数列の極限のソースを表示

[[画像:Archimedes pi.svg|350px|thumb|alt=diagram of a hexagon and pentagon circumscribed outside a circle|[[単位円]]に外接する[[多角形|正 {{mvar|n}} 角形]]の周長によって与えられる数列は円周長に等しい極限すなわち極限 {{math|2''&pi;r''}} を持つ。内接する多角形に対応する数列も同じ極限を持つ。]]
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<div  style="width:240px;font-family:arial;font-size:12px;font-weight:bold;background:#fff">
{|class="wikitable" style="width:100%"
!{{mvar|n}}!!{{math|''n'' sin {{sfrac|1|''n''}}}}
|-
|{{math|1}}||{{math|0.841471}}
|-
|{{math|2}}||{{math|0.958851}}
|-
|…||…
|-
|{{math|10}}||{{math|0.998334}}
|-
|…||…
|-
|{{math|100}}||{{math|0.999983}}
|}
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正[[整数]] {{mvar|n}} が大きくなるにつれて、値 {{math|''n'' &sdot; sin{{sfrac|1|''n''}}}} は {{math|1}} にいくらでも近くなる。「数列 {{math|''n'' &sdot; sin{{sfrac|1|''n''}}}} の極限は {{math|1}} である」という。
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[[数学]]において、'''数列'''や'''点列の極限'''（{{lang-en-short|limit of a sequence}}）は[[数列]]や点列の項が「近づく」値である<ref name="Courant (1961), p.29">Courant (1961), p.29.</ref>。そのような極限が存在すれば、その列は'''収束する''' (convergent) と言われる。収束しない列は'''発散する''' (divergent) と言われる<ref>Courant (1961), p.39.</ref>。点列の極限は[[解析学]]のすべての基本である<ref name="Courant (1961), p.29"/>。

極限は任意の[[距離空間]]や[[位相空間]]で定義できるが、普通まず[[実数]]の場合に出会う。

== 歴史 ==
ギリシアの哲学者[[ゼノン (エレア派)|ゼノン]]は[[ゼノンのパラドックス|パラドックス]]の定式化で有名である。

[[レウキッポス]]、[[デモクリトス]]、[[アンティポン]]、[[エウドクソス]]、[[アルキメデス]]は、面積や体積を決定するために近似値の無限列を用いる[[取り尽くし法]]を発展させた。アルキメデスは現在では{{仮リンク|幾何級数|en|geometric series|preserve=1}}と呼ばれるものを計算することに成功した。

[[アイザック・ニュートン|ニュートン]]は以下に関する彼の仕事で級数を扱った：''Analysis with infinite series'' (written in 1669, circulated in manuscript, published in 1711), ''Method of fluxions and infinite series'' (written in 1671, published in English translation in 1736, Latin original published much later) and ''Tractatus de Quadratura Curvarum'' (written in 1693, published in 1704 as an Appendix to his ''Optiks) 。''後の仕事では、ニュートンは {{math|(''x'' + ''o'')<sup>''n''</sup>}} の二項展開を考え、''極限を取る''（{{math|''o'' → 0}} とする）ことによって線型化した。

18世紀には、[[レオンハルト・オイラー]]のような[[数学者]]はいくつかの''発散''級数の和を求めることに正しい瞬間で止めることによって成功した；彼らは極限が存在するかどうかはそれが計算できる限りそれほど注意を払わなかった。世紀の終わりに、[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ|ラグランジュ]]は彼の ''Théorie des fonctions analytiques'' (1797) で厳密さの欠如が解析学のさらなる発展を阻害すると述べた。[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]は超幾何級数の彼の研究 (1813) において初めてどのような条件下で級数が極限に収束するかを厳密に研究した。

極限の現代的な定義（任意の {{mvar|ε}} に対して、ある {{mvar|N}} が存在して、……）は[[ベルナルト・ボルツァーノ]] (''Der binomische Lehrsatz'', Prague 1816, little noticed at the time) と[[カール・ワイエルシュトラス]]によって1870年代に与えられた。

== 実数 ==
[[画像:Converging Sequence example.svg|320px|thumb|収束列 {{math|(''a{{sub|n}}'')}} のプロットが青で示されている。視覚的に数列が {{mvar|n}} が増大するときに極限 {{math|0}} に収束することが分かる。]]

[[実数]]において、数 {{mvar|L}} が[[数列]] {{math|(''x{{sub|n}}'')}} の'''極限'''であるとは、数列の数が {{mvar|L}} にどんどん近づき、他の数には近づかないことをいう。

=== 例 ===
*ある定数 {{mvar|c}} について {{math|1=''x{{sub|n}}'' = ''c''}} ならば、{{math|''x{{sub|n}}'' &rarr; ''c''}} である<ref group=証明>''証明''：{{math|1=''N'' = 1}} と選ぶ。すべての {{math|''n'' > ''N''}} に対して、{{math|{{mabs|''x{{sub|n}}'' &minus; ''c''}} {{=}} 0 < ''&epsilon;''}} である。</ref>。
*{{math|1=''x{{sub|n}}'' = {{sfrac|1|''n''}}}} ならば、{{math|''x{{sub|n}}'' &rarr;  0}} である<ref group=証明>''証明''：<math>N = \left\lfloor \tfrac{1}{\varepsilon} \right\rfloor</math>（[[床関数]]）と選ぶ。すべての {{math|''n'' > ''N''}} に対して、{{math2|{{abs|''x{{sub|n}}'' &minus; 0}} ≤ ''x''{{sub|''N''+1}} {{=}} 1/(&lfloor;{{sfrac|1|''ε''}}&rfloor; + 1) < ''ε''}} である。</ref>。
*{{mvar|n}} が偶数のときには {{math|1=''x{{sub|n}}'' = 1/''n''}} で、{{mvar|n}} が奇数のときには {{math|1=''x{{sub|n}}'' = 1/''n''{{sup|2}}}} ならば、{{math|''x{{sub|n}}'' &rarr; 0}} である。（{{mvar|n}} が奇数のときにはいつでも {{math|''x''{{sub|''n''+1}} > ''x''{{sub|''n''}}}} であるという事実は無関係である。）
*任意の実数が与えられたとき、その数に収束する数列を、十進近似を取ることによって、容易に構成できる。例えば、列 {{math|0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, …}} は {{math|{{sfrac|1|3}}}} に収束する。[[十進表現]] {{math|0.3333…}} は、
::<math>0.3333\cdots\triangleq\lim_{n\to\infty} \textstyle\sum\limits_{i=1}^n \dfrac{3}{10^i}</math>
:で定義される。前の列の''極限''であることに注意。
*数列の極限を見つけることは必ずしも明らかではない。2つの例は <math>\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac1{n}\right)^n</math>（極限は [[ネイピア数|{{mvar|e}}]] である）と[[算術幾何平均]]である。[[はさみうちの原理]]はそのような場合にしばしば有用である。

=== 正式な定義 ===
{{mvar|x}} が数列 {{math|(''x{{sub|n}}'')}} の'''極限'''であるとは、以下の条件が成り立つことをいう：
:任意の[[実数]] {{math|''ε'' > 0}} に対して、ある[[自然数]] {{mvar|N}} が存在して、任意の自然数 {{math2|''n'' > ''N''}} に対して、{{math2|1={{abs|''x{{sub|n}}'' &minus; ''x''}} < ''ε''}} が成り立つ。
[[一階述語論理]]を用いて形式的に表すと、
:<math> (\forall \varepsilon >0) (\exist N \in \mathbb{N}) (\forall n \in \mathbb{N}) [ n>N \implies |x_n-x|<\varepsilon ]</math>
となる。言い換えると、任意の近さの度合い {{mvar|ε}} に対して、数列の項はやがて極限にそれだけ近くなる。数列 {{math|(''x{{sub|n}}'')}} は極限 {{mvar|x}} に'''収束する'''といわれ、{{math2|''x{{sub|n}}'' → ''x''}} あるいは <math>\lim_{n\to\infty}x_n = x</math> と書かれる。

数列がある極限に存在すれば、それは'''収束列'''であり、そうでなければ'''発散列'''である。

実数列 {{math|(''x''{{sub|''n''}})}} が収束するのは上極限 <math>\limsup_{n \to \infty} x_n</math> と下極限 <math>\liminf_{n \to \infty} x_n</math> が存在して、かつ一致することとも同値である。逆に <math>\limsup_{n \to \infty} x_n</math> と <math>\liminf_{n \to \infty} x_n</math> が存在しても一致しないか、あるいはどちらかが存在しない（{{math|{{=}} &pm;&infin;}}）とき {{math|(''x''{{sub|''n''}})}} は発散する。

===性質===
数列の極限は通常の[[算術]]について良く振る舞う。{{math2|''a{{sub|n}}'' → ''a'', ''b{{sub|n}}'' → ''b''}} ならば、{{math2|''a{{sub|n}}'' + ''b{{sub|n}}'' → ''a'' + ''b'', ''a{{sub|n}}b{{sub|n}}'' → ''ab''}} であり、{{mvar|b}} もどの {{mvar|b{{sub|n}}}} も {{math|0}} でなければ、{{math|''a{{sub|n}}''/''b{{sub|n}}'' → ''a''/''b''}} である。

任意の連続関数 {{mvar|f}} に対して、{{math|''x{{sub|n}}'' → ''x''}} のとき {{math|''f''(''x{{sub|n}}'') → ''f''(''x'')}} である。実は、任意の実数値[[関数 (数学)|関数]] {{mvar|f}} について、{{mvar|f}} が連続であることと数列の極限を保つことは同値である（がこれはより一般の連続性の概念を用いるときには必ずしも正しくない）。

実数列の極限のいくつかの他の重要な性質の中には以下がある。
*数列に対してその極限が定まればそれは一意である。
*<math>\lim_{n\to\infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n \pm \lim_{n\to\infty} b_n</math>
*<math>\lim_{n\to\infty} c a_n = c\lim_{n\to\infty} a_n</math>
*<math>\lim_{n\to\infty} (a_n b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n \lim_{n\to\infty} b_n</math>
*<math>\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim\limits_{n\to\infty} a_n}{\lim\limits_{n\to\infty} b_n},</math> ただし <math>\lim_{n\to\infty} b_n \ne 0</math> のとき。
*<math>\lim_{n\to\infty} {a_n}^p = \left[ \lim_{n\to\infty} a_n \right]^p</math>
*ある {{mvar|N}} よりも大きい全ての {{mvar|n}} について {{math|''a{{sub|n}}'' ≤ ''b{{sub|n}}''}} ならば、<math>\lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n</math>
*（[[はさみうちの原理]]）すべての {{math|''n'' > ''N''}} に対して {{math|''a{{sub|n}}'' ≤ ''b{{sub|n}}'' ≤ ''c{{sub|n}}''}} であり、かつ <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n = L</math> であるならば、<math>\lim_{n\to\infty} b_n = L</math>
*数列が[[有界]]かつ単調であれば、収束する。
*数列が収束することと任意の部分列が収束することは同値である。
これらの性質は面倒な正式の定義を直接用いる必要なしに極限を証明するのに広く用いられる。ひとたび {{math2|{{sfrac|1|''n''}} → 0}} が証明されれば、上の性質を用いて、<math>\frac{a}{b+\frac{c}{n}} \to \frac{a}{b}</math>（ただし {{math2|''b'' ≠ 0}}）を示すのが容易になる。

=== 無限大の極限 ===
数列 {{math|(''x{{sub|n}}'')}} が'''無限大に発散する'''とは、任意の {{mvar|K}} に対して、ある {{mvar|N}} が存在して、任意の {{math|''n'' ≥ ''N''}} に対して、{{math|''x{{sub|n}}'' > ''K''}} となる、つまり数列の項がやがてどんな固定された {{mvar|K}} よりも大きくなることをいい、このとき {{math2|''x{{sub|n}}'' → ∞}} あるいは <math>\lim_{n\to\infty}x_n = \infty</math> と書く。同様に、{{math|''x{{sub|n}}'' → &minus;∞}} とは、すべての {{mvar|K}} に対して、ある {{mvar|N}} が存在して、任意の {{math|''n'' ≥ ''N''}} に対して、{{math|''x{{sub|n}}'' < ''K''}} となることである。数列が無限大あるいは負の無限大に発散するとき、発散するという（しかし、発散数列は必ずしも正または負の無限大に発散するわけではない）。

== 距離空間 ==
=== 定義 ===
[[距離空間]] {{math|(''X'', ''d'')}} の点 {{mvar|x}} が点列 {{math|(''x{{sub|n}}'')}} の'''極限'''であるとは、任意の {{math|''ε'' > 0}} に対して、ある {{mvar|N}} が存在して、任意の {{math|''n'' ≥ ''N''}} に対して、{{math|''d''(''x{{sub|n}}'', ''x'') < ''ε''}} となることをいう。これは {{math|1=''X'' = '''R'''}}, {{math|1=''d''(''x'', ''y'') = {{abs|''x'' &minus; ''y''}}}} のとき実数に対して与えられた定義と一致する。

=== 性質 ===
任意の連続関数 {{mvar|f}} に対して、{{math|''x{{sub|n}}'' → ''x''}} のとき {{math|''f''(''x{{sub|n}}'') → ''f''(''x'')}} である。実は、[[関数 (数学)|関数]] {{mvar|f}} が連続であることと点列の極限を保つことは同値である。

点列の極限は存在すれば一意である。なぜならば、相異なる点はある正の距離によって離れているため、この距離の半分よりも小さい {{mvar|ε}} に対して、点列の項は両方の点から距離 {{mvar|ε}} 以内にいることは出来ない。

== 位相空間 ==
=== 定義 ===
位相空間 {{math|(''X'', ''τ'')}} の点 {{mvar|x}} が点列 {{math|(''x{{sub|n}}'')}} の'''極限'''であるとは、{{mvar|x}} の任意の[[近傍 (位相空間論)|近傍]] {{mvar|U}} に対して、ある {{mvar|N}} が存在して、任意の {{math|''n'' ≥ ''N''}} に対して、{{math|''x{{sub|n}}'' ∈ ''U''}} となることをいう。これは、{{math|(''X'', ''d'')}} が距離空間で {{mvar|τ}} が {{mvar|d}} から生成される位相であるとき、距離空間に対して与えられた定義と一致する。

位相空間 {{mvar|X}} の点列 <math>\left(x_n:n\in \mathbb{N}\right)</math> の極限は{{仮リンク|関数の極限|en|Limit of a function#Functions on　topological spaces|preserve=1}}の特別な場合である：定義域は[[拡大実数]]の[[相対位相]]による部分空間 {{mathbf|N}} で、終域は {{mvar|X}} で、関数の引数 {{mvar|n}} は {{math|+∞}} に向かう（この空間で {{math|+∞}} は {{mathbf|N}} の[[集積点]]である）。

=== 性質 ===
{{mvar|X}} が[[ハウスドルフ空間]]ならば点列の極限は存在すれば一意である。これは一般の場合には必ずしも正しくないことに注意；特に、2点 {{math2|''x'', ''y''}} が{{仮リンク|位相的に識別不可能|en|Topological indistinguishability}}ならば、{{mvar|x}} に収束する任意の点列は {{mvar|y}} に収束しなければならない。

== コーシー列 ==
{{main|コーシー列}}
[[画像:Cauchy sequence illustration.svg|350px|thumb|コーシー列 {{math|(''x{{sub|n}}'')}} のプロット、青で示されていて、縦軸が {{mvar|x{{sub|n}}}}, 横軸が {{mvar|n}}. 視覚的に、列の項が {{mvar|n}} が増大するにつれて近くなっているから、列が極限点に収束しているように見えることが分かる。[[実数]]では任意のコーシー列はある極限に収束する。]]
コーシー列は、最初の項を十分たくさん無視すれば最終的に項が互いにいくらでも近くなるような列である。コーシー列の概念は[[距離空間]]の点列の研究において、特に、[[実解析]]において、重要である。実解析における1つのとりわけ重要な結果は、''列の収束のコーシーの判定法''である：実数列が収束することとそれがコーシー列であることは同値である。これは他の[[完備距離空間]]においても正しい。

== 超実数における定義 ==
[[超実数]]を用いた極限の定義は添え字の「非常に大きい」値に対して対応する項が極限に「非常に近い」という直感を定式化する。より正確には、実数列 {{math|(''x{{sub|n}}'')}} が {{mvar|L}} に収束するとは、任意の無限大超自然数 {{mvar|H}} に対して、項 {{mvar|x{{sub|H}}}} が {{mvar|L}} に無限に近い、すなわち差 {{math|''x{{sub|H}}'' &minus; ''L''}} が[[無限小]]であることをいう。同じことだが、{{mvar|L}} は {{mvar|x{{sub|H}}}} の{{仮リンク|Standard part function|label=標準部分|en|Standard part function}}である：
:<math>L = \operatorname{st}(x_H).</math>
したがって、極限は
:<math>\lim_{n \to \infty} x_n= {\rm st}(x_H)</math>
によって定義できる、ただし極限が存在するのは右辺が無限大 {{mvar|H}} の取り方に依らないとき、かつそのときに限る。

== 関連項目 ==
*[[関数の極限]]
*[[有向点族]]（ネット）の極限 - 有向点族は点列の位相的な一般化である。
*{{仮リンク|Modes of convergence|en|Modes of convergence}}
*{{仮リンク|Shift rule|en|Shift rule}}

== 脚注 ==
=== 証明 ===
{{Reflist|group=証明}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* [[Richard Courant|Courant, Richard]] (1961). "Differential and Integral Calculus Volume I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
* [[Frank Morley]] and [[James Harkness]] [https://archive.org/details/treatiseontheory00harkuoft A treatise on the theory of functions]  (New York: Macmillan, 1893)

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM|title=Limit|urlname=Limit}}
* [https://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_calculus.html ''A history of the calculus'', including limits]

{{DEFAULTSORT:すうれつのきよくけん}}
[[Category:極限 (数学)]]
[[Category:数列]]
[[Category:数学に関する記事]]