星状領域のソースを表示

[[Image:Star domain.svg|right|thumb|星状領域（星状凸あるいは星状集合とも呼ばれる）は、必ずしも通常の意味での[[凸集合|凸]]ではない。]]
[[Image:Not-star-shaped.svg|right|thumb|[[アニュラス]]は星状領域ではない。]]

[[数学]]において、[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> のある[[集合]] ''S'' が'''星状領域'''（せいじょうりょういき、{{Lang-en-short|star domain}}）あるいは'''星状凸集合'''、'''星状集合'''または'''放射凸集合'''であるとは、''S'' 内のある ''x''<sub>0</sub> に対し、それと ''S'' 内の任意の ''x'' を結ぶ[[線分]]が ''S'' に含まれることをいう。この定義は直ちに、任意の[[実数|実]]あるいは[[複素数|複素]][[ベクトル空間]]に一般化される。

直感的に、''S'' をある壁で囲われた領域としたとき、''S'' 内の任意の場所 ''x'' に視線を送ることが出来るある場所 ''x''<sub>0</sub> が ''S'' 内に存在するなら、''S'' は星状領域である。

==例==

* '''R'''<sup>''n''</sup> 内の任意の直線あるいは平面は、星状領域である。
* 直線あるいは平面からある一点が除かれたものは、星状領域ではない。
* ''A'' を '''R'''<sup>''n''</sup> 内の集合とするとき、''A'' 内のすべての点を原点とつなげることで得られる集合 <math>B= \{ ta : a\in A, t\in[0,1] \}</math> は、星状領域である。
* 任意の[[空集合|空]]でない[[凸集合]]は、星状領域である。ある集合が凸であるための必要十分条件は、それがその集合内の任意の点に関して星状領域となることである。
* [[十字]]の形をした領域は星状領域であるが、凸ではない。
* {{仮リンク|星状多角形|en|star-shaped polygon}}は、境界が連結された線分であるような星状領域である。

==性質==

* 星状領域の[[閉包 (位相空間論)|閉包]]も星状領域であるが、星状領域の[[内部 (位相空間論)|内部]]は必ずしも星状領域ではない。
* すべての星状領域は、直線[[ホモトピー]]による[[可縮空間|可縮]]集合である。特に、すべての星状領域は[[単連結空間|単連結]]である。
* すべての星状領域は、それ自身に縮めることが出来る。すなわち、任意の縮小率 ''r''<1 に対して、''r'' で縮小された星状領域は、元の星状領域に含まれる<ref>{{cite web|last1=Drummond-Cole|first1=Gabriel C.|title=What polygons can be shrinked into themselves?|url=http://mathoverflow.net/questions/182346/what-polygons-can-be-shrinked-into-themselves/182349?noredirect=1#comment457326_182349|website=Math Overflow|accessdate=2 October 2014}}</ref>、
* 二つの星状領域の合併や共通部分は、必ずしも星状領域ではない。
* '''R'''<sup>''n''</sup> 内の空でない開の星状領域 ''S'' は、'''R'''<sup>''n''</sup> と[[微分同相]]である。

==関連項目==
* {{仮リンク|美術館問題|en|Art gallery problem}}
* {{仮リンク|星状多角形|en|Star-shaped polygon}}
* [[均衡集合]]

==参考文献==
{{Reflist}}

* Ian Stewart, David Tall, ''Complex Analysis''. Cambridge University Press, 1983, ISBN 0-521-28763-4, {{mr|0698076}}
* C.R. Smith, ''A characterization of star-shaped sets'', [[:en:American Mathematical Monthly|American Mathematical Monthly]], Vol. 75, No. 4 (April 1968). p.&nbsp;386, {{mr|0227724}}, {{jstor|2313423}}

==外部リンク==
{{commons category|Star-shaped sets}}
* {{mathworld|urlname=StarConvex|title=Star convex}}

{{Functional Analysis}}

{{DEFAULTSORT:せいしようりよういき}}
[[Category:ユークリッド幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]