昇鎖条件

昇鎖条件（しょうさじょうけん、テンプレート:Lang-en-short）および降鎖条件（こうさじょうけん、テンプレート:Lang-en-short）とは、ある代数的構造が満たす有限性に関する性質である。これらの性質を持つ代数的構造で最も代表的なものに、可換環のイデアルがあるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。昇鎖条件および降鎖条件は、ダフィット・ヒルベルト、エミー・ネーター、エミール・アルティンらが可換環の構造に関する理論を構築する上で、重要な役割を果たした。

昇鎖条件および降鎖条件それ自体は、いかなる半順序集合に対しても意味を持つような、抽象的な形式で表すことができる。この考え方は Gabriel–Rentschler による抽象代数の次元に関する理論において有用である。

定義

半順序集合テンプレート:Mvar において、任意の真の上昇列テンプレート:Math が有限回で止まるときに昇鎖条件が成り立つと言う。この条件は次のようにも言い換えられる。任意の列

a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq \dots

に対して、ある自然数テンプレート:Mvar が存在して、

a_{n} = a_{n + 1} = a_{n + 2} = \dots

が成り立つ。

同様に、半順序集合テンプレート:Mvar において、任意の真の下降列テンプレート:Math が有限回で止まるときに降鎖条件が成り立つと言う。この条件は次のようにも言い換えられる。任意の列

a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3} \geq \dots

に対して、ある自然数テンプレート:Mvar が存在して、

a_{n} = a_{n + 1} = a_{n + 2} = \dots

が成り立つ。

「無限に続く真の上昇／下降列がない」ことと少し異なるそれよりも強い条件として、「任意に長い真の昇鎖／降鎖列が存在しない」（つまり列の長さの最大値が存在する）というものがある。
降鎖条件を満たすことと、整礎であること、つまり任意の空でない部分集合が極小元をもつことは同値である。これは極小条件 テンプレート:En とも呼ばれる。
昇鎖条件を満たすことと、逆整礎であること、つまり任意の空でない部分集合が極大元をもつことは同値である。これは極大条件 テンプレート:En とも呼ばれる。
有限半順序集合は昇鎖条件と降鎖条件を満たす。
降鎖条件を満たす全順序集合は整列集合と呼ばれる。