有理依存性

数学においてある実数の集まりが有理独立（ゆうりどくりつ、テンプレート:Lang-en-short）であるとは、それらの有理係数による線型結合で表すことの出来る数が、その集まりの中に含まれないことを言う。有理独立でない数の集まりのことを有理依存（ゆうりいぞん、テンプレート:Lang-en-short）と言う。例えば、次の例が挙げられる：

$\begin{array}{c}\text{independent}\\ \underbrace{\overbrace{3,\sqrt{8}},1+\sqrt{2}}\\ \text{dependent}\end{array}$

正式な定義

実数 ω₁, ω₂, ... , ω_n が有理依存であるとは、少なくとも一つはゼロではない整数 k₁, k₂, ... , k_n で、次を満たすものが存在することを言う：

$k_1{\omega }_1+k_2{\omega }_2+\cdots +k_n{\omega }_n=0.$

このような整数が存在しないなら、そのベクトルは有理独立と呼ばれる。この条件は次の様に表現し直すことが出来る：ω₁, ω₂, ... , ω_n が有理独立であるとは、次の式

$k_1{\omega }_1+k_2{\omega }_2+\cdots +k_n{\omega }_n=0$

を満たす n-組の整数 k₁, k₂, ... , k_n は自明解、すなわちすべての k_i がゼロとなるもののみであることを言う。

実数は有理数についてのベクトル空間を構成するため、これは通常のベクトル空間における線型独立の概念と同値である。

関連項目

• トーラス上の線型フロー

参考文献

• テンプレート:Cite book