>を{{mvar|P}}の<math>G\overset{\curvearrowright}{} F</math>に関する'''{{仮リンク|同伴束|en|associated bundle|label=同伴バンドル}}'''という。

=== 接続の誘導 ===

==== 定義 ====
本節では主バンドル<math>\pi~:~P \to M</math>上定義された接続<math>\{\mathcal{H}_p\}_{p \in P}</math>を用いて同伴バンドル<math>P \times_{G} F \to M</math>に接続を定義する方法を説明する。

<math>a\in F</math>に対し、写像
: <math>\varphi_a~:~  p \in P \to [(p,a)] \in P \times_{G} F </math>
を考える。
{{math theorem|定義|
<math>P \times_{G} F</math>の<math>[(p,a)]</math>における水平部分空間<math>\mathcal{H}'_{[(p,a)]}</math>を
: <math>\mathcal{H}'_{[(p,a)]} :=(\varphi_a)_*(\mathcal{H}_p)</math>
により定義し、<math>\{\mathcal{H}'_{[(p,a)]}\}_{[(p,a)] \in P \times_G F}</math>を<math>\{\mathcal{H}_p\}_{p \in P}</math>により<math>P \times_{G} F \to M</math>に'''誘導された接続'''（{{lang-en-short|induced connection}}<ref>[[#Goldberg]] p.14</ref>）、もしくは'''同伴接続'''（{{lang-en-short|accociated connection}}<ref>[[#Piccione]] p.116.</ref>）という。
|note=接続の誘導{{Anchors|接続の誘導}}}}

上記の定義において<math>\mathcal{H}'_{[(p,a)]}</math>は代表元<math>(p,a)</math>の取り方によらずwell-definedである。

====別の定式化====

本節では、前節で定義した同伴バンドルに誘導された接続を別の方法で特徴づける。

そのために{{mvar|G}}上の積を取る写像と逆元を取る写像
: <math>\mu~:~(g,h)\in G \times G \mapsto gh \in G</math>
: <math>\nu~:~g\in G  \mapsto g^{-1} \in G</math>
を考え、これらが接バンドル{{mvar|TG}}に誘導する写像
: <math>\mu_*~:~TG \times TG \to TG</math>
: <math>\nu_*~:~TG  \to TG</math>
をそれぞれ{{mvar|TG}}上で積を取る演算、逆元を取る演算とみなすと、{{mvar|TG}}がこの積に対して群になる事を示す事ができる{{refn|name="Kolar98"|[[#Kolar]] p.98.}}{{refn|group="注"|具体的には<math>v_g \in T_gG</math>、<math>w_h \in T_hG</math>に対し、
: <math>\mu_*(v_g,w_h)=(L_h)_*(v_g)+(R_g)_*(w_h)</math>
: <math>\nu_*(v_g)=-\mathrm{Ad}(g^{-1})_*(v_g)</math>
である。全単射
: <math>(g,v) \in G \times \mathfrak{g} \to (L_g)_*(v) \in TG</math>
により{{mvar|TG}}を集合として<math>G \times \mathfrak{g}</math>と同一視すると、接群は{{mvar|G}}と<math>\mathfrak{g}</math>（を加法に関して群とみなしたもの）の半直積になる<ref name="Kolar98" />。}}。この群をリー群{{mvar|G}}の'''{{訳語疑問点範囲|接群|date=2023/09/06}}'''（{{lang-en-short|tangent group}}）という<ref name="Kolar98" />。


{{mvar|TG}}を上記の方法で群とみなすと、{{mvar|G}}-主バンドル<math>\pi~:~P \to M</math>が誘導する<math>\pi_*~:~TP \to TM</math>は{{mvar|TG}}主バンドルとみなせ、<math>G\overset{\curvearrowright}{} F</math>が誘導する<math>TG\overset{\curvearrowright}{} TF</math>は群{{mvar|TG}}の{{mvar|TF}}への群作用とみなせる。

このため同伴バンドル
: <math>TP \times_{TG} TF \to M</math>
を考える事ができる。しかも
: <math>T(P \times F)\approx TP \times TF \to TP \times_{TG}TF</math>
が同型
: <math>T(P \times_G F)\approx TP \times_{TG}TF</math>
を誘導することも示す事ができる。

{{math theorem|定義|
{{mvar|G}}-主バンドル<math>\pi~:~P \to M</math>の接続<math>\{\mathcal{H}_p\}_{p\in P}</math>の垂直射影{{mvar|V{{sub|p}}}}を使って
:<math>
\begin{array}{ccc}
T_pP \times T_aF &\overset{V_p \times \mathrm{id}}{\longrightarrow} &  T_pP \times T_aF \\
\downarrow & \circlearrowright & \downarrow\\
T_pP \times_{TG}T_aF &\overset{V'_{(p,a)}}{\longrightarrow} & T_pP \times_{TG}T_aF
\end{array}
</math>
が可換図式になるように垂直射影<math>V'_{(p,a)}</math>を定義することで<math>T(P \times_G F)\approx TP \times_{TG}TF</math>に接続を定義できる。

この接続を<math>\{\mathcal{H}_p\}_{p \in P}</math>により<math>P \times_{G} F \to M</math>に'''誘導された接続'''という{{refn|[[#Kolar]] p.107.}}。
|note=誘導された接続の別定義}}

本節で定義された「誘導された接続」が前節で定義されたものと同一であることを用意に示す事ができる。

=== 誘導された接続の性質 ===

==== 共変微分 ====
本節では同伴接続の共変微分が[[#主接続の定義|主接続]]の接続形式を用いて表現できる事を見る。まず記号を定義する。

<math>\pi~:~P \times_G F \to M</math>を主バンドル<math>P  \to M</math>と作用<math>G \overset{\curvearrowright}{}F</math>から定義された{{mvar|F}}バンドルとする。

さらに<math>P  \to M</math>に接続形式が{{mvar|ω}}の接続形式が定義されているとし、この接続が<math>\pi~:~P \times_G F \to M</math>に誘導する接続の共変微分を{{mvar|∇}}とする。

そして<math>p\in P</math>に対し、
:<math>\psi_p~:~a \in F \to [(p,a)] \in P \times_G F </math>
とする。

{{math theorem|定理|
{{mvar|p}}を<math>P  \to M</math>の切断とし、<math>a~:~M \to F</math>をなめらかな写像とし、{{mvar|s}}を<math>u\in M</math>に同値類<math>[(p_u,a_u)] \in P \times_G F</math>を対応させる切断とする。ここで<math>a_u:=a(u)</math>である。

このとき、{{mvar|X}}を{{mvar|M}}上のベクトル場とすると、
: <math>\nabla_X s|_u = (\psi_{p_u})_*(a_*(X_u) + \overline{\omega_{p_u}(X_u)}|_{a_u})</math>
が成立する<ref>[[#Piccione]] p.118.</ref>。

ここで<math>\overline{\omega_{p_u}(X_u)}</math>はリー代数の元<math>\omega_{p_u}(X_u)</math>の基本ベクトル場である<ref group="注" name=左基本ベクトル場 />。
|note=誘導された接続の共変微分と接続形式の関係{{Anchors|誘導された共変微分の成分表示}}}}

==== 曲率 ====

[[#主接続の定義|主接続]]の曲率とそこから誘導された接続の曲率は以下の関係を満たす。

{{math theorem|定理|
<math>P \to M</math>を接続の定義された主バンドルとし、{{mvar|Ω}}をその接続とする。さらに<math>P \to M</math>の同伴バンドル<math>E:=P \times_G F \to M</math>に<math>P \to M</math>から誘導された接続を入れ、その接続を{{mvar|Ω'}}とする。そして<math>q~:~P \to E</math>を商写像とする。このとき以下の図式は可換である<ref>[[#Kolar]] p.108.</ref>：

:<math>
\begin{array}{ccc}
TP \times TP & \overset{\Omega}{\to} & \mathcal{V}P \\
q_* \times q_* \downarrow & \circlearrowleft& q_* \downarrow \\
TE \times TE & \overset{\Omega'}{\to} & \mathcal{V}E 
\end{array}
</math>

ここで<math>\mathcal{V}P</math>、<math>\mathcal{V}E</math>はそれぞれ{{mvar|P}}、{{mvar|E}}の垂直部分空間である。
|note=誘導された接続の曲率{{Anchors|同伴接続の曲率}}}}

=== 誘導された接続の特徴づけ ===
本節ではファイバーバンドル上の（一般の）接続が主バンドルの接続から誘導された接続である条件をクリストッフェル形式を用いて記述する。

{{math theorem|定理|
<math>\pi_P~:~P \to M</math>を{{mvar|G}}-主バンドルとし、{{mvar|F}}を{{mvar|G}}が左から作用する多様体とし、<math>\pi_E~:~E \to M</math>を<math>\pi_P~:~P \to M</math>に同伴する{{mvar|F}}-バンドルとする。さらに<math>\{V_p\}_{p \in E}</math>を<math>\pi_E~:~E \to M</math>の（一般の）接続とする。{{mvar|G}}のリー代数<math>A\in \mathfrak{g}</math>に（{{mvar|G}}の左からの作用により）{{mvar|A}}が{{mvar|F}}に定義する基本ベクトル場<math>\overline{A}\in \mathfrak{X}(F)</math>を対応させる写像{{refn|group="注"|name=左基本ベクトル場|前述した基本ベクトル場の定義は{{mvar|G}}の右からの作用に関するものであったが、左からの作用に関しても同様にして基本ベクトル場を定義できる。右からの作用の場合と区別するため、下ではなく上に線を書いた。}}<math>A \in \mathfrak{g} \mapsto \overline{A} \in \mathfrak{X}(F)</math>が単射であるとする。ここで<math>\mathfrak{X}(F)</math>は{{mvar|F}}上のベクトル場の集合である。

このとき、<math>\{V_p\}_{p \in E}</math>が<math>\pi_P~:~P \to M</math>上の何らかの主バンドルとしての接続から誘導されている必要十分条件は以下が成立することである{{refn|name="Kolar108"|[[#Kolar]] p.108.}}：
* <math>\pi_E~:~E \to M</math>のバンドルアトラス<math>(U_{\alpha},\varphi_{\alpha})_{\alpha}</math>が存在し{{refn|group="注"|<math>(U_{\alpha},\varphi_{\alpha})_{\alpha}</math>が<math>\pi_E~:~E \to M</math>のバンドルアトラスであるとは、各{{mvar|U{{sub|α}}}}が{{mvar|M}}の開集合であり、<math>\cup_{\alpha}U_{\alpha}=M</math>を満たし、しかも<math>\varphi_{\alpha}~:~\pi^{-1}(U_{\alpha}) \to \mathbb{R}^m\times F</math>が中への微分位相同型写像である事を指す。}}、任意の{{mvar|α}}に対し、<math>U_{\alpha}</math>に関するクリストッフェル形式<math>\Gamma^{\alpha}</math>が<math>\mathfrak{X}_{\mathrm{fund}}(F)</math>に値を取る。

ここで<math>\mathfrak{X}_{\mathrm{fund}}(F)</math>は{{mvar|G}}の作用が{{mvar|F}}に定義する基本ベクトル場全体の集合である。
}}

なお上では「あるバンドルアトラスが存在して」としたがあるバンドルアトラスに対して上記の性質が成立すれば任意のバンドルアトラスに対して上記の性質が成立する事が知られている<ref name="Kolar108" />。

== ベクトルバンドルの接続{{Anchors|Koszul接続}} ==

本節ではベクトルバンドルとしての接続（すなわちKoszul接続）と、[[#一般の接続の定義|一般の接続概念]]や[[#主接続の定義|主接続の概念]]との関係をみる。

===Koszul接続の定義===
まずKoszul接続の定義を復習する：
{{math theorem|定義|　
<math>\pi~:~E\to M</math>を実ベクトルバンドルとし、<math>\mathfrak{X}(M)</math>を{{mvar|M}}上のベクトル場全体の集合とし、<math>\Gamma(E)</math>を{{mvar|E}}の切断の集合とする。

関数
: <math>\nabla~:~(X,s)\in \mathfrak{X}(M) \times \Gamma(E) \mapsto \nabla_Xs \in \Gamma(E)</math>
で以下の性質を満たすものを{{mvar|E}}上の'''Koszul接続'''（{{lang-en-short|Koszul connection}}）<ref>[[#Spivak]] p.241.</ref><ref>{{Cite web |url=https://empg.maths.ed.ac.uk/Activities/Spin/Lecture5.pdf |title=Lecture 5: Connections on principal and vector bundles |access-date=2023/01/12 |page=40 |author=José Figueroa-O'Farrill |work=PG course on Spin Geometry}}</ref>あるいは単に'''接続'''（{{lang-en-short|connection}}）といい<ref>[[#森田]] p.213.</ref><ref>[[#Tu]] p.72.</ref>、<math>\nabla_Xs </math>を接続<math>\nabla</math>が定める{{mvar|s}}の{{mvar|X}}方向の'''共変微分'''という：
# <math>\nabla_{fX+gY}s = f\nabla_{X} s + g\nabla_{Y} s</math>
# <math>\nabla_X(as+bs') = a\nabla_{X} s + b\nabla_{X} s'</math>
# <math>\nabla_X(fs) = X(f)s + f\nabla_X s</math>　
|note=Koszul接続}}
ここで{{mvar|X}}、{{mvar|Y}}は{{mvar|M}}上の任意のベクトル場であり、{{mvar|s}}、{{mvar|s'}}は{{mvar|E}}の任意の接続とし、{{mvar|f}}、{{mvar|g}}は{{mvar|M}}上定義された任意の実数値可微分関数であり、{{mvar|a}}、{{mvar|b}}は任意の実数であり、<math>fY</math>は点{{mvar|P}}において<math>f(P)Y_P</math>となるベクトル場であり、<math>X(f)</math>は{{mvar|f}}の{{mvar|X}}方向微分であり、<math>[X,Y]</math>は{{仮リンク|リー括弧|en|Lie bracket of vector fields}}である。


===ファイバーバンドルの接続との関係===

ベクトルバンドル<math>\pi~:~E \to M</math>においては垂直部分空間と接空間が自然に同一視できるので、その同一視の写像を
: <math>\phi~:~\mathcal{V}_e \tilde{\to} T_{\pi(e)}E</math>
と書く。

本節では一般の接続概念から定義される共変微分を{{Mvar|∇}}とするとき、<math>\phi\circ \nabla</math>がKoszul接続になる条件を述べる。なお、逆にKoszul接続から一般の接続概念を誘導する方法は[[#ベクトルバンドルの接続から一般の接続へ|すでに述べた]]。
{{math theorem|定理|<math>\pi~:~E\to M</math>をベクトルバンドルとし、<math>\{\mathcal{H}_e\}_{e\in E}</math>を<math>\pi~:~E\to M</math>のファイバーバンドルとしての接続する。さらに<math>\phi~:~\mathcal{V}_e \tilde{\to} E_{\pi(e)}</math>を垂直部分空間<math>\mathcal{V}_e</math>と<math>E_{\pi(e)}</math>の自然な同一視とする{{refn|group="注"|垂直部分空間の定義より<math>\mathcal{V}_e=T_eE_{\pi(e)}</math>であるが、<math>E_{\pi(e)}</math>はベクトル空間なので、<math>E_{\pi(e)}</math>と接空間<math>T_eE_{\pi(e)}</math>と<math>E_{\pi(e)}</math>は自然に同一視できる。}}。

このとき以下の条件は同値である{{refn|[[#Wendl3]] pp.76-78.}}{{refn|[[#Kolar]] p.110.}}：
* <math>\{\mathcal{H}_e\}_{e\in E}</math>が定義する共変微分を{{mvar|∇}}とすると、<math>\phi\circ \nabla</math>はKoszul接続の公理を満たす。
* 任意の<math>\lambda \in \mathbb{R}</math>、<math>e \in E</math>に対し、<math>\mathcal{H}_{\lambda e}= (m_{\lambda})_*(\mathcal{H}_e)</math>

ここで{{mvar|m{{sub|λ}}}}はベクトル<math>e \in E</math>を{{mvar|λ}}倍した<math>\lambda e \in E</math>に写す写像とする。|note=Koszul接続の条件{{Anchors|Koszul接続の条件}}}}

Koszul接続から一般の接続概念を誘導する方法と（上記の定理の条件を満たす）一般の接続概念からKoszul接続を誘導する方法は「逆写像」の関係にあり、上記の定理の条件を満たす一般の接続概念とKoszul接続は1:1に対応する<ref>[[#Wendl3]] p.78.</ref>。

==== クリストッフェル記号 ====
<math>\pi~:~E \to M</math>をベクトルバンドルとし、<math>(x^1,\ldots,x^m)</math>を{{Mvar|M}}の局所座標とし、<math>e_1,\ldots,e_n</math>を{{Mvar|E}}の局所的な基底とし、{{Mvar|E}}の元{{Mvar|v}}を<math>v=v^je_j</math>と表すと、[[接続 (ファイバー束)#クリストッフェル写像の節|クリストッフェル写像の節]]で述べたように、<math>e \in E</math>における水平リフトを
: <math>\mathrm{Lift}_e\left({\partial \over \partial x^i}\right)={\partial \over \partial x^k} - \Gamma^i{}_k(v) {\partial \over \partial v^i} </math>
と書ける。一方、Koszul接続の'''[[クリストッフェル記号]]'''を
: <math>\nabla_{\tfrac{\partial}{\partial x^k}}e_k = \Gamma^i_{kj}e_i </math>
と定義すると、[[接続 (ファイバー束)#Koszul接続の条件|上述の定理]]から以下が従う：
{{math theorem|定理|以下が成立する<ref>[[#Epstein]] p.104.</ref>：
: <math> \Gamma^i{}_k(v) =\Gamma^i_{kj}v^j </math>
}}

=== フレームバンドル ===

次に我々は主バンドルの接続とベクトルバンドルの接続の関係を見る。そのための準備として本節では「{{Mvar|G}}-フレーム」、および「{{Mvar|G}}-{{仮リンク|フレームバンドル|en|frame bundle}}」の概念を導入する。

==== 定義 ====
「{{Mvar|G}}-フレーム」とは[[正規直交基底]]の概念を一般化したもので、{{Mvar|G}}が<math>\mathrm{SO}(n)</math>の場合、{{Mvar|G}}-フレームが正規直交基底に相当する。

{{math theorem|定義{{Anchors|クリストッフェル記号の定理}}|{{Mvar|G}}を<math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) </math>の部分リー群とし、<math>\pi~:~E \to M</math>を構造群{{Mvar|G}}を持つベクトルバンドルとし、{{mvar|u}}を{{mvar|M}}の点とし、<math>e_1,\ldots,e_n</math>を{{mvar|E{{sub|u}}}}の基底とする。<math>e_1,\ldots,e_n</math>が{{mvar|E}}の{{mvar|u}}における{{Mvar|G}}-'''フレーム'''（{{Lang-en-short|{{mvar|G}}-flame}}）であるとは、{{mvar|E}}の{{mvar|u}}におけるバンドルチャート<math>U \times \mathbb{R}^n</math>と<math>g \in G</math>が存在し、このバンドルチャート上で
: <math>(e_1,\ldots,e_n)=(ge'_1,\ldots,g e'_n)</math>
が成立する事を言う。
}}
ここで<math>e'_1,\ldots,e'_n</math>は<math>\mathbb{R}^n</math>の標準的な基底であり、<math>ge_i</math>は線形変換<math>g \in G \subset \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})</math>を{{mvar|e{{sub|i}}}}に作用させたものである。

構造群{{mvar|G}}を持つベクトルバンドルの定義から、{{Mvar|G}}-フレームの定義はバンドルチャートの取り方によらずwell-definedである。


<math>F^G(E)_u</math>を<math>u \in M</math>上の{{Mvar|G}}-フレーム全体の集合とすると、
:<math>
F^G(E) := \bigcup_{u\in M}F^G(E)_u
</math>
は自然に{{Mvar|M}}上の{{Mvar|G}}-[[主束|主バンドル]]をなし、<math>
F^G(E)
</math>を構造群{{Mvar|G}}に関する'''フレームバンドル'''という<ref>[[#Salamon]] p.5.</ref>{{Refn|なお 、[[#Salamon]]では<math>\mathbb{R}^n</math>の（標準的とは限らない）基底<math>(f_1,\ldots,f_n)</math>を<math>\mathbb{R}^n</math>から<math>\mathbb{R}^n</math>への線形写像{{mvar|f}}と自然に同一視し、各<math>u \in M</math>に対し、
:<math>\mathbb{R}^n \overset{f}{\to} E_x \overset{\varphi_{\alpha}}{\to}  \{u\} \times \mathbb{R}^n \approx \mathbb{R}^n</math>
が{{mvar|G}}に属する事を持って{{mvar|G}}-フレームを定義しているが、この定義は本項で述べたものと同値である。|group=注}}。

==== {{Math|''E'' → ''M''}}に対応する主バンドルとの関係 ====
<math>P \to M</math>を<math>\pi~:~E \to M</math>に対応する{{Mvar|G}}-主バンドルとすると、{{mvar|P}}は{{Mvar|G}}-フレームバンドルと自然に同一視できる：

{{math theorem|定理|記号を上述のように取り、<math>U_{\alpha} \subset M</math>、<math>\psi_{\alpha}~:~\pi^{-1}(U_{\alpha}) \overset{\sim}{\to} U_{\alpha} \times G </math>を{{Mvar|P}}のバンドルチャートとする。このとき{{Mvar|P}}（のバンドルチャート）から<math>F^G(E)</math>への写像
:<math>(u,g) \in U_{\alpha} \times G \mapsto 
 (ge'_1,\ldots,ge'_n) \in F_G(E)_u </math>
はバンドルチャートの取り方によらずwell-definedで、しかも主バンドルとしての同型写像になる。
}}


よって以後、<math>\pi~:~E \to M</math>に対応する{{Mvar|G}}-主バンドルと<math>
F^G(E)
</math>を自然に同一視する。

==== 商写像との関係 ====
フレームバンドルの利点は、主バンドルからベクトルバンドルへの商写像に直観的な意味を与えられることにある。以下で<math>P \to M</math>は前節同様<math>\pi~:~E \to M</math>に対応する{{Mvar|G}}-主バンドルである。{{math theorem|定理|写像の合成
: <math>F_G(E) \times  \mathbb{R}^n \approx P \times  \mathbb{R}^n \overset{q}{\to} P \times_G  \mathbb{R}^n \approx E</math>
による<math>(e,a) \in F_G(E) \times  \mathbb{R}^n</math>の像は
: <math>a^ie_i</math>
に一致する（[[アインシュタインの縮約記法|アインシュタインの縮約]]で記載）。

ここで{{mvar|q}}は商写像であり、<math>a=(a^1,\ldots,a^n)</math>であり、<math>e=(e_1,\ldots,e_n)</math>である。|note=フレームバンドルによる成分表示{{Anchors|フレームバンドルによる成分表示}}}}

=== 主接続によるKoszul接続の誘導 ===

==== 接続の対応関係 ====
本節では{{Mvar|G}}-主バンドルの接続形式の関係とこの接続がベクトルバンドル{{Mvar|E}}に誘導する接続の関係を述べる。これまで同様{{Mvar|G}}を<math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})</math>の閉部分リー群とする。また前節で主バンドルがフレームバンドルと自然に同一視できる事を見たので、以下主バンドルとフレームバンドルを区別せずに用いる。


本節では以下特に断りがない限り、{{mvar|G}}を<math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})</math>の部分リー群とし、<math>\mathfrak{g}</math>を{{mvar|G}}のリー代数とし、<math>\pi~:~E \to M</math>を{{mvar|G}}を構造群を持つベクトルバンドルとし、<math>F_G(E)</math>をそのフレームバンドルとする。



主接続とKoszul接続の関係を見るための準備として、以下の概念を導入する：{{math theorem|定義|{{mvar|∇}}を{{mvar|E}}のKoszul接続とする。さらに<math>e=(e_1,\ldots,e_n)</math>を{{mvar|E}}の局所的な基底とする。

このとき{{mvar|M}}上のベクトル場
{{Mvar|X}}に行列<math>\hat{\omega}_e(X)</math>を対応させる行列値の[[微分形式|1-形式]]<math>\hat{\omega}_e = (\hat{\omega}^i{}_j)_{ij}</math>を
: <math>(\nabla_X e_1,\ldots, \nabla_X e_m)=(e_1,\ldots,e_m)\hat{\omega}_e(X)</math>
により定義する。<math>\hat{\omega}_e</math>を局所的な基底<math>e=(e_1,\ldots,e_m)</math>に関するレヴィ-チヴィタ接続の'''接続形式'''（{{Lang-en-short|connection form}}）という<ref>[[#小林]] p.38.</ref><ref>[[#Tu]] p.80.</ref>。|note=接続形式}}上で定義したKoszul接続の接続形式<math>\hat{\omega}_e</math>を使って<math>F_G(E)</math>の接続形式{{Mvar|ω}}を定義するのだが、<math>\hat{\omega}_e</math>は一般には行列値の1-形式、すなわち

<math>\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})</math>に値を取る1-形式であるが、<math>F_G(E)</math>の接続形式は必ず{{Mvar|G}}のリー代数<math>\mathfrak{g}</math>に値を取る必要がある。そこで<math>\hat{\omega}_e</math>が<math>\mathfrak{g}</math>に値を取る場合に話を限定する。{{Math theorem|定義|{{mvar|∇}}を{{mvar|E}}上定義されたKoszul接続とし、<math>\hat{\omega}_e</math>をその接続形式とする。{{mvar|∇}}が{{mvar|G}}と'''両立する'''とは、任意の局所的な基底<math>e=(e_1,\ldots,e_n)</math>に対し、
: <math>\hat{\omega}_e \in \mathfrak{g}</math>
が成立する事を言う。|note={{mvar|G}}と両立するKoszul接続{{Anchors|構造群と両立するKoszul接続のリー代数による定義}}}}このとき、以下が従う：{{Math theorem|定義|{{mvar|E}}上のKoszul接続で{{mvar|G}}と両立するものは<math>F_G(E)</math>の主接続と1 : 1で対応する。
さらに{{mvar|G}}と両立するにKoszul接続{{mvar|∇}}に対応する主接続の接続形式を{{mvar|ω}}とすると、任意の開集合<math>U \subset M</math>と{{mvar|U}}上で定義された<math>F_G(E)</math>の任意の局所的な切断<math>e=(e_1,\ldots,e_n)</math>に対し、
: <math>\hat{\omega}_e =e^*(\omega) </math>
が成立する。ここで<math>\hat{\omega}_e</math>は<math>e=(e_1,\ldots,e_n)</math>を局所的な基底とみなしたときの{{mvar|e}}に関する{{mvar|∇}}の接続形式であり、<math>e^*(\omega) </math>は{{Mvar|e}}を{{Mvar|U}}から{{Math|''F''{{sub|''G''}}(''E'')}}への写像と見たときの接続形式{{Mvar|ω}}の{{Mvar|U}}への引き戻しである{{refn|[[#Pasquotto]] p.84.にこの定理のアフィン接続が述べられており、Koszul接続の場合も同様である旨が書いてある。このKoszul接続の場合は他の文献の記述からも従う。実際、<math>G=\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})</math>の場合に1:1対応する事は[[#森田]] pp.319-321従い、この場合に<math>\hat{\omega}_e =e^*(\omega) </math>となる事は[[#Tu]] p.268から従う。そして{{mvar|G}}が<math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})</math>の部分リー群である場合に関しては[[#Kobayashi-Nomizu1]] p.83のRemarkより<math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})</math>-主バンドル<math>F_{\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})}(E)</math>上の接続形式が{{mvar|G}}-主バンドル<math>F_G(E)</math>にreduceする必要十分条件は{{mvar|ω}}が{{mvar|G}}のリー代数に値を取る事であるので、上記の事実から従う。}}。|note=主接続とKoszul接続の関係{{Anchors|主接続とKoszul接続の関係の定理}}}}



上の定理で、<math>F_G(M)</math>上の主接続に対応するのは、この接続が{{mvar|E}}に誘導するが定義する共変微分{{mvar|∇}}である。[[#接続の誘導|接続の誘導の定義]]から共変微分が[[#Koszul接続の条件|Koszul接続に一致する条件]]を満たすのを容易に確認できる。

逆に{{Mvar|G}}と両立する接続が与えられたとき、<math>e\in F_G(E)</math>に対し、
: <math>\mathcal{H}_e := \{\tfrac{de}{dt}(0) | e(t)=(e_1(t),\ldots,e_n(t)) </math>は時刻0に{{Mvar|e}}を通り、しかも<math>\tfrac{\nabla e}{dt}(0) = 0</math>となる切断<math>\}</math>
を水平部分空間とする<math>F_G(E)</math>の主接続が与えられる<ref>[[#Tu]] pp.263-264, 266.</ref>。なお、この主接続の接続形式{{Mvar|ω}}は<math>F_G(E)</math>の局所自明化<math>\pi^{-1}(U) \approx U \times G </math>、{{Mvar|∇}}の接続形式<math>\hat{\omega}_e</math>、{{Mvar|G}}のモーレー・カルタン形式{{Mvar|μ}}を用いて
: <math>\omega_{(u,g)} =\mathrm{Ad}(g^{-1})\hat{\omega}_{(u,\mathrm{id})} + \mu_g  </math>
と書ける<ref>[[#森田]] p.320.</ref>。ここで{{Math|id}}は{{Mvar|G}}の単位元である。

==== 共変微分の対応関係 ====
ベクトルバンドル<math>E \to M</math>の切断{{Mvar|s}}が与えられたとき、<math>F_G(M)</math>上の関数
: <math>\psi_s~:~(e_1,\ldots,e_n)\in F_G(M) \mapsto (s^1,\ldots,s^n) \in \mathbb{R}^n</math>, where <math>s =s^ie_i</math>

を定義できる。このとき次が成立する：

{{Math theorem|定理|{{mvar|M}}上の任意のベクトル場{{mvar|X}}に対し、以下が成立する<ref>[[#Kobayashi-Nomizu-1]] p.127.</ref>：
: <math>\psi_{\nabla_Xs}=\mathrm{Lift}(X)\psi_s</math>}}
ここで<math>\mathrm{Lift}(X)\psi_s</math>は<math>F_G(M)</math>上のベクトル場<math>Y:=\mathrm{Lift}(X)</math>により<math>F_G(M)</math>上の<math>\mathbb{R}^n</math>値関数<math>\psi_s</math>の各成分を微分した<math>Y(\psi_s)</math>の事である。

==== ホロノミーによるKoszul接続が導出される条件 ====
前節ではフレームバンドル{{Math|''F''{{sub|''G''}}(''E'')}}に接続が定義されている状況下でその接続が{{Mvar|E}}に誘導するKoszul接続を考察してきたが、本節ではこの逆、すなわち{{Mvar|E}}のKoszul接続{{Mvar|∇}}がどのような条件を満たせば{{Mvar|∇}}がフレームバンドル{{Math|''F''{{sub|''G''}}(''E'')}}に接続から誘導されたものと一致するかを調べる。このために以下の定義をする：

{{Math theorem|定義|{{mvar|M}}を連結な多様体とし、{{mvar|G}}を<math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}^n)</math>の閉部分リー群とし、<math>\pi~:~E \to M</math>を構造群{{mvar|G}}を持つベクトルバンドルとし、{{mvar|∇}}を<math>E \to M</math>のKoszul接続とする。このとき、{{mvar|∇}}が{{mvar|G}}'''と両立する'''（{{lang-en-short|{{mvar|G}}-compatible}}）とは、<math>\pi~:~E \to M</math>の任意の局所自明化
: <math>\varphi~:~\pi^{-1}(U) \tilde{\to} V \times \mathbb{R}^n</math> where <math>U \subset M</math> open、<math>V \subset \mathbb{R}^m</math> open
に対し、{{mvar|U}}内の任意の曲線<math>u(t)</math>に沿った平行移動<math>E_{u(0)} \to E_{u(1)}</math>が{{mvar|G}}に属する線形変換である事を言う<ref>[[#Wendl3]] p.83.</ref>{{refn|group="注"|[[#Wendl3]]の定義は若干曖昧で単に「十分短い曲線」（sufficiently short path）に沿った平行移動が{{mvar|G}}と両立する自明化（{{mvar|G}}-compatible connection）<math>v \to g(t)v</math> for <math>g(t) \in G</math>を持つとしか言っていないが、局所自明化可能な領域内の曲線がこのように書ければ十分なので、ここではそのように定義した。}}。|note=構造群と両立するKoszul接続{{Anchors|構造と両立する接続のホロノミーによる定義}}}}

前述の[[#Ambrose-Singerの一般化|Ambrose-Singerの定理の一般化]]から以下の定理が従う：

{{Math theorem|定理{{Anchors|ホロノミーによる主接続の関係の定理}}|記号を[[#構造と両立する接続|上の定義]]と同様に取る。
{{mvar|G}}を構造群として持つベクトルバンドル<math>E \to M</math>のKoszul接続{{mvar|∇}}が{{mvar|G}}と両立するとき、フレームバンドル{{math|''F''{{sub|''G''}}(''E'')}}のある接続形式{{mvar|ω}}が存在し、{{mvar|∇}}は{{mvar|ω}}から{{mvar|E}}に誘導される接続の共変微分と一致する。}}Koszul接続{{Mvar|∇}}が「{{Mvar|G}}と両立する」事の定義は[[#構造と両立する接続のホロノミーによる定義|上で挙げたもの]]の他に[[#構造群と両立するKoszul接続のリー代数による定義|前の節で挙げたもの]]があるが、この２つは同値である。実際、これら２つのいずれか言えれば{{Mvar|∇}}は主接続から誘導される事を[[#主接続とKoszul接続の関係の定理|前節の定理]]と[[#ホロノミーによる主接続の関係の定理|上記の定理]]から言え、主接続から誘導される接続はこれら２つの「{{Mvar|G}}と両立する」事の定義を両方満たすので、この２つは同値である。

=== 曲率{{Anchors|Koszul接続の曲率の節}} ===
==== 定義 ====
Koszul接続が定義されたベクトルバンドルの曲率を以下のように定義する：{{math theorem|定義・定理|ベクトルバンドル<math>\pi ~:~E \to M</math>の接続<math>\nabla</math>に対し、
: <math>R(X,Y)s:=\nabla_X\nabla_Ys-\nabla_Y\nabla_Xs-\nabla_{[X,Y]}s</math>  for <math>X,Y \in \mathfrak{X}(M), s\in \Gamma(E)</math>
とすると、{{mvar|R}}は{{mvar|X}}、{{mvar|Y}}、{{mvar|s}}に関して<math>C^{\infty}(M)</math>-線形である<ref name="小林43">[[#小林]] p.43.</ref>{{refn|name="曲率テンソルのC∞-線形性"|group="注"|<math>C^{\infty}(M)</math>-線形については<ref group="注" name="C∞-線形" />を参照}}。よって<ref group="注" name="曲率テンソルのC∞-線形性"/>{{mvar|R}}は各点<math>u\in M</math>に対し、
: <math>R_u \in T^*M \otimes T^*M \otimes E^* \otimes E</math>
を対応させるテンソル場とみなせる。

{{mvar|R}}を<math>\nabla</math>に関する{{mvar|E}}の'''曲率テンソル'''（{{lang-en-short|curvature tensor}}）という<ref name="小林43" />。||note=曲率テンソル{{Anchors|曲率テンソル}}}}

Koszul接続の曲率形式を以下のように定義する：
{{math theorem|定義|記号を[[#曲率テンソルの定義|上の定義]]と同様に取る。さらに{{mvar|U}}を{{mvar|M}}の開集合とし、<math>e=(e_1,\ldots,e_n)</math>を{{mvar|U}}におけるフレームバンドル<math>F_G(M)</math>の切断とする。このとき、曲率テンソルを
: <math>R(X,Y)e_j=\hat{\Omega}^i{}_j(X,Y)e_i</math> 
と成分表示し、<math>\hat{\Omega}_e:=(\hat{\Omega}^i{}_j)</math>とすると、{{mvar|Ω{{sub|e}}}}は一般線形群のリー代数
<math>\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})</math>に値を取る2-形式とみなせる。
<math>\hat{\Omega}_e</math>を{{mvar|e}}に関するKoszul接続{{mvar|∇}}の'''曲率形式'''（{{lang-en-short|curvature form}}）という<ref>[[#Tu]] p.80</ref>。
}}

==== 一般の接続の曲率形式との関係 ====
[[接続 (ファイバー束)#ベクトルバンドルの接続から一般の接続へ|すでに述べたように]]ベクトルバンドル<math>\pi~:~E \to M</math>上のKoszul接続{{Mvar|∇}}には、それと対応するファイバーバンドルとしての接続<math>\{V_e\}_{e\in E}</math>が定義可能であるが、上述したKoszul接続の曲率は[[接続 (ファイバー束)#ファイバーバンドルの曲率の節|前述した]]一般のファイバーバンドルの曲率形式<math>\Omega(\xi,\eta)=-V([H(\xi),H(\eta)])</math>と以下の関係を満たす。ここで{{Mvar|H}}は水平部分空間への射影である。
{{Math theorem|記号を上述のように取る。このとき、{{mvar|M}}上の点{{mvar|u}}、ベクトル<math>X,Y \in T_uM</math>、<math>s \in E_u</math>に対し、以下が成立する<ref>[[#Wendl5]] p.123.</ref>：
: <math>R(X,Y)s = -V(\mathrm{Lift}_s(X),\mathrm{Lift}_s(Y))</math>}}
よって特にKoszul接続の曲率形式<math>\hat{\Omega}_e</math>とは以下の関係を満たす：
: <math>\hat{\Omega}^i{}_j(X,Y) = -\langle e^i,V(\mathrm{Lift}_{e_j}(X),\mathrm{Lift}_{e_j}(Y))\rangle </math>

ここで<math>e=(e_1,\ldots,e_n)</math>であり、<math>(e^1,\ldots,e^n)</math>はその双対基底である。

==== 主接続の曲率との関係 ====

<math>E \to M</math>のフレームバンドル<math>F_G(M)</math>の曲率形式とKoszul接続の曲率形式は以下の関係を満たす：
{{math theorem|定理|
ベクトルバンドル<math>E \to M</math>のフレームバンドル<math>F_G(M)</math>に接続形式が{{mvar|ω}}の接続が定義されているとし、この接続の曲率形式を{{mvar|Ω}}とする。

さらにこの接続が{{mvar|E}}に[[#接続の誘導|誘導する接続]]が定義するKoszul接続を{{mvar|∇}}とし、<math>e=(e_1,\ldots,e_n)</math>を{{mvar|M}}の開集合{{mvar|U}}上定義された<math>F_G(M)</math>の切断とし、<math>\hat{\Omega}_e</math>を{{mvar|∇}}の{{mvar|e}}に関する曲率形式とする。このとき、以下が成立する<ref>[[#Tu]] p.270.</ref>： 
: <math>\hat{\Omega}_e=e^*(\Omega)</math>
}}

=== 共変外微分 ===
==== 定義 ====
本節ではベクトルバンドルの共変外微分を定義する。
そのために主バンドル上の共変外微分が[[#テンソル形式の定義|タイプ{{Mvar|ρ}}のテンソル形式]]をタイプ{{Mvar|ρ}}のテンソル形式に写す事を見る：
{{math theorem|定理|
{{Mvar|V}}をベクトル空間とし、<math>\rho~:~G \to \mathrm{GL}(V)</math>を構造群{{Mvar|G}}の（なめらかな）線形表現とする。このとき任意の{{Mvar|k}}に対し以下が成立する<ref>[[#Tu]] p.281.</ref>：
: <math>d_{\omega}(\mathcal{A}^k_{\rho}(P;V))\subset  \mathcal{A}^{k+1}_{\rho}(P;V) </math>
}}

<math>E := P \times_{\rho} V</math>とすると[[#テンソル形式と底空間上の切断の関係|前に述べたように]]
: <math>\mathcal{A}^k_{\rho}(P;V) \approx   \mathcal{A}^k(M;E) </math>

が成立するので、上記の定理から、[[#主バンドルの共変外微分|主バンドルの共変外微分]]{{Mvar|d{{sub|ω}}}}を使ってベクトルバンドルの共変外微分を以下のように定義できる：
{{math theorem|定理|
合成関数
: <math>d_{\nabla}~:~\mathcal{A}^k(M;E) 
\approx \mathcal{A}^k_{\rho}(P;V) \overset{d_{\omega}}{\to}
\mathcal{A}^{k+1}_{\rho}(P;V) 
\approx 
\mathcal{A}^{k+1}(M;E)  </math>
をベクトルバンドル<math>\mathcal{A}^k(M;E) </math>の'''{{仮リンク|共変外微分|en|exterior covariant derivative}}'''という<ref>[[#Tu]] p.281.</ref><ref>[[#Kolar]] p.116.</ref>。|note=ベクトルバンドルの共変外微分{{Anchors|ベクトルバンドルの共変外微分}}}}

==== 具体的表記 ====
本節ではベクトルバンドルの共変外微分を具体的に表記する。{{Mvar|V}}をベクトル空間とし、<math>\rho~:~G \to \mathrm{GL}(V)</math>を構造群{{Mvar|G}}の（なめらかな）線形表現とするとき、{{mvar|ρ}}は{{Mvar|G}}のリー代数<math>\mathfrak{g}</math>から<math>\mathrm{GL}(V)</math>のリー代数<math>\mathfrak{gl}(V)</math>への写像
: <math>\rho_*~:~\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)</math>
を誘導する。<math>\mathfrak{gl}(V)</math>は{{Mvar|V}}上の線形写像全体と自然に同一視できるので、<math>u \in \mathfrak{g}</math>と<math>v \in V</math>に対し、<math>\rho_*(u) </math>を{{Mvar|v}}に作用させた
: <math>\rho_*(u)v</math>
を定義できる。
{{math theorem|定義|<math>\tau \in \mathcal{A}^k(P;\mathfrak{g})</math>、<math>\eta \in \mathcal{A}^{\ell}(P;V)</math>に対し、{{mvar|τ}}と{{mvar|η}}の積<math>\tau\cdot \eta \in \mathcal{A}^{k+\ell}(P;V)</math>を以下のように定義する<ref name="Tu282">[[#Tu]] p.282.</ref>：
: <math>(\tau \cdot \eta)_p (X_1,\ldots,X_{k+\ell}):= {1 \over k!\ell !}\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_{k+\ell}}\mathrm{sgn}(\sigma)\rho_*(\tau_p(X_{\sigma(1)},\ldots,\tau(X_{\sigma(k)}))\eta_p(X_{\sigma(k+1)},\ldots,X_{\sigma(\ell)})</math>
}}
ここで<math>p\in P</math>、<math>X_1,\ldots,X_{k+\ell}\in T_pP</math>であり、<math>\mathfrak{S}_{k+\ell}</math>は<math>k+\ell</math>次の[[対称群]]である。

特に<math>V=\mathfrak{g}</math>である場合は、<math>u, v \in \mathfrak{g}</math>に対し、
: <math>\rho_*(u)v=[u,v]_{\mathfrak{g}}</math>
と<math>\mathfrak{g}</math>上のリー括弧<math>[\cdot,\cdot]_{\mathfrak{g}}</math>で書けるので<ref name="Tu282" />、上記の定義の<math>\rho_*(\tau(\cdots))\eta(\cdots)</math>の部分を<math>[\tau(\cdots),\eta(\cdots)]_{\mathfrak{g}}</math>に置き換えられる<ref name="Tu282" />。

上記の定義を使うと共変外微分を以下のように具体的に表記できる：
{{math theorem|定理|<math>\eta\in \mathcal{A}_{\rho}^{\ell}(P;V)</math>であれば、以下が成立する<ref>[[#Tu]] p.283</ref>：
: <math>d_{\omega}\eta=d\eta + \omega \cdot \eta</math>
}}

==== 主バンドルの共変外微分との関係 ====
<math>E := P \times_{\rho} V</math>とすると[[#テンソル形式と底空間上の切断の関係|前述の]]同型
: <math>\mathcal{A}^k_{\rho}(P;V) \approx   \mathcal{A}^k(M;E) </math>

を使って上記の定理を<math>\mathcal{A}^k(M;E) </math>上の定理に書き換える事ができる：
{{math theorem|定理|<math>\xi\in \mathcal{A}^{\ell}(M;V)</math>は以下を満たす<ref>[[#Kolar]] p.113.</ref>：
: <math>(d_{\nabla}\xi)^{\sharp} = d_{\omega}(\xi^{\sharp}) </math>
}}

ここで「<math>\sharp</math>」は[[#テンソル形式と底空間上の切断の関係|テンソル形式と底空間上の切断の同型写像]]である。

== 脚注 ==
=== 出典 ===
{{reflist|20em|refs=
{{refn|name="Kolar100-101"|[[#Kolar]] pp.100-101.}}
}}
=== 注釈 ===
{{reflist|30em|group="注"}}

== 文献 ==

=== 参考文献 ===
* {{Cite book|洋書|title=Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes|date=2017/6/P15|publisher=[[シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア|Springer]]|author=[[:en:Loring W. Tu|Loring W. Tu]]|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|volume=275|isbn=978-3319550824|ref=Tu}}
* {{cite book|和書|title=微分形式の幾何学2|date=2001/05/23|publisher=[[岩波書店]]|ref=森田|author=森田茂之|series=岩波講座 現代数学の基礎|volume=14|isbn=978-4000110143|url=https://www.iwanami.co.jp/book/b480194.html}}
* {{Cite web|url=https://www2.mathematik.hu-berlin.de/~wendl/Winter2016/DiffGeo1|title=Differentialgeometrie I|access-date=2023/08/24|author=Chris Wendl}}
** {{Cite web|url=https://www2.mathematik.hu-berlin.de/~wendl/Winter2016/DiffGeo1/connections_chapter3.pdf|title=Chapter 3: Connections|access-date=2023/08/24|author=Chris Wendl|ref=Wendl3}}
** {{Cite web|url=https://www2.mathematik.hu-berlin.de/~wendl/Winter2016/DiffGeo1/connections_chapter4.pdf|title=Chapter 4: Natural constructions on vector bundles|access-date=2023/08/24|author=Chris Wendl|ref=Wendl4}}
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* {{Cite book|和書 |title=接続の微分幾何とゲージ理論 |date=1989/5/15 |publisher=[[裳華房]] |author=[[小林昭七]] |isbn=978-4785310585 |ref=小林}}
* {{Cite book|洋書|title=Differential Geometry: Basic Notions and Physical Examples|date=2014/7/15|publisher=[[シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア|Springer]]|author=Marcelo Epstein|series=Mathematical Engineering|isbn=978-3319069197|ref=Epstein}}
* {{Cite book |title=Supermanifolds and Supergroups: Basic Theory |publisher=Springer |ref=Tuynman |author=Gijs M. Tuynman |series=Mathematics and Its Applications|volume=570|isbn=978-9048166329}}
* {{Cite book |title=Principal Bundles: The Classical Case |publisher=Springer|ref=Sontz |author=Stephen Bruce Sontz |series=Universitext |date=2015/4/27|isbn=978-3-319-14765-9}}
* {{Cite web |url=https://pi.math.cornell.edu/~goldberg/Notes/AboutConnections.pdf |title=WHAT IS A CONNECTION, AND WHAT IS IT GOOD FOR? |access-date=2023/10/06 |publisher=[[コーネル大学]] |ref=Goldberg |author=Timothy E. Goldberg}}
* {{Cite web|url=https://www.ime.usp.br/~piccione/Downloads/GStructure.pdf|title=The theory of connections and G-structures. Applications to affine and isometric immersions|publisher=[[サンパウロ大学]]|ref=Piccione|author=Paolo Piccione, Daniel V. Tausk|access-date=2023/10/10}}
* {{cite book |series=Wiley Classics Library |title=[[:en:Foundations of Differential Geometry|Foundations of Differential Geometry]] Volume I |publisher=Wiley |date=2009 |orig-year=1963 |isbn=978-0-471-15733-5 |zbl=0119.37502 |author2=[[野水克己|Katsumi Nomizu]] |author=[[小林昭七|Shishichi Kobayashi]] |ref=Kobayashi-Nomizu-1}}
* {{cite book |author2=Katsumi Nomizu |author=Shishichi Kobayashi|series=Wiley Classics Library |title=Foundations of Differential Geometry Volume II |publisher=Wiley |location= |date=2009 |orig-year=1969 |isbn=978-0-471-15732-8 |zbl=0175.48504 |ref=Kobayashi-Nomizu-2}}
* {{Cite web |url=https://www.few.vu.nl/~pasquott/course16.pdf |title=Linear G-structures by examples |access-date=2023/10/27 |publisher=[[アムステルダム自由大学]] |author=Federica Pasquotto |ref=Pasquotto}}
* {{Cite web |url=https://people.math.ethz.ch/~salamon/PREPRINTS/witsei.pdf |title=Spin Geometry and Seiberg-Witten invariants |access-date=2023/10/27 |publisher=[[チューリッヒ工科大学]] |author=Dietmar Salamon}}
* {{Cite book|和書 |title=ゲージ理論・一般相対性理論のための 微分幾何入門 |date= 2021/9/30 |publisher=[[森北出版]] |author=佐古彰史 |ref=佐古 |isbn=978-4627078512}}

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