春木の定理のソースを表示

[[File:Illustration for Haruki's Theorem.png|thumb|424x424px]]

'''春木の定理'''（はるきのていり、{{lang-en-short|Haruki's theorem}}）とは、次の主張のことをいう。

{{math theorem|
三円が互いに二点で交わっている。このとき交点を結ぶ線分の長さ {{math|{{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, {{mvar|x}}, {{mvar|y}}, {{mvar|z}}}} は

: <math>\frac{abc}{xyz} = 1</math>

を満たす。<ref>{{MathWorld|title=Haruki's Theorem|urlname=HarukisTheorem}}</ref>
|style=display:table}}

== 証明 ==

長さ {{math|''a'', ''x''}} の辺の交点を {{math|A}}、{{math|''x'', ''b''}} の交点を {{math|Z}}、{{math|''b'', ''y''}} の交点を {{math|B}}、{{math|''y'', ''c''}} の交点を {{math|X}}、{{math|''c'', ''z''}} の交点を {{math|C}}、{{math|''z'', ''a''}} の交点を {{math|Y}} とする。

この時 {{math|AX, BY, CZ}} は一点で交わる（[[根心]]）。この点を {{math|P}} とする。

{{math|△APY}} と {{math|△BPX}} で

: {{math|∠APY {{=}} ∠BPX}} 　(対頂角)
: {{math|∠PAY {{=}} ∠PBX}} 　(弦 {{math|XY}} に対する円周角)

2角が各等しいので

: {{math|△APY ∽ △BPX}}

同様に

: {{math|△BPZ ∽ △CPY}}
: {{math|△CPX ∽ △APZ}}

これより

: <math>\left\{\begin{align}
  \frac{a}{y} &= \frac{\mathrm{PY}}{\mathrm{PX}} \\
  \frac{b}{z} &= \frac{\mathrm{PZ}}{\mathrm{PY}} \\
  \frac{c}{x} &= \frac{\mathrm{PX}}{\mathrm{PZ}}
\end{align}\right.</math>

この3式を掛け合わせると

: <math>\begin{align}
  \frac{a}{y} \frac{b}{z} \frac{c}{x}
  &= \frac{\mathrm{PY}}{\mathrm{PX}} \frac{\mathrm{PZ}}{\mathrm{PY}} \frac{\mathrm{PX}}{\mathrm{PZ}} \\
  &= 1
\end{align}</math>

が示される。

== 関連項目 ==
* [[春木博]]

== 脚注 ==
{{reflist}}

==外部リンク==
http://www.cut-the-knot.org/proofs/HarukiTheorem.shtml - 概要と証明

{{elementary-geometry-stub}}
{{デフォルトソート:はるきのていり}}
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:円に関する定理]]
[[Category:数学に関する記事]]