最大最小不等式

数学における最大最小不等式（さいだいさいしょうふとうしき、テンプレート:Lang-en-short）とは次の不等式のことをいう：任意の空でない函数 $f:Z\times W\to ℝ$ に対し

$\underset{z\in Z}{\sup }\underset{w\in W}{\inf }f(z,w)\le \underset{w\in W}{\inf }\underset{z\in Z}{\sup }f(z,w)$

が成り立つ。等号が成り立つとき、$f,W,Z$ は強最大最小性（あるいは鞍点性）を満たすという。

証明

$g(z)\triangleq \underset{w\in W}{\inf }f(z,w)$ と定義する。

$⟹g(z)\le f(z,w),\mathrm{\forall }z,w$

$⟹\underset{z}{\sup }g(z)\le \underset{z}{\sup }f(z,w),\mathrm{\forall }w$

$⟹\underset{z}{\sup }\underset{w}{\inf }f(z,w)\le \underset{z}{\sup }f(z,w),\mathrm{\forall }w$

$⟹\underset{z}{\sup }\underset{w}{\inf }f(z,w)\le \underset{w}{\inf }\underset{z}{\sup }f(z,w)◻$

関連項目

• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Citation

• "Max Min of function less than Min max of function", http://math.stackexchange.com/q/186697/61602