既約元のソースを表示

[[抽象代数学]]において、[[整域]]の 0 でも[[可逆元|単元]]でもない元は、それが2つの非単元の積でないときに、'''既約'''（{{lang-en-short|irreducible}}）であると言う。すなわち、整域<math display="inline">R</math>について<math>a \in R</math>が0でも単元でもない元であるとき「ある<math>b,c \in R</math>を用いて<math>a=bc</math>と分解されたなら常に<math>b</math>か<math>c</math>のいずれかは単元」を満たすならば<math>a</math>は既約元であるという<ref>{{Cite book|和書 |title=代数学２　環と体とガロア理論 |date=2022年10月30日　第1版第12刷 |year=2022 |publisher=日本評論社 |page=56}}</ref>。

既約元を[[素元]]と混同してはならない。（[[可換環]] {{mvar|R}} の0でも単元でもない元 {{mvar|a}} は、{{mvar|R}} のある元 {{mvar|b}} と {{mvar|c}} に対して {{math|''a'' {{!}} ''bc''}} であるときにはいつでも {{math|''a'' {{!}} ''b''}} または {{math|''a'' {{!}} ''c''}} であるようなときに、素元と呼ばれる。）[[整域]]において、素元は既約元である<ref group="注">素元 {{mvar|p}} が既約元であることの証明。{{math|''p'' {{=}} ''ab''}} とする。すると {{mvar|p}} は素元なので {{math|''p'' {{!}} ''a''}} または {{math|''p'' {{!}} ''b''}} である。{{math|''p'' {{!}} ''a''}} であるとして、{{math|''a'' {{=}} ''pc''}} としよう。すると {{math|''p'' {{=}} ''ab'' {{=}} ''pcb''}} となるので {{math|''p''&thinsp;(1 &minus; ''cb'') {{=}} 0}} である。{{mvar|R}} は整域なので {{math|''cb'' {{=}} 1}} である。したがって {{mvar|b}} は単元であり {{mvar|p}} は既約である。</ref><ref name=Sha54>Sharpe (1987) p.54</ref>。逆は[[一意分解整域]]に対しては正しい<ref name=Sha54/>（あるいはより一般に、[[GCD整域]]に対しても正しい）が、一般の整域に対しては''成り立たない''。

さらに、素元で生成されたイデアルが[[素イデアル]]であるのに対して、既約元で生成されたイデアルは一般には[[既約イデアル]]であるとは限らない。しかしながら、{{mvar|D}} が GCD 整域であり、{{mvar|x}} が {{mvar|D}} の既約元であれば、{{mvar|x}} で生成されたイデアルは {{mvar|D}} の素イデアル（したがって既約イデアル）''である''<ref>{{Cite web|和書|url=http://planetmath.org/encyclopedia/IrreducibleIdeal.html |title=アーカイブされたコピー |accessdate=2009-03-18 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20100620170712/http://planetmath.org/encyclopedia/IrreducibleIdeal.html |archivedate=2010-06-20 |url-status=dead|url-status-date=2017-10 }}</ref>。

== 例 ==
二次の整数環 <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> において、ノルムを使った議論で数 3 が既約であることが証明できる。しかしながら、3 はこの環で素元ではない。なぜならば、例えば、
:<math>3 \mid \left(2 + \sqrt{-5}\right)\left(2 - \sqrt{-5}\right)=9</math> 

であるが、<math>3</math> は2つの因数のいずれも割り切らない<ref>William W. Adams and Larry Joel Goldstein (1976), ''Introduction to Number Theory'', p. 250, Prentice-Hall, Inc., ISBN 0-13-491282-9</ref>。

== 関連項目 ==
* [[既約多項式]]

== 脚注 ==
===注===
{{reflist|group="注"}}
===出典===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book | last=Sharpe | first=David | title=Rings and factorization | zbl=0674.13008 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1987 | isbn=0-521-33718-6 }}

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[[Category:環論]]
[[Category:数学に関する記事]]