最大最小不等式のソースを表示

[[数学]]における'''最大最小不等式'''（さいだいさいしょうふとうしき、{{Lang-en-short|max-min inequality}}）とは次の不等式のことをいう：任意の空でない函数 <math>f\colon Z \times W \to \mathbb{R}</math> に対し

: <math>
\sup_{z \in Z} \inf_{w \in W} f(z, w) \leq \inf_{w \in W} \sup_{z \in Z} f(z, w) \,
</math>

が成り立つ。等号が成り立つとき、<math>f, W, Z</math> は強最大最小性（あるいは[[鞍点|鞍点性]]）を満たすという。

== 証明 ==
<math> g(z) \triangleq \inf_{w \in W} f(z, w) </math> と定義する。

<math>\implies g(z) \leq f(z, w), \forall z, w </math>

<math>\implies \sup_z g(z) \leq \sup_z f(z, w) , \forall w </math>

<math>\implies \sup_z \inf_w f(z,w) \leq \sup_z f(z, w), \forall w </math>

<math>\implies  \sup_z \inf_w f(z,w) \leq \inf_w \sup_z f(z, w) \qquad \square</math>

== 関連項目 ==
*{{仮リンク|最小最大定理|en|Min-max theorem}}

== 参考文献 ==
*{{citation
|first=Stephen
|last=Boyd
|first2=Lieven
|last2=Vandenberghe
|title=Convex Optimization
|publisher=[[ケンブリッジ大学出版局|Cambridge University Press]] 
|year=2004}}

*"Max Min of function less than Min max of function", http://math.stackexchange.com/q/186697/61602

{{DEFAULTSORT:さいたいさいしようふとうしき}}
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