数演算子のソースを表示

[[量子力学]]において'''数演算子'''（すうえんざんし）、'''個数演算子'''（こすうえんざんし）あるいは'''粒子数演算子'''（りゅうしすうえんざんし、{{lang-en-short|particle number operator}}）とは、全[[粒子数]]が保存されないような系での粒子数を表す[[オブザーバブル]]である。

== 定義 ==
[[生成消滅演算子]]を以下の[[交換関係 (量子力学)|交換関係]]を満たす演算子として定義する。
:<math>[\hat{a},\hat{a}^\dagger]=1</math>
'''数演算子'''は以下のように定義される。
:<math>\hat{N}\equiv\hat{a}^\dagger\hat{a}</math>

== 性質 ==
=== エルミート性 ===
数演算子<math>\hat{N}</math>はエルミート演算子である。
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!証明
|-
| 数演算子の定義<math>\hat{N}\equiv\hat{a}^\dagger\hat{a}</math>、エルミート演算子の性質<math>(AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger</math>と、<math>(A^\dagger)^\dagger=A</math>より、
:<math>\hat{N}^\dagger=(\hat{a}^\dagger\hat{a})^\dagger=\hat{a}^\dagger(\hat{a}^\dagger)^\dagger=\hat{a}^\dagger\hat{a}=\hat{N}</math>
|}
=== 生成消滅演算子との交換関係 ===
数演算子と生成消滅演算子との交換関係は以下のようになる。これは、数演算子の固有値を増減させる[[昇降演算子]]の定義でもある。
:<math>[\hat{N},\hat{a}]=-\hat{a}</math>
:<math>[\hat{N},\hat{a}^\dagger]=\hat{a}^\dagger</math>
:{|class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"
!証明
|-
| 交換関係の性質として<math>[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B</math>が成り立つ。ここへ<math>A=\hat{a}^\dagger</math>、<math>B=\hat{a}</math>、<math>C=\hat{a}</math>を代入すると、
:<math>[\hat{a}^\dagger\hat{a},\hat{a}]=\hat{a}^\dagger[\hat{a},\hat{a}]+[\hat{a}^\dagger,\hat{a}]\hat{a}</math>
数演算子の定義<math>\hat{N}\equiv\hat{a}^\dagger\hat{a}</math>、交換関係の性質<math>[\hat{a},\hat{a}]=0</math>、生成消滅演算子の定義<math>[\hat{a},\hat{a}^\dagger]=1</math>を代入すると、
:<math>[\hat{N},\hat{a}]=-\hat{a}</math>
2つ目の式についても同様。
|}

=== 固有値は非負 ===
数演算子の固有値方程式は、
:<math>\hat{N}|N\rangle=N|N\rangle</math>
この固有値<math>N</math>は非負である。
:{|class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"
!証明
|-
| 固有値方程式<math>\hat{N}|N\rangle=N|N\rangle</math>の左から<math>\langle N|</math>をかけると、
:<math>\langle N|\hat{N}|N\rangle=N\langle N|N\rangle</math>
数演算子の定義<math>\hat{N}\equiv\hat{a}^\dagger\hat{a}</math>、固有ベクトルの規格化<math>\langle N|N\rangle=1</math>を代入すると、
:<math>\langle N|\hat{a}^\dagger\hat{a}|N\rangle=N</math>
この左辺は
:<math>\langle N|\hat{a}^\dagger\hat{a}|N\rangle=||(\hat{a}|N\rangle)||^2\ge0</math>
|}

=== 固有ベクトルへの消滅演算子の作用 ===
数演算子の固有ベクトルに消滅演算子が作用すると、
:<math>\hat{a}|N\rangle=\sqrt{N}|N-1\rangle</math>
:{|class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"
!証明
|-
|<math>[\hat{N},\hat{a}]=-\hat{a}</math>の両辺に<math>|N\rangle</math>をかけると、
:<math>\hat{N}\hat{a}|N\rangle-\hat{a}\hat{N}|N\rangle=-\hat{a}|N\rangle</math>
左辺第2項を右辺に移項すると、
:<math>\begin{align}
\hat{N}\hat{a}|N\rangle&=\hat{a}\hat{N}|N\rangle-\hat{a}|N\rangle\\
&=\hat{a}N|N\rangle-\hat{a}|N\rangle\\
&=(N-1)\hat{a}|N\rangle\\
\end{align}</math>
この式は、<math>\hat{N}</math>の固有値<math>N-1</math>に対する固有ベクトル<math>|N-1\rangle</math>が<math>\hat{a}|N\rangle</math>であることを言っている。

ただし<math>\hat{a}|N\rangle</math>は規格化されていないので、より正確にいえば比例している。
:<math>\hat{a}|N\rangle=c|N-1\rangle</math>
上述の<math>||(\hat{a}|N\rangle)||^2=N</math>に代入すると<math>|c|^2=N</math>なので、正に選べば
:<math>c=\sqrt{N}</math>
よって
:<math>\hat{a}|N\rangle=\sqrt{N}|N-1\rangle</math>
|}
=== 固有値は整数 ===
数演算子の固有値は整数である。
:{|class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"
!証明
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|
固有値<math>N</math>が整数でないとする。

上述のように、ある固有値<math>N</math>に対する固有ベクトル<math>|N\rangle</math>に消滅演算子を作用させると<math>|N-1\rangle</math>ができる。
:<math>\hat{a}|N\rangle=\sqrt{N}|N-1\rangle</math>
よって消滅演算子をくり返し作用させていくと、いつかは<math>N<0</math>である<math>|N\rangle</math>が作れてしまい、<math>N</math>の非負性と矛盾する。

固有値<math>N</math>が整数だと、<math>N=0</math>に対する固有ベクトル<math>|0\rangle</math>に消滅演算子が作用すると以下のようにベクトルは消えてしまい、<math>N<0</math>の<math>|N\rangle</math>が作れないことがわかる。
:<math>\hat{a}|0\rangle=0</math>
よって<math>N</math>の非負性と整合している。
|}
よって数演算子の固有値は非負の整数である。

=== 固有ベクトルへの生成演算子の作用 ===
固有ベクトルに生成演算子が作用すると、
:<math>\hat{a}^\dagger|N\rangle=\sqrt{N+1}|N+1\rangle</math>
となる。真空状態<math>|0\rangle</math>に生成演算子N回作用させた場合は、
:<math>(\hat{a}^\dagger)^N|0\rangle=\sqrt{N!}|N\rangle</math>
よって、
:<math>|N\rangle=\frac{1}{\sqrt{N!}}(\hat{a}^\dagger)^N|0\rangle</math>

== n粒子状態 ==
数演算子は[[フォック空間]]で作用する。与えられている[[フォック状態]] {{math|{{ket|&Psi;}}{{sub|''&nu;''}}}} は1粒子基底状態 {{math|{{ket|&Psi;{{sub|''i''}}}}}} から成る。

:<math>| \Psi \rangle_\nu = |\phi_1, \phi_2, \dotsc, \phi_n \rangle_\nu</math>

ここで数演算子を生成消滅演算子 {{math|{{hat|''a''}}{{sup|&dagger;}}(''&phi;{{sub|i}}'')}}, {{math|{{hat|''a''}}(''&phi;{{sub|i}}'')}} を用いて以下のように定義する。
:<math>\hat{N_i} \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \hat{a}^{\dagger}(\phi_i) \hat{a}(\phi_i)</math>

数演算子は以下の性質を持つ。
:<math>\hat{N_i}|\Psi\rangle_\nu=N_i|\Psi\rangle_\nu</math>
ここで {{math|''N{{sub|i}}''}} は状態 {{math|{{ket|''&psi;{{sub|i}}''}}}} の粒子の数である。

:{|class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"
!証明
|-
| 
:<math>\begin{align}
\hat{a}(\phi_i) | \phi_1, \phi_2, \dotsc, \phi_{i-1}, \phi_i, \phi_{i+1}, \dotsc, \phi_n \rangle_\nu
&= \sqrt{N_i}  | \phi_1, \phi_2, \dotsc, \phi_{i-1}, \phi_{i+1}, \dotsc, \phi_n \rangle_\nu \\
\hat{a}^{\dagger}(\phi_i) | \phi_1, \phi_2, \dotsc, \phi_{i-1}, \phi_{i+1}, \dotsc, \phi_n \rangle_\nu
&= \sqrt{N_i}  | \phi_1, \phi_2, \dotsc, \phi_{i-1}, \phi_{i}, \phi_{i+1}, \dotsc, \phi_n \rangle_\nu 
\end{align}</math>
よって
:<math>\begin{align}
\hat{N_i} | \Psi \rangle_\nu
&= \hat{a}^{\dagger}(\phi_i) \hat{a}(\phi_i) | \phi_1, \phi_2, \dotsc, \phi_{i-1}, \phi_i, \phi_{i+1}, \dotsc, \phi_n \rangle_\nu \\
&= \sqrt{N_i} \hat{a}^{\dagger}(\phi_i) | \phi_1, \phi_2, \dotsc, \phi_{i-1}, \phi_{i+1}, \dotsc, \phi_n \rangle_\nu \\
&= \sqrt{N_i} \sqrt{N_i} | \phi_1, \phi_2, \dotsc, \phi_{i-1}, \phi_{i}, \phi_{i+1}, \dotsc, \phi_n \rangle_\nu \\
&= N_i | \Psi \rangle_\nu
\end{align}</math>
|}

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2023年10月|section=1}}
* {{Cite book|和書|author=清水明|date=2004|title=新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―|publisher=[[サイエンス社]]|isbn=4-7819-1062-9|ref=harv}}
* {{Cite book | author=Bruus, Henrik, Flensberg, Karsten.| title=Many-body Quantum Theory in Condensed Matter Physics: An Introduction| publisher=Oxford University Press|year=2004 |isbn=0-19-856633-6}}
* [http://yclept.ucdavis.edu/course/242/2Q_Fradkin.pdf Second quantization notes by Fradkin]

== 関連項目 ==
* [[調和振動子]]
* [[第二量子化]]
* [[場の量子論]]
* [[粒子数]]

{{物理学の演算子}}

[[Category:量子力学|すうえんさんし]]