有理化のソースを表示

{{出典の明記|date=2018年1月}}

[[数学]]において、'''有理化'''（ゆうりか、{{lang-en-short|''rationalization''}}）とは、[[べき根|根号]]を含む式（とくに[[平方根]]を含む[[分数]]式の分母または分子）から根号を取り除く式変形のことである。根号を持つ[[無理数]]（[[代数的数|代数的無理数]]）を[[有理数]]に変える操作であることからこの名がある。

== 概要 ==
有理化をすることで計算がしやすくなったりする。<ref>{{Cite web |url=https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/other/henkan-tex.cgi?target=/math/category/other/yuurika.html&pcview=2 |title=分母の有理化 |access-date=2024-2-11 |publisher=金沢工業大学}}</ref>例えば分母の有理化

:<math>\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{1(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}={2-\sqrt{3}}</math>

などがあげられる。

抽象[[代数学]]的にはこの例は、<math>\mathbb Q</math> を有理数体、<math>d\in\mathbb Q</math> が有理数の[[冪乗|平方]]ではないとしたとき
:<math>\mathbb{Q}(\sqrt{d}) 
  = \left\{ \frac{a + b\sqrt{d}}{a' + b'\sqrt{d}} \,\Big|\, a,a',b,b' \in \mathbb{Q} \right\}
</math>
という <math>\mathbb Q</math> の[[体の拡大|二次拡大体]]を考えると、
:<math>\mathbb{Q}(\sqrt{d}) = \mathbb{Q}[\sqrt{d}](= \{ a + b\sqrt{d} \mid a,b \in \mathbb{Q}\})</math>
が成り立つ、という主張に一般化できる。

これは <math>K=\mathbb Q(\sqrt{d})</math> の各元 <math>a+b\sqrt{d}</math> に対し、その拡大 <math>K/\mathbb Q </math> に関する共役元 <math>a-b\sqrt{d}</math> を掛ければ
:<math>N(a+b\sqrt{d}) := (a+b\sqrt{d})(a-b\sqrt{d}) = a^2-b^2d </math>
（この <math>N(a+b\sqrt{d})</math> は <math>a+b\sqrt{d}</math> の（拡大 <math>K/\mathbb Q</math> に関する）[[ノルム (体論)|ノルム]]と呼ばれる。）が <math>\mathbb Q</math> に属すということから''まさに有理化によって'' 証明されるわけである。

一般に、体 ''K'' の（有限次ガロア）拡大体 ''L'' の元に対し、その元の拡大 ''L''/''K'' に関する共役元（二次拡大ではただ一つだが、一般には複数ある）をすべて掛け合わせたものを、その元のノルムとよぶが、ノルムは下の体 ''K'' に属する。したがって同様のこと、つまり有理化は共役元が全て計算できるならば、二次拡大に限らず行える。

==実数化==
<math>\mathbb Q</math> 以外の体の拡大についても同様のことができる。たとえば、<math>\mathbb Q</math> を[[実数]]体 <math>\mathbb R</math> にとりかえ、''d'' = −1 としてみよう。
:<math>\mathbb{C} = \mathbb{R}(\sqrt{-1}) = \{ a + b\sqrt{-1} \mid a,b \in \mathbb{R}\}</math>
（ここで、<math>\sqrt{-1}</math> は[[虚数単位]]のことである。）であって、各元（つまり複素数）<math>\alpha=a+b\sqrt{-1}</math> の <math>\mathbb C/\mathbb R</math> に関する共役元とは、[[共役複素数]] <math>a-b\sqrt{-1}</math> のことであるということに注意して、そのノルムを計算すると
:<math>N(\alpha) = \alpha\bar{\alpha} = (a+b\sqrt{-1})(a-b\sqrt{-1}) = a^2 + b^2</math>
は <math>\mathbb R</math> に属する。したがってたとえば、

:<math>\frac{1}{2+\sqrt{-1}}=\frac{1(2-\sqrt{-1})}{(2+\sqrt{-1})(2-\sqrt{-1})}=\frac{2-\sqrt{-1}}{4+1}=\frac{2-\sqrt{-1}}{5}</math>

などの変形が可能である。このような変形を（分母の）'''実数化'''ということがある。

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 参考文献 ==

== 関連項目 ==

{{DEFAULTSORT:ゆうりか}}
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