有効領域のソースを表示

[[数学]]の一分野である[[凸解析]]において、'''有効領域'''（ゆうこうりょういき、{{Lang-en-short|effective domain}}）は、[[定義域]]の概念を拡張したものである。

[[ベクトル空間]] ''X'' が与えられたとき、[[拡大実数]]を値域とする[[凸函数]] <math>f: X \to \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}</math> は、次で定義される有効領域を持つ：

:<math>\operatorname{dom}f = \{x \in X: f(x) < +\infty\}. \,</math><ref name="AB">{{cite book|last1=Aliprantis|first1=C.D.|last2=Border|first2=K.C.|title=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|edition=3|publisher=Springer|year=2007|isbn=978-3-540-32696-0|doi=10.1007/3-540-29587-9|page=254}}</ref><ref>{{cite book|first1=Hans|last1=Föllmer|first2=Alexander|last2=Schied|title=Stochastic finance: an introduction in discrete time|publisher=Walter de Gruyter|year=2004|edition=2|isbn=978-3-11-018346-7|page=400}}</ref>

この函数が[[凹函数]]である場合、有効領域は次のようになる：

:<math>\operatorname{dom}f = \{x \in X: f(x) > -\infty\}. \,</math><ref name="AB" />

有効領域は、函数 <math>f: X \to \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}</math> の[[エピグラフ (数学)|エピグラフ]]の ''X'' の上への射影と等しい。すなわち、次で与えられる。

:<math>\operatorname{dom}f = \{x \in X: \exists y \in \mathbb{R}: (x,y) \in \operatorname{epi}f\}. \,</math><ref name="Rockafellar">{{cite book|author=[[:en:Rockafellar, R. Tyrrell|Rockafellar, R. Tyrrell]]|title=Convex Analysis|publisher=Princeton University Press|location=Princeton, NJ|year=1997|origyear=1970|isbn=978-0-691-01586-6|page=23}}</ref>

凸函数が通常の実数への写像 <math>f: X \to \mathbb{R}</math> であるなら、有効領域は通常の定義域と一致する。

函数 <math>f: X \to \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}</math> が[[真凸函数]]であるための必要十分条件は、''f'' が凸で、''f'' の有効領域が空でなく、すべての <math>x \in X</math> に対して <math>f(x) > -\infty</math> が成立することである<ref name="Rockafellar" />。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{Mathanalysis-stub}}
{{DEFAULTSORT:ゆうこうりよういき}}
[[Category:凸解析]]
[[Category:関数]]
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