擬調和三角形のソースを表示

[[ユークリッド幾何学]]において、'''擬調和三角形<ref name=":0">{{Cite book|和書 |title=初等幾何學 第1卷 平面之部 訂正4版 |year=1919 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂出版部]] |page= |doi=10.11501/1082035 |pages=558,561,562,571,574}}</ref>'''（ぎちょうわさんかくけい、{{Lang-en-short|Circumcevian triangle}}）は、[[三角形]]と[[点 (数学)|点]]に対する特別な三角形の一つである<ref name="Wolfram" />。

== 定義 ==
[[ファイル:CircumCevianTriangle.png|サムネイル|
{{Legend-line|solid blue|元の三角形 {{math|△''ABC''}}}}
{{Legend|red|点{{mvar|P}}}}
{{Legend-line|solid #222222|{{math|△''ABC''}}の外接円と、{{math|△''ABC''}}の頂点と{{mvar|P}}を結ぶ直線}}
{{Legend-line|solid brown|{{mvar|P}}の擬調和三角形 {{math|△''A'B'C'''}}}}
]]
{{Math|△''ABC''}}と点{{Mvar|P}}に対して、{{Mvar|AP, BP, CP}} と{{Math|△''ABC''}}の[[外接円]]の{{Mvar|A, B, C}}でない方の交点を{{Mvar|A', B', C'}}とする。{{Math|△''A'B'C' ''}}を{{Mvar|P}}の擬調和三角形と言う<ref>{{Cite journal|last=Kimberling, C|date=1998|title=Triangle Centers and Central Triangles|journal=Congress Numerantium|volume=129|page=201}}</ref>。

[[小倉金之助]]は次の[[定義]]を採用した<ref name=":0" />。

　[[直線]]{{Mvar|AP, BP, CP}}上にある点{{Mvar|A', B', C'}}が{{Math|1=''AP''・''A'P''=''BP''・''B'P''=''CP''・''C'P''}}を満たす。

[[方べきの定理]]より、前者の定義と一致することが確認できる。

=== 例 ===
* [[内接円|内心]]の擬調和三角形はcircumcircle mid-arc triangle（circummidarc triangle）である<ref>{{Cite web |title=Circumcircle Mid-Arc Triangle |url=https://mathworld.wolfram.com/CircumcircleMid-ArcTriangle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-02 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref><ref>{{Cite web |title=三角形の心 |url=http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/wd/glossary/triangle-centers.html |website=taurus.ics.nara-wu.ac.jp |access-date=2024-05-16}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Lukarevski|first=Martin|date=2020-07|title=104.21 The circummidarc triangle and the Finsler-Hadwiger inequality|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/10421-the-circummidarc-triangle-and-the-finslerhadwiger-inequality/7B25169B1C62D038A9A87A3205B78111|journal=The Mathematical Gazette|volume=104|issue=560|pages=335–338|language=en|doi=10.1017/mag.2020.63|issn=0025-5572}}</ref>。
* 重心の擬調和三角形はcircum-medial triangleである<ref>{{Cite web |title=Circum-Medial Triangle |url=https://mathworld.wolfram.com/Circum-MedialTriangle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-02 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。
* 垂心の擬調和三角形はcircum-orthic triangleである<ref>{{Cite web |title=Circum-Orthic Triangle |url=https://mathworld.wolfram.com/Circum-OrthicTriangle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-02 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。

== 座標 ==
''{{Mvar|a,b,c}}''を{{Math|△''ABC''}}の辺の長さ、{{Math|'' &alpha;'' : ''&beta;'' : ''&gamma; ''}}を''{{Mvar|P}}''の[[三線座標]]とすると、''{{Mvar|P}}''の擬調和三角形{{Math|△''A'B'C' ''}}の頂点の三線座標は以下の様に与えられる<ref name="Wolfram" />。<math display="block">\begin{array}{rccccc}
  A' =& -a\beta\gamma &:& (b\gamma+c\beta)\beta &:& (b\gamma+c\beta)\gamma \\
  B' =& (c\alpha +a\gamma)\alpha &:& - b\gamma\alpha &:& (c\alpha +a\gamma) \gamma \\
  C' =& (a\beta +b\alpha)\alpha &:& (a\beta +b\alpha)\beta &:& - c\alpha\beta
\end{array}</math>

== 性質 ==

* 元の三角形の外接円に内接する三角形は、元の三角形の擬調和三角形のただ一つに[[図形の合同|合同]]である<ref name="Wolfram">{{Cite web |author=Weisstein, Eric W. |title="Circumcevian Triangle" |url=https://mathworld.wolfram.com/CircumcevianTriangle.html |website=From MathWorld--A Wolfram Web Resource. |publisher=MathWorld |access-date=24 December 2021}}</ref>。
* 任意の点の[[垂足三角形]]と擬調和三角形は同じ向きに[[図形の相似|相似]]である<ref name="Wolfram" />。特に[[等力点]]の擬調和三角形は[[正三角形]]である。
* {{Mvar|P}}の擬調和三角形と基準三角形の[[配景]]の軸は、外接円に対する{{Mvar|P}}の[[極と極線|極線]]と一致する<ref name=":0" />。
* 擬調和三角形の各頂点から元の三角形の辺に対して下した[[垂線]]が一点で交わるような、（つまり擬調和三角形と元の三角形が[[対垂三角形|対垂]]であるような）点Pの軌跡は[[マッケイ三次曲線]]と呼ばれる[[三次曲線]]を成す<ref name="K003">{{Cite web |author=Bernard Gilbert |title=K003 McCay Cubic |url=https://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k003.html |website=[[Catalogue of Triangle Cubics]] |publisher=Bernard Gilbert |access-date=24 December 2021}}</ref>。また、マッケイ三次曲線上の点の垂足三角形と擬調和三角形は相似の位置にあり、その相似の中心の軌跡はルモワーヌ三次曲線（Lemoine cubic）と呼ばれる<ref name="Wolfram" />。

== 関連 ==
* [[調和四角形]]
* [[チェビアン|チェバ線]]
* [[チェバの定理]]
* [[ポンスレの閉形定理]]

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>{{デフォルトソート:きちょうわさんかくけい}}
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]