最小の非可算順序数のソースを表示

'''最小の非可算順序数'''（''{{Lang-en-short|First uncountable ordinal}}''）ω<sub>1</sub>の存在は、[[選択公理]]によらずに示すことができる（[[ハルトークス数]]を参照）。ω<sub>1</sub>は[[極限順序数]]で、すべての[[可算]]な[[順序数]]を含む[[非可算集合]]である。ときに Ω とも表記される。その濃度は最小の非可算[[基数]] ℵ<sub>1</sub> に等しい。

==位相的性質==
任意の順序数は、[[順序集合#順序位相|順序位相]]の入った[[位相空間]]と捉えることができる。位相空間 [0,ω<sub>1</sub>) および [0,ω<sub>1</sub>] は、いくつかの興味深い性質を持っている。

* [0,ω<sub>1</sub>) は[[点列コンパクト]]であるが[[コンパクト空間#ハイネ・ボレル性によるコンパクト性の定義|コンパクト]]ではない。任意の[[距離空間]]においてその二つは同値であるから、[0,ω<sub>1</sub>) は'''[[距離化定理|距離化不可能]]'''である。
* [[可算コンパクト空間|可算コンパクト]]ではあるため、 [0,ω<sub>1</sub>) はコンパクトでない可算コンパクト空間の例になっている。
* [0,ω<sub>1</sub>) は[[第一可算公理]]を満たすが[[可分]]でも[[第二可算的空間|第二可算的]]でもない。
* ω<sub>1</sub> は[0,ω<sub>1</sub>) の[[極限点]]であるが、 [0,ω<sub>1</sub>) 内の可算な点列で ω<sub>1</sub> に収束するものは存在しない。なぜなら、可算集合の可算和はまた可算集合になるからである。よって [0, ω<sub>1</sub>] においてω<sub>1</sub> は可算な基本近傍系を持てず、[0, ω<sub>1</sub>] は第一可算公理を満たさない。
* ω<sub>1</sub> から実数 <math>\mathbb{R}</math> への任意の連続関数 f は、ある順序数から先が[[定数関数]]になる。即ち、ある<math>\beta \in \omega_1</math>と実数<math>c \in \mathbb{R}</math>が存在して、<math>\beta < \alpha </math> ならば <math>f(\alpha) = c</math>となる<ref>{{cite web|last=Bellenot|first=Steven|title="The set ω1, the first uncountable ordinal"|url=http://www.math.fsu.edu/~bellenot/class/su08/found/other/omega-one.pdf|accessdate=27 August 2015}}</ref>。

他にも ω<sub>1</sub> は、[[長い直線]]や[[:en:Tychonoff plank|Tychonoff plank]]といった、位相空間論における重要な反例を作り出すために用いられている。

==連続体仮説==
{{Main|連続体仮説}}
[[連続体仮説]]とは『[[連続濃度]]はω<sub>1</sub>の濃度と等しい』という命題で、[[19世紀]]に[[ゲオルク・カントール|カントル]]によって提唱された。現在では、[[公理的集合論|ZFC]]において証明も反証もできない命題であることが知られている。この仮説との関連で、ω<sub>1</sub> の[[べき集合]] <math> \mathcal P(\omega_1)</math> の構造も研究されている<ref>{{cite web|last=TODORCEVIC|first=STEVO|title="THE POWER-SET OF ω1 AND THE CONTINUUM PROBLEM"|url=http://logic.harvard.edu/Todorcevic_Structure4.pdf|publisher=arxiv.org|accessdate=27 August 2015}}</ref>。

==関連項目==
* [[非可算集合]]
* [[極限順序数]]
* [[正則基数]]
* [[ボレル集合]]

==出典==
{{Reflist}}

==参考文献==
* Thomas Jech, ''Set Theory'', 3rd millennium ed., 2003, Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-44085-2.
* Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., ''[[Counterexamples in Topology]]''. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).
* [[志賀浩二]] 『無限からの光芒―ポーランド学派の数学者たち』1988、日本評論社 ISBN 978-4535781610
{{集合論}}
{{DEFAULTSORT:さいしようのひかさんしゆんしよすう}}
[[Category:順序数]]
[[Category:位相空間]]
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