春木の定理

春木の定理（はるきのていり、テンプレート:Lang-en-short）とは、次の主張のことをいう。

証明

長さ テンプレート:Math の辺の交点を テンプレート:Math、テンプレート:Math の交点を テンプレート:Math、テンプレート:Math の交点を テンプレート:Math、テンプレート:Math の交点を テンプレート:Math、テンプレート:Math の交点を テンプレート:Math、テンプレート:Math の交点を テンプレート:Math とする。

この時 テンプレート:Math は一点で交わる（根心）。この点を テンプレート:Math とする。

テンプレート:Math と テンプレート:Math で

テンプレート:Math 　(対頂角)

テンプレート:Math 　(弦 テンプレート:Math に対する円周角)

2角が各等しいので

テンプレート:Math

同様に

テンプレート:Math

テンプレート:Math

これより

$\{\begin{array}{cc}\frac{a}{y}& =\frac{\mathrm{P}\mathrm{Y}}{\mathrm{P}\mathrm{X}}\\ \frac{b}{z}& =\frac{\mathrm{P}\mathrm{Z}}{\mathrm{P}\mathrm{Y}}\\ \frac{c}{x}& =\frac{\mathrm{P}\mathrm{X}}{\mathrm{P}\mathrm{Z}}\end{array}$

この3式を掛け合わせると

$\begin{array}{cc}\frac{a}{y}\frac{b}{z}\frac{c}{x}& =\frac{\mathrm{P}\mathrm{Y}}{\mathrm{P}\mathrm{X}}\frac{\mathrm{P}\mathrm{Z}}{\mathrm{P}\mathrm{Y}}\frac{\mathrm{P}\mathrm{X}}{\mathrm{P}\mathrm{Z}}\\ & =1\end{array}$

が示される。

関連項目

• 春木博

外部リンク

http://www.cut-the-knot.org/proofs/HarukiTheorem.shtml - 概要と証明