普遍包絡代数のソースを表示

{{出典の明記|date=2014年5月}}
（'''普遍'''）'''包絡代数'''（ふへんほうらくだいすう、{{lang-en-short|universal enveloping algebra}}, {{lang-fr-short|algèbre enveloppante}}）あるいは（'''普遍'''）'''展開代数'''とは、任意の[[リー代数]] <math>\mathfrak{g}</math> から構成される、ある性質を満たす単位的[[結合多元環|結合代数]] <math>U(\mathfrak{g})</math> と準同型写像 <math>i\colon\mathfrak{g}\to U(\mathfrak{g})</math>  の組 <math>(U(\mathfrak{g}), i)</math> のことをいう。

== 定義 ==
<math>\mathfrak{g}</math> を任意の[[リー代数]]とする。このとき以下の普遍性質を満たす[[結合多元環|結合代数]] ''A'' とリー代数の準同型写像 <math>i: \mathfrak{g} \to A</math> の組 <math>(A, i)</math> が存在する（''A'' は交換子積によってリー代数とみる）。任意の結合代数 <math>A'</math> とリー代数準同型写像 <math>i'\colon \mathfrak{g} \to A'</math> に対し、結合代数の準同型写像 <math>f\colon A \to A'</math> で、<math>f \circ i=i'</math> を満たすものが唯一つ存在する。このような <math>(A, i)</math> は同型を除いて一意的に存在し、'''普遍包絡代数'''といい、''A'' を <math>U(\mathfrak{g})</math> で表す:

== 構成 ==
<math>\mathfrak{g}</math> を[[リー代数]]、<math>T(\mathfrak{g})</math> をそのベクトル空間としての[[テンソル代数]]とする。また、<math>\mathcal{I}</math> を <math>x \otimes y - y \otimes x - [x, y]\quad(x, y \in \mathfrak{g})</math> が生成する両側[[イデアル]]とする。これによって
:<math>U(\mathfrak{g})=T(\mathfrak{g})/\mathcal{I}</math>
とする。自然な写像 <math>T(\mathfrak{g}) \to U(\mathfrak{g})</math> を <math>\mathfrak{g}</math> に制限して <math>i\colon \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g})</math> が定まり、<math>(U(\mathfrak{g}), i)</math> は普遍包絡代数になる。

==関連項目==
*{{仮リンク|Poincaré–Birkhoff–Wittの定理|en|Poincaré–Birkhoff–Witt theorem}}

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
* {{cite book
 | last = Humphreys
 | first = James E.
 | year = 1972
 | title = Introduction to Lie Algebras and Representation Theory
 | series = [[Graduate Texts in Mathematics]]
 | publisher = [[Springer-Verlag]]
 | isbn = 978-0-387-90053-7
 | volume = 9
 | ref = harv
}}

== 外部リンク ==
* {{nlab|urlname=universal+enveloping+algebra|title=universal enveloping algebra}}
* {{PlanetMath|urlname=UniversalEnvelopingAlgebra|title=universal enveloping algebra}}
* {{SpringerEOM|urlname=Universal_enveloping_algebra|title=Universal enveloping algebra|author= Popov, V.L.}}

{{Abstract-algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:ふへんほうらくたいすう}}
[[Category:表現論]]
[[Category:リー環論]]
[[Category:リー環の表現論]]
[[Category:数学に関する記事]]