曲率のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年5月13日 (金) 18:07 (UTC)}}
{{Expand English|Curvature|date=2024年5月}}
'''曲率'''（きょくりつ、{{Lang-en-short|curvature}}）とは、[[曲線]]や[[曲面]]の曲がり具合を表す量である<ref>{{Cite Kotobank |word=曲率 |encyclopedia=百科事典マイペディア |accessdate=2022-02-10}}</ref>。

例えば、半径 ''r'' の円周の曲率は 1/''r'' であり、曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる。この概念はより抽象的な図形である[[多様体]]においても用いられる。曲面上の曲線の曲率を最初に研究したのは、[[クリスティアーン・ホイヘンス|ホイヘンス]]とされ、[[アイザック・ニュートン|ニュートン]]の貢献もさることながら、オイラーは曲率の研究に本格的に取り組んだ。その他[[ガスパール・モンジュ|モンジュ]]、[[ヨハン・ベルヌーイ|ベルヌーイ]]、[[ジャン＝バティスト・ムーニエ|ムーニエ]]なども研究した<ref>
{{cite book
|和書
|author=小林昭七
|title=曲線と曲面の微分幾何
|publisher=裳華房
|date=1977年8月20日
|isbn=4785311193
}}</ref>。

== 曲線の曲率 ==
=== 定義 ===
ある任意の曲線において、線上の点 ''P''<sub>0</sub> を基点とし、そこから曲線上の任意点 ''P''（[[位置ベクトル]] '''r'''<sub>''P''</sub> で表されるとする）までの距離を ''s'' とする。（この場合の s は一般座標上の距離か曲線上の長さのいずれでもよい。）

このとき点 ''P'' の位置は、

:<math> \mathbf{r}_P = \mathbf{r}(s) </math>

のように、変数 ''s'' の関数として表すことができる。（以下、特に断らない限り '''r'''<sub>''P''</sub> = '''r''' とする。）

このとき、点 ''P'' で接する方向の[[単位ベクトル]]（これを '''t'''<sub>''P''</sub> とする）は、

:<math> \mathbf{t}_P = \mathbf{t} (s) = \lim_{\Delta s \to 0} {\mathbf{r} (s + \Delta s) - \mathbf{r} (s) \over {\Delta s} } = {d \mathbf{r} \over {ds} }</math>

となる。（位置ベクトルの変位分 ''&Delta;'''''r''' が十分小さいとき、|''&Delta;'''''r'''| = ''&Delta;s'' であるから、これは単位ベクトルである。）

同様に、<math> \mathbf{r}_Q = \mathbf{r} (s + \Delta s) </math> と表される点 ''Q'' を考えるとき、点 ''Q'' 上の単位接線ベクトル '''t'''<sub>''Q''</sub> は、
:<math> \mathbf{t}_Q = \mathbf{t} (s + \Delta s) </math>

であり、二つの単位接線ベクトル '''t'''<sub>''P''</sub> 、'''t'''<sub>''Q''</sub> のなす角度を ''&Delta;&theta;'' とすると、

:<math>{ \left| \mathbf{t}_Q - \mathbf{t}_P \right| \over 2}= \sin {\Delta\theta \over 2}  </math>

である。

''&Delta;&theta;''が十分小さい、すなわち ''&Delta;'''''s''' が十分小さいとき、

:<math> \Delta\theta = \sin\Delta\theta = \left| \mathbf{t}_Q - \mathbf{t}_P \right| </math>

と見做せる。

従って、接線傾斜 ''&Delta;&theta;'' の変動率である χ を以下のように定義できる。

:<math> \chi(s) = { d \mathbf{\theta } \over {ds} }  = \lim_{\Delta s \to 0} {\Delta \theta \over {\Delta s} } = \lim_{\Delta s \to 0} \left| {\mathbf{t} (s + \Delta s)-\mathbf{t} (s) \over {\Delta s} } \right | = \left | { d \mathbf{t} \over {ds} } \right | = \left | { d^2 \mathbf{r} \over {ds}^2 } \right | = {1 \over R(s)} </math>
一般に χ を'''曲率'''、χ の逆数 ''R'' を'''曲率半径'''と言う。

また、特に曲線が高次のとき、&Delta;''s'' &rarr; 0 の[[極限]]で二つの接線によって決まる平面を、点 ''P'' における'''[[接触平面]]'''と言う。

=== 性質 ===
更に、'''t''' を ''s'' で微分すると、

:<math> { d \mathbf{t} \over {ds} } = { d^2 \mathbf{r} \over {ds^2} } = \mathbf{n} {d \theta \over {ds} } = {\mathbf{n} \over R} </math>

が得られる。ここで '''n''' が主法線方向の単位ベクトルであり、主法線と接線は直交している。これは ''d'' '''r'''/''ds'' が単位ベクトルのため、

:<math> \left( {d \mathbf{r} \over {ds} } \right)^2  = \left | { d \mathbf{r} \over {ds} } \right |^2 = 1 </math>

となり、これを ''s'' について微分すると、

:<math> {d \over {ds} } \left( {d \mathbf{r} \over {ds} } \right)^2 = {d^2 \mathbf{r} \over {ds^2} } \cdot {d \mathbf{r} \over {ds} } + {d \mathbf{r} \over {ds} } \cdot {d^2 \mathbf{r} \over {ds^2} } = {\mathbf{n} \over R} \cdot \mathbf{t} + \mathbf{t} \cdot {\mathbf{n} \over R} = 0 </math>

となるためである（ベクトル同士の[[ドット積|内積]]がゼロとなるので、当該ベクトル同士は直交している）。

ベクトル '''t''' と '''n''' の[[クロス積|外積]]、

:<math> \mathbf{t} \times \mathbf{n} = \mathbf{b} </math>

で得られるベクトル '''b''' が陪法線方向の単位ベクトルとなる。陪法線は[[接触平面]]に対する法線となっている。

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
<references />

== 関連項目 ==
* [[ガウス・ボネの定理]]
* [[オイラーの定理 (微分幾何学)]]
* [[ムーニエの定理]]
* [[フレネ・セレの公式]]
* [[捩率]]
* [[物理学]] - [[力学]]
* [[主曲率]] - [[ガウス曲率]]
* [[断面曲率]]
* [[リーマン曲率テンソル]] - [[リッチ曲率]] - [[スカラー曲率]]
* [[曲率形式]]

== 参考文献 ==
* {{cite book |和書| author=小林昭七 | title=曲線と曲面の微分幾何 | edition=改訂版 | year=1995 | publisher=裳華房 | url=http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1091-2.htm | isbn=978-4-7853-1091-2 | ref=harv }}

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{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:きよくりつ}}
[[Category:幾何学]]
[[Category:曲率|*]]
[[Category:数学に関する記事]]