有効状態密度

半導体において有効状態密度とは、伝導帯の電子密度や価電子帯の正孔密度を表すときに用いられる状態密度である。

半導体のキャリア密度

伝導帯 $E_{C}$ の電子密度 $n$ と価電子帯 $E_{V}$ の正孔密度 $p$ は次のように与えられる。

n = \frac{1}{V} \int_{E_{C}}^{\infty} D_{C} (E) f (E) d E

p = \frac{1}{V} \int_{- \infty}^{E_{V}} D_{V} (E) {1 - f (E)} d E

ここで $D_{C} (E)$ は伝導帯の状態密度、 $D_{V} (E)$ は価電子帯の状態密度、 $f (E)$ はフェルミ分布である。伝導帯の電子と価電子帯の正孔の状態密度は、自由電子の状態密度の質量を状態密度有効質量に置き換えるだけでよい。

D_{C} (E) = \frac{V}{2 π^{2}} {(\frac{2 m_{e}^{*}}{ℏ^{2}})}^{3 / 2} \sqrt{E - E_{C}}

D_{V} (E) = \frac{V}{2 π^{2}} {(\frac{2 m_{h}^{*}}{ℏ^{2}})}^{3 / 2} \sqrt{E_{V} - E}

ここで $m_{e}^{*}$ は電子の状態密度有効質量、 $m_{h}^{*}$ は正孔の状態密度有効質量である。また温度について次式を仮定すると、フェルミ分布はボルツマン分布に近似でき、非縮退半導体となる。

E_{C} - E_{F} > 3 k T

E_{F} - E_{V} > 3 k T

ただし $E_{F}$ はフェルミ準位である。これら結果、電子密度と正孔密度は次のように与えられる。

n = N_{C} \exp (\frac{E_{F} - E_{C}}{k T})

p = N_{V} \exp (\frac{E_{V} - E_{F}}{k T})

N_{C} = 2 {(\frac{m_{e}^{*} k T}{2 π ℏ^{2}})}^{3 / 2}

N_{V} = 2 {(\frac{m_{h}^{*} k T}{2 π ℏ^{2}})}^{3 / 2}

ここで $N_{C}$ は伝導帯の有効状態密度、 $N_{V}$ は価電子帯の有効状態密度と呼ばれる。また真性半導体のフェルミ準位を $E_{i}$ 、真性キャリア密度を $n_{i}$ とすると、有効状態密度は次のように表せる。

N_{C} = n_{i} \exp (\frac{E_{C} - E_{i}}{k T})

N_{V} = n_{i} \exp (\frac{E_{i} - E_{V}}{k T})

よって伝導帯の電子密度と価電子帯の正孔密度は次のように書ける。

n = n_{i} \exp (\frac{E_{F} - E_{i}}{k T})

p = n_{i} \exp (\frac{E_{i} - E_{F}}{k T})

これより以下の関係が非縮退半導体について成り立つ。

n p = n_{i}^{2}