方正函数のソースを表示

[[数学]]における'''方正函数'''<ref>ブルバキ『数学原論 実一変数関数 1』p. 52.</ref>（ほうせいかんすう、{{lang-en-short|''regulated function'', ''ruled function''}}）は、「素性のよい」("well-behaved") 実一変数の函数である。方正函数の概念は[[可積分函数]]の一つのクラスとして生じたものであり、その特徴付けにはいくつか方法がある。方正函数は1954年に{{仮リンク|ゲオルク・オーマン|de|Georg Aumann}}が導入し、対応する[[方正積分|積分]]を[[ジャン・デュドネ]]を含む数学結社[[ニコラ・ブルバキ|ブルバキ]]が提唱した。

== 定義 ==
以下 {{mvar|X}} は[[ノルム]] {{math|{{norm|&ndash;}}<sub>''X''</sub>}} を備える[[バナッハ空間]]とする。函数 {{math|''f'': [0,&thinsp;''T''] → ''X''}} が'''方正函数'''であるとは、以下の同値な条件のうちの何れか一方（したがって両方）を満足することを言う {{harv|Dieudonné|1969|loc=§7.6}}:
* 任意の {{math|''t'' &isin; [0,&thinsp;''T'']}} に対して[[片側極限|左側極限 {{math|''f''(''t''−)}} および右側極限 {{math|''f''(''t''+)}}]] がともに {{mvar|X}} において存在する（自明な注意ではあるが {{math|''f''(0−)}} および {{math|''f''(''T''+)}} は除いて言う）;
* 適当な[[階段函数]][[列 (数学)|列]] {{math|''φ''<sub>''n''</sub>: [0,&thinsp;''T''] → ''X''}} で[[一様収斂|一様に]]（つまり[[一様ノルム]] {{math|{{norm|&ndash;}}<sub>∞</sub>}} に関して）{{mvar|f}} に収斂するものが存在する。

これら2つの条件が同値であることを知るには少しく手を動かす必要があるが、後の条件を次に示す形に言い換えるのは比較的容易である:
* 各 {{math|''δ'' &gt; 0}} に対し、以下を満たす階段函数 {{math|''φ''<sub>''δ''</sub>: [0,&thinsp;''T''] → ''X''}} が取れる:
*: <math>\| f - \varphi_{\delta} \|_{\infty} = \sup_{t \in [0, T]} \| f(t) - \varphi_{\delta} (t) \|_{X} < \delta.</math>
* {{mvar|f}} は[[閉区間]] {{math|[0,&thinsp;]}} から {{mvar|X}} への階段函数全体の成す空間 {{math|Step([0,&thinsp;''T'']; ''X'')}} の[[閉包]]に属する（閉包は一様ノルムに関する意味で {{math|[0,&thinsp;''T'']}} から {{mvar|X}} への有界函数全体の成す空間 {{math|B([0,&thinsp;''T'']; ''X'')}} において取る）。

== 方正函数の性質 ==
以下、方正函数 {{math|''f'': [0,&thinsp;''T''] → ''X''}} 全体の成す集合を {{math|Reg([0,&thinsp;''T''];&nbsp;''X'')}} と書くことにする。

* 空間 {{mvar|X}} が[[可換体|体]] {{math|'''K'''}}（典型的には[[実数]]体 {{math|'''R'''}} あるいは[[複素数]]体 {{math|'''C'''}}）上の[[ベクトル空間]]であるとき、方正函数同士の和およびスカラー倍はふたたび方正である。即ち、{{math|Reg([0,&thinsp;''T''];&nbsp;''X'')}} は同じ体 {{math|'''K'''}} 上の[[ベクトル空間]]を成す。{{mvar|X}} が乗法を備えるならば、方正函数の（{{仮リンク|点ごとの|en|pointwise}}）積もまた方正である。即ち、{{mvar|X}} が {{math|'''K'''}}-[[体上の多元環|多元環]]ならば {{math|Reg([0,&thinsp;''T''];&nbsp;''X'')}} もそうである。
* 一様ノルムは {{math|Reg([0,&thinsp;''T''];&nbsp;''X'')}} 上の[[ノルム]]を与え、一様ノルムの誘導する位相に関して {{math|Reg([0,&thinsp;''T''];&nbsp;''X'')}} は[[位相線型空間]]を成す。
* 既述の通り {{math|Reg([0,&thinsp;''T''];&nbsp;''X'')}} は {{math|B([0,&thinsp;''T''];&nbsp;''X'')}} における {{math|Step([0,&thinsp;''T''];&nbsp;''X'')}} の一様ノルムに関する閉包である。
* {{mvar|X}} が[[バナッハ空間]]ならば {{math|Reg([0,&thinsp;''T''];&nbsp;''X'')}} もまた一様ノルムに関してバナッハ空間を成す。
* {{math|Reg([0,&thinsp;''T'']; '''R''')}} は実無限次元[[バナッハ代数]]を成す。即ち、方正函数からなる有限線型結合および積は、やはり方正である。
* （{{math|[0, ''T'']}} のような）[[コンパクト空間]]上の[[連続写像]]は自動的に[[一様連続]]となるから、任意の連続函数 {{math|''f'': [0,&thinsp;''T''] → ''X''}} は方正である。実は一様ノルムに関して、連続函数全体の成す空間 {{math|''C''<sup>0</sup>([0,&thinsp;''T''];&nbsp;''X'')}} は {{math|Reg([0,&thinsp;''T''];&nbsp;''X'')}} の閉部分空間になる。
* {{mvar|X}} がバナッハ空間ならば、[[有界変動函数|有界変動]]函数全体の成す空間 {{math|BV([0,&thinsp;''T''];&nbsp;''X'')}} は {{math|Reg([0,&thinsp;''T''];&nbsp;''X'')}} の[[稠密集合|稠密]]部分空間を成す。式で書けば:
*: <math>\operatorname{Reg}([0, T]; X) = \overline{\operatorname{BV}([0, T]; X)} \quad(\text{w.r.t. } \| \cdot \|_{\infty}).</math>
* {{mvar|X}} がバナッハ空間のとき、函数 {{math|''f'': [0, ''T''] → ''X''}} が方正となる[[必要十分条件]]はそれが適当な荷重 {{mvar|φ}} に対する重み {{mvar|φ}}-付き有界変動 (bounded {{mvar|φ}}-variation) となることである。即ち
*: <math>\operatorname{Reg}([0, T]; X) = \bigcup_{\varphi} \operatorname{BV}_{\varphi} ([0, T]; X).</math>
* {{mvar|X}} が[[可分空間|可分]][[ヒルベルト空間]]ならば {{math|Reg([0,&thinsp;''T''];&nbsp;''X'')}} は{{仮リンク|フランコワ&ndash;ヘリー選択定理|en|Fraňková-Helly selection theorem}}と呼ばれるコンパクト性定理を満足する。
* 方正函数の[[不連続点]]全体の成す集合は[[可算]]である（これを示すには、各 {{math|''ε'' > 0}} に対して、左右の片側極限の差が {{mvar|ε}} より大きくなる点が有限個であることを見れば十分である）。特に不連続点集合は{{仮リンク|零集合|en|Null set|preserve=1}}となり、従って方正函数は[[well-defined|矛盾なく定まる]][[リーマン積分]]を持つ。
* 階段函数に対して自明な仕方で定義される積分は、各方正函数に対してそれを一様極限に持つ任意の階段函数列の積分の極限を考えることにより、自然に {{math|Reg([0,&thinsp;''T''];&nbsp;''X'')}} まで拡張できる。この拡張は [[well-defined]] であり、積分の持つ通常の性質をすべて満足する。特にこの[[方正積分]]は:
** {{math|Reg([0,&thinsp;''T''];&nbsp;''X'')}} から {{mvar|X}} への[[有界線型写像]]である。故に {{math|''X'' {{=}} '''R'''}} の場合には、この積分は {{math|Reg([0,&thinsp;''T'']; '''R''')}} の[[連続的双対|双対空間]]の元になっている;
** [[リーマン積分]]に一致する。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{citation
| first = Georg
| last = Aumann
| title = Reelle Funktionen
| language = German
| series = Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, Bd LXVIII
| publisher = Springer-Verlag
| location = Berlin
| year = 1954
| pages = viii+416
}} {{MathSciNet| id = 0061652}}
* {{citation
| first = Jean
| last = Dieudonné
| authorlink = Jean Dieudonné
| title = Foundations of Modern Analysis
| publisher = Academic Press
| year = 1969
| pages = xviii+387
}} {{MathSciNet | id = 0349288}}
* {{citation
| last = Fraňková
| first = Dana
| title = Regulated functions
| journal = Math. Bohem.
| volume = 116
| year = 1991
| pages = 20–59
| issn = 0862-7959
| issue = 1
}} {{MathSciNet | id = 1100424}}
* {{citation
| last = Gordon
| first = Russell A.
| title = The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock
| series = [[Graduate Studies in Mathematics]], 4
| publisher = American Mathematical Society
| location = Providence, RI
| year = 1994
| pages = xii+395
| isbn = 0-8218-3805-9
}} {{MathSciNet | id = 1288751}}
* {{citation
| last = Lang
| first = Serge
| authorlink = Serge Lang
| title = Differential Manifolds
| edition = Second
| publisher = Springer-Verlag
| location = New York
| year = 1985
| pages = ix+230
| isbn = 0-387-96113-5
}}

{{MathSciNet | id = 772023}}

{{DEFAULTSORT:ほうせいかんすう}}
[[Category:実解析]]
[[Category:関数の種類]]
[[Category:数学に関する記事]]