数演算子

量子力学において数演算子（すうえんざんし）、個数演算子（こすうえんざんし）あるいは粒子数演算子（りゅうしすうえんざんし、テンプレート:Lang-en-short）とは、全粒子数が保存されないような系での粒子数を表すオブザーバブルである。

定義

生成消滅演算子を以下の交換関係を満たす演算子として定義する。

$[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]=1$

数演算子は以下のように定義される。

$\hat{N}\equiv {\hat{a}}^{†}\hat{a}$

性質

エルミート性

数演算子$\hat{N}$はエルミート演算子である。

証明
数演算子の定義$\hat{N}\equiv {\hat{a}}^{†}\hat{a}$、エルミート演算子の性質$(AB{)}^{†}=B^{†}{A}^{†}$と、$(A^{†}{)}^{†}=A$より、 ${\hat{N}}^{†}=({\hat{a}}^{†}\hat{a}{)}^{†}={\hat{a}}^{†}({\hat{a}}^{†}{)}^{†}={\hat{a}}^{†}\hat{a}=\hat{N}$

生成消滅演算子との交換関係

数演算子と生成消滅演算子との交換関係は以下のようになる。これは、数演算子の固有値を増減させる昇降演算子の定義でもある。

$[\hat{N},\hat{a}]=-\hat{a}$

$[\hat{N},{\hat{a}}^{†}]={\hat{a}}^{†}$

証明
交換関係の性質として$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$が成り立つ。ここへ$A={\hat{a}}^{†}$、$B=\hat{a}$、$C=\hat{a}$を代入すると、 $[{\hat{a}}^{†}\hat{a},\hat{a}]={\hat{a}}^{†}[\hat{a},\hat{a}]+[{\hat{a}}^{†},\hat{a}]\hat{a}$ 数演算子の定義$\hat{N}\equiv {\hat{a}}^{†}\hat{a}$、交換関係の性質$[\hat{a},\hat{a}]=0$、生成消滅演算子の定義$[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]=1$を代入すると、 $[\hat{N},\hat{a}]=-\hat{a}$ 2つ目の式についても同様。

固有値は非負

数演算子の固有値方程式は、

$\hat{N}|N⟩=N|N⟩$

この固有値$N$は非負である。

証明
固有値方程式$\hat{N}|N⟩=N|N⟩$の左から$⟨N|$をかけると、 $⟨N|\hat{N}|N⟩=N⟨N|N⟩$ 数演算子の定義$\hat{N}\equiv {\hat{a}}^{†}\hat{a}$、固有ベクトルの規格化$⟨N|N⟩=1$を代入すると、 $⟨N|{\hat{a}}^{†}\hat{a}|N⟩=N$ この左辺は $⟨N|{\hat{a}}^{†}\hat{a}|N⟩=||(\hat{a}|N⟩)|{|}^2\ge 0$

固有ベクトルへの消滅演算子の作用

数演算子の固有ベクトルに消滅演算子が作用すると、

$\hat{a}|N⟩=\sqrt{N}|N-1⟩$

証明

$[\hat{N},\hat{a}]=-\hat{a}$の両辺に$|N⟩$をかけると、 $\hat{N}\hat{a}|N⟩-\hat{a}\hat{N}|N⟩=-\hat{a}|N⟩$ 左辺第2項を右辺に移項すると、 $\begin{array}{cc}\hat{N}\hat{a}|N⟩& =\hat{a}\hat{N}|N⟩-\hat{a}|N⟩\\ & =\hat{a}N|N⟩-\hat{a}|N⟩\\ & =(N-1)\hat{a}|N⟩\\ \end{array}$ この式は、$\hat{N}$の固有値$N-1$に対する固有ベクトル$|N-1⟩$が$\hat{a}|N⟩$であることを言っている。 ただし$\hat{a}|N⟩$は規格化されていないので、より正確にいえば比例している。 $\hat{a}|N⟩=c|N-1⟩$ 上述の$||(\hat{a}|N⟩)|{|}^2=N$に代入すると$|c{|}^2=N$なので、正に選べば $c=\sqrt{N}$ よって $\hat{a}|N⟩=\sqrt{N}|N-1⟩$

固有値は整数

数演算子の固有値は整数である。

証明
固有値$N$が整数でないとする。 上述のように、ある固有値$N$に対する固有ベクトル$|N⟩$に消滅演算子を作用させると$|N-1⟩$ができる。 $\hat{a}|N⟩=\sqrt{N}|N-1⟩$ よって消滅演算子をくり返し作用させていくと、いつかは$N<0$である$|N⟩$が作れてしまい、$N$の非負性と矛盾する。 固有値$N$が整数だと、$N=0$に対する固有ベクトル$|0⟩$に消滅演算子が作用すると以下のようにベクトルは消えてしまい、$N<0$の$|N⟩$が作れないことがわかる。 $\hat{a}|0⟩=0$ よって$N$の非負性と整合している。

よって数演算子の固有値は非負の整数である。

固有ベクトルへの生成演算子の作用

固有ベクトルに生成演算子が作用すると、

${\hat{a}}^{†}|N⟩=\sqrt{N+1}|N+1⟩$

となる。真空状態$|0⟩$に生成演算子N回作用させた場合は、

$({\hat{a}}^{†}{)}^N|0⟩=\sqrt{N!}|N⟩$

よって、

$|N⟩=\frac{1}{\sqrt{N!}}({\hat{a}}^{†}{)}^N|0⟩$

n粒子状態

数演算子はフォック空間で作用する。与えられているフォック状態 テンプレート:Math は1粒子基底状態 テンプレート:Math から成る。

$|\mathrm{\Psi }{⟩}_{\nu }=|{\varphi }_1,{\varphi }_2,\dots ,{\varphi }_n{⟩}_{\nu }$

ここで数演算子を生成消滅演算子 テンプレート:Math, テンプレート:Math を用いて以下のように定義する。

$\widehat{N_i}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\hat{a}}^{†}({\varphi }_i)\hat{a}({\varphi }_i)$

数演算子は以下の性質を持つ。

$\widehat{N_i}|\mathrm{\Psi }{⟩}_{\nu }=N_i|\mathrm{\Psi }{⟩}_{\nu }$

ここで テンプレート:Math は状態 テンプレート:Math の粒子の数である。

証明

$\begin{array}{cc}\hat{a}({\varphi }_i)|{\varphi }_1,{\varphi }_2,\dots ,{\varphi }_{i-1},{\varphi }_i,{\varphi }_{i+1},\dots ,{\varphi }_n{⟩}_{\nu }& =\sqrt{N_i}|{\varphi }_1,{\varphi }_2,\dots ,{\varphi }_{i-1},{\varphi }_{i+1},\dots ,{\varphi }_n{⟩}_{\nu }\\ {\hat{a}}^{†}({\varphi }_i)|{\varphi }_1,{\varphi }_2,\dots ,{\varphi }_{i-1},{\varphi }_{i+1},\dots ,{\varphi }_n{⟩}_{\nu }& =\sqrt{N_i}|{\varphi }_1,{\varphi }_2,\dots ,{\varphi }_{i-1},{\varphi }_i,{\varphi }_{i+1},\dots ,{\varphi }_n{⟩}_{\nu }\end{array}$ よって $\begin{array}{cc}\widehat{N_i}|\mathrm{\Psi }{⟩}_{\nu }& ={\hat{a}}^{†}({\varphi }_i)\hat{a}({\varphi }_i)|{\varphi }_1,{\varphi }_2,\dots ,{\varphi }_{i-1},{\varphi }_i,{\varphi }_{i+1},\dots ,{\varphi }_n{⟩}_{\nu }\\ & =\sqrt{N_i}{\hat{a}}^{†}({\varphi }_i)|{\varphi }_1,{\varphi }_2,\dots ,{\varphi }_{i-1},{\varphi }_{i+1},\dots ,{\varphi }_n{⟩}_{\nu }\\ & =\sqrt{N_i}\sqrt{N_i}|{\varphi }_1,{\varphi }_2,\dots ,{\varphi }_{i-1},{\varphi }_i,{\varphi }_{i+1},\dots ,{\varphi }_n{⟩}_{\nu }\\ & =N_i|\mathrm{\Psi }{⟩}_{\nu }\end{array}$

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• Second quantization notes by Fradkin

関連項目

• 調和振動子
• 第二量子化
• 場の量子論
• 粒子数