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'''昇鎖条件'''（しょうさじょうけん、{{lang-en-short|ascending chain condition; ACC}}）および'''降鎖条件'''（こうさじょうけん、{{lang-en-short|descending chain condition; DCC}}）とは、ある[[代数的構造]]が満たす有限性に関する性質である。これらの性質を持つ代数的構造で最も代表的なものに、[[可換環]]の[[イデアル]]がある{{sfn|Hazewinkel|Gubareni|Kirichenko|2004|p=6|loc=Prop. 1.1.4}}{{sfn|Fraleigh|Katz|1967|p=366|loc=Lemma 7.1}}{{sfn|Jacobson|2009|pp=142, 147}}。昇鎖条件および降鎖条件は、[[ダフィット・ヒルベルト]]、[[エミー・ネーター]]、[[エミール・アルティン]]らが可換環の構造に関する理論を構築する上で、重要な役割を果たした。
<!--In mathematics, the '''ascending chain condition (ACC)''' and '''descending chain condition (DCC)''' are finiteness properties satisfied by some algebraic structures, most importantly, [[Ideal (ring theory)|ideal]]s in certain [[commutative ring]]s.<ref>Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko (2004), p.6, Prop. 1.1.4.</ref><ref>Fraleigh & Katz (1967), p. 366, Lemma 7.1</ref><ref>Jacobson (2009), p. 142 and 147</ref> These conditions played an important role in the development of the structure theory of commutative rings in the works of [[David Hilbert]], [[Emmy Noether]], and [[Emil Artin]].-->

昇鎖条件および降鎖条件それ自体は、いかなる[[半順序集合]]に対しても意味を持つような、抽象的な形式で表すことができる。この考え方は Gabriel&ndash;Rentschler による抽象代数の次元に関する理論において有用である。
<!--The conditions themselves can be stated in an abstract form, so that they make sense for any [[partially ordered set]]. This point of view is useful in abstract algebraic dimension theory due to Gabriel and Rentschler.-->


== 定義 ==
[[半順序集合]] {{mvar|P}} において、任意の真の上昇列 {{math|''a''<sub>1</sub> &lt; ''a''<sub>2</sub> &lt; ''a''<sub>3</sub> &lt; ...}} が有限回で止まるときに'''昇鎖条件'''が成り立つと言う。この条件は次のようにも言い換えられる。任意の列
:<math>a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \cdots</math>
に対して、ある自然数 {{mvar|n}} が存在して、
:<math>a_n = a_{n+1} = a_{n+2} = \cdots</math>
が成り立つ。

同様に、半順序集合 {{mvar|P}} において、任意の真の下降列 {{math|''a''<sub>1</sub> &gt; ''a''<sub>2</sub> &gt; ''a''<sub>3</sub> &gt; ...}} が有限回で止まるときに'''降鎖条件'''が成り立つと言う。この条件は次のようにも言い換えられる。任意の列
:<math>a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots</math>
に対して、ある自然数 {{mvar|n}} が存在して、
:<math>a_n = a_{n+1} = a_{n+2} = \cdots</math>
が成り立つ。

=== 注釈 ===
* 「無限に続く真の上昇／下降列がない」ことと少し異なるそれよりも強い条件として、「任意に長い真の昇鎖／降鎖列が存在しない」（つまり列の長さの最大値が存在する）というものがある。
* 降鎖条件を満たすことと、[[整礎関係|整礎]]であること、つまり任意の空でない部分集合が極小元をもつことは同値である。これは'''極小条件''' {{en|(minimal condition)}} とも呼ばれる。
* 昇鎖条件を満たすことと、逆整礎であること、つまり任意の空でない部分集合が極大元をもつことは同値である。これは'''極大条件''' {{en|(maximal condition)}} とも呼ばれる。
* 有限半順序集合は昇鎖条件と降鎖条件を満たす。
* 降鎖条件を満たす全順序集合は[[整列集合]]と呼ばれる。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[アルティン環]]・[[アルティン加群]]
* [[ネーター環]]・[[ネーター加群]]
* [[クルル次元]]
* [[主イデアルに対する昇鎖条件]]
* [[半群#半群準同型と半群合同|半群合同における極大条件]]

== 参考文献 ==
* {{cite book|first1=M. F.|last1=Atiyah|authorlink1=M. F. Atiyah|first2=I. G.|last2=MacDonald|title=[[:en:Introduction to Commutative Algebra|Introduction to Commutative Algebra]]|publisher=Perseus Books|year=1969|isbn=0-201-00361-9|ref=harv}}
* {{cite book|first1=Michiel|last1=Hazewinkel|authorlink1=:en:Michiel Hazewinkel|first2=Nadiya|last2=Gubareni|first3=V. V.|last3=Kirichenko|title=Algebras, rings and modules|publisher=[[シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア|Kluwer Academic Publishers]]|year=2004|isbn=1-4020-2690-0|ref=harv}}
* {{cite book|first1=John B.|last1=Fraleigh|first2=Victor J.|last2=Katz|title=A first course in abstract algebra|publisher=Addison-Wesley Publishing Company|edition=5|year=1967|isbn=0-201-53467-3|ref=harv}}
* {{cite book|first=Nathan|last=Jacobson|authorlink=:en:Nathan Jacobson|title=Basic Algebra|volume=I|publisher=Dover|year=2009|isbn=978-0-486-47189-1|ref=harv}}

{{DEFAULTSORT:しようさしようけん}}
[[Category:順序構造]]
[[Category:数学に関する記事]]