有効状態密度のソースを表示

[[半導体]]において'''有効状態密度'''とは、[[伝導帯]]の[[電子]]密度や[[価電子帯]]の[[正孔]]密度を表すときに用いられる[[状態密度]]である。

== 半導体のキャリア密度 ==
[[file:Fermi-Dirac_product_with_Density_of_States.svg|thumb|350px|オレンジ：半導体の状態密度（上は伝導帯、下は価電子帯）、青：フェルミ分布、緑：キャリア密度（上は電子、下は正孔）]]
伝導帯<math>E_C</math>の電子密度<math>n</math>と価電子帯<math>E_V</math>の正孔密度<math>p</math>は次のように与えられる。
:<math>n=\frac{1}{V}\int_{E_C}^{\infty} D_{C}(E)f(E)dE</math>
:<math>p=\frac{1}{V}\int_{-\infty}^{E_V} D_{V}(E)\{1-f(E)\}dE</math>
ここで<math>D_C(E)</math>は伝導帯の状態密度、<math>D_V(E)</math>は価電子帯の状態密度、<math>f(E)</math>は[[フェルミ分布]]である。伝導帯の電子と価電子帯の正孔の状態密度は、[[自由電子]]の状態密度の質量を[[状態密度有効質量]]に置き換えるだけでよい。
:<math>D_C(E)=\frac{V}{2\pi^2}\left(\frac{2m_e^*}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt{E-E_C}</math>
:<math>D_V(E)=\frac{V}{2\pi^2}\left(\frac{2m_h^*}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt{E_V-E}</math>
ここで<math>m_e^*</math>は電子の状態密度有効質量、<math>m_h^*</math>は正孔の状態密度有効質量である。また温度について次式を仮定すると、フェルミ分布は[[ボルツマン分布]]に近似でき、[[非縮退半導体]]となる。
:<math>E_C-E_F>3kT</math>
:<math>E_F-E_V>3kT</math>
ただし<math>E_F</math>は[[フェルミ準位]]である。これら結果、電子密度と正孔密度は次のように与えられる。
:<math>n=N_C\exp\left(\frac{E_F-E_C}{kT}\right)</math>
:<math>p=N_V\exp\left(\frac{E_V-E_F}{kT}\right)</math>
:<math>N_C=2\left(\frac{m_e^*kT}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2}</math>
:<math>N_V=2\left(\frac{m_h^*kT}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2}</math>
ここで<math>N_C</math>は'''伝導帯の有効状態密度'''、<math>N_V</math>は'''価電子帯の有効状態密度'''と呼ばれる。また[[真性半導体]]の[[フェルミ準位]]を<math>E_i</math>、[[真性キャリア密度]]を<math>n_i</math>とすると、有効状態密度は次のように表せる。
:<math>N_C=n_i\exp\left(\frac{E_C-E_i}{kT}\right)</math>
:<math>N_V=n_i\exp\left(\frac{E_i-E_V}{kT}\right)</math>
よって伝導帯の電子密度と価電子帯の正孔密度は次のように書ける。
:<math>n=n_i\exp\left(\frac{E_F-E_i}{kT}\right)</math>
:<math>p=n_i\exp\left(\frac{E_i-E_F}{kT}\right)</math>
これより以下の関係が非縮退半導体について成り立つ。
:<math>np=n_i^2</math>

== 参考文献 ==
{{ページ番号|section=1|date=2018年11月23日 (金) 19:27 (UTC)}}
* {{Cite book|和書|author1=B.L.アンダーソン|author2=R.L.アンダーソン|date=|title=半導体デバイスの基礎|series=|volume=上巻（半導体物性）|translator=樺沢宇紀|publisher=丸善出版|isbn=978-4621061473|ncid=BB09996372|oclc=793577200|asin=462106147X|year=2012|pages=97-101}}

{{DEFAULTSORT:ゆうこうしようたいみつと}}
[[Category:半導体]]
[[Category:固体物理学]]