有理依存性のソースを表示

[[数学]]においてある[[実数]]の集まりが'''有理独立'''（ゆうりどくりつ、{{Lang-en-short|rationally independent}}）であるとは、それらの[[有理数|有理係数]]による線型結合で表すことの出来る数が、その集まりの中に含まれないことを言う。有理独立でない数の集まりのことを'''有理依存'''（ゆうりいぞん、{{Lang-en-short|rationally dependent}}）と言う。例えば、次の例が挙げられる：
:<math>
\begin{matrix}
\mbox{independent}\qquad\\
\underbrace{
  \overbrace{
    3,\quad
    \sqrt{8}\quad
  },
  1+\sqrt{2}
}\\
\mbox{dependent}\\
\end{matrix}
</math>

== 正式な定義 ==

[[実数]] ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub>, ... , ω<sub>''n''</sub> が有理依存であるとは、少なくとも一つはゼロではない整数 ''k''<sub>1</sub>, ''k''<sub>2</sub>, ... , ''k''<sub>''n''</sub> で、次を満たすものが存在することを言う：

:<math> k_1 \omega_1 + k_2 \omega_2 +  \cdots + k_n \omega_n = 0. </math>

このような整数が存在しないなら、そのベクトルは有理独立と呼ばれる。この条件は次の様に表現し直すことが出来る：ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub>, ... , ω<sub>''n''</sub> が有理独立であるとは、次の式

:<math> k_1 \omega_1 + k_2 \omega_2 +  \cdots + k_n \omega_n = 0 </math>

を満たす [[タプル|''n''-組]]の整数 ''k''<sub>1</sub>, ''k''<sub>2</sub>, ... , ''k''<sub>''n''</sub> は自明解、すなわちすべての ''k''<sub>''i''</sub> がゼロとなるもののみであることを言う。

実数は[[有理数]]についての[[ベクトル空間]]を構成するため、これは通常のベクトル空間における[[線型従属|線型独立]]の概念と同値である。

== 関連項目 ==

* [[トーラス上の線型フロー]]

== 参考文献 ==

* {{cite book | author=Anatole Katok and Boris Hasselblatt | title= Introduction to the modern theory of dynamical systems | publisher= Cambridge | year= 1996 | isbn=0-521-57557-5}}

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[[Category:力学系]]
[[Category:数学に関する記事]]

{{Math-stub}}